平方数

平方数（へいほうすう、テンプレート:En）とは、自然数の自乗（二乗）で表される整数のことである。正方形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に等しいので、四角数（しかくすう）ともいい、多角数の一種である。最小の平方数として、定義に テンプレート:Math を加えることができる。平方数は無数にあり、その列は次のようになる。

テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）

平方数の列の隣接二項間についての漸化式を考えると、テンプレート:Math から連続する正の奇数の総和は平方数に等しい：$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$

1		4		9		16

性質

• テンプレート:Math 以外の平方数は合成数である。
• 正の約数の個数が奇数である自然数は平方数に限る。特に正の約数の個数が3個である自然数は素数の2乗で表せる。
• テンプレート:Math から テンプレート:Math までの テンプレート:Mvar 個の奇数の総和は テンプレート:Math に等しい：$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$
• テンプレート:Mvar 番目の平方数 テンプレート:Math までの総和は $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$ であり、これは テンプレート:Mvar 番目の四角錐数に等しい。また組合せ記号を用いて テンプレート:Math とも表現できる。
• テンプレート:Math を除く平方数の逆数和は ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ に収束する：$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$（→ゼータ関数、バーゼル問題）
• 連続する平方数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の間に必ず素数があるかは、証明されていない（ルジャンドル予想）。だが、素数であるか2個の素数の積である数が存在することは、1975年に陳景潤によって証明されている。
• 平方数の列の階差数列は公差 テンプレート:Math の等差数列であり、したがって第二階差数列は定数列 テンプレート:Mathである。
• 平方数は連続する2つの三角数の和で表せる。
• 奇数の平方数の差はテンプレート:Mathの倍数となる。
• 奇数の完全数は存在したとしても正の約数の個数が偶数であることが知られている。これより、平方数は完全数にはなりえないと分かる。
• フィボナッチ数である平方数は テンプレート:Math のみである。
• 三角数である平方数を平方三角数という。その数列は テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
• 五角数である平方数は テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
• ハーシャッド数である平方数は テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
• 立方数でもある平方数は6乗数 テンプレート:Math である。テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）。約数を7個持つ数は素数を6乗した数のみ。
• 十の位が奇数の平方数は、一の位が必ず テンプレート:Math になる。テンプレート:Math2 など。
• 下2桁が テンプレート:Math の平方数は、百の位が必ず テンプレート:Math2 のいずれかになる。テンプレート:Math2
• テンプレート:Math と テンプレート:Math、テンプレート:Math と テンプレート:Math と テンプレート:Math、テンプレート:Math と テンプレート:Math、テンプレート:Math と テンプレート:Math のように、数字を並べ替えただけで、別の平方数になるものがある。（テンプレート:OEIS）
• 百、1万、1億、1兆などの数は底が テンプレート:Math（テンプレート:Math の形）の平方数である。
• 十進法において、平方数の数字根は テンプレート:Math のどれかにしかならない。これにより、三進法では三の位が テンプレート:Math の場合は一の位は テンプレート:Math または テンプレート:Math であり、三の位が テンプレート:Math の場合は一の位が テンプレート:Math としかならない。
• 十進法において、平方数の下二桁は テンプレート:Math の22通りのうちどれかにしかならない。これにより、テンプレート:Math で割った余りも テンプレート:Math のどれかにしかならないし テンプレート:Math で割った余りも テンプレート:Math のどれかにしかならない。
• 平方数の下桁の数が自分自身と同じになる数については自己同形数を参照。
• 平方数を二進法表示したとき、二の位は必ず テンプレート:Math となる。二進法では下2桁は テンプレート:Math2 の4通りであり、それぞれ平方すると テンプレート:Math2 と二の位がいずれも テンプレート:Math であるため。
• テンプレート:Mvar進法表示にしても、テンプレート:Math (テンプレート:Math), テンプレート:Math, テンプレート:Math (テンプレート:Math) は成り立つ。
• 平方数を テンプレート:Math で割った余りは テンプレート:Math または テンプレート:Math である。

平方数による表現

• 全ての自然数は、高々4個の平方数の和で表される。（→四平方定理）
• 全ての自然数は、平方数と偶数の平方数と三角数との和で表される。（→多角数定理）
• 全ての自然数は、平方数と2個の三角数との和で表される。（→多角数定理）
• テンプレート:Math の形の素数は2個の平方数の和で表される。（→二個の平方数の和）
• テンプレート:Math の形の素数は テンプレート:Math で表される。（→二個の平方数の和#重みつき平方数の和）
• テンプレート:Math の形の素数は テンプレート:Math で表される。（→二個の平方数の和#重みつき平方数の和）
• テンプレート:Math2 の形の自然数は高々3個の平方数の和で表される。（→三個の平方数の和）
• 31個の数を除くすべての自然数は異なる平方数の和で表される。（テンプレート:OEIS）
• 互いに異なり、かついずれも0よりも大きい一対の平方数の「和」と「差」（正に限る）は三辺の長さが整数となる直角三角形の「斜辺」と「隣辺の一方」の長さに応用できる。

一般化

有理数の平方として表される有理数を平方数ということもある。さらに一般には、可換体 テンプレート:Mvar の乗法群 テンプレート:Math の部分集合 テンプレート:Math（直積集合と紛れるおそれのないときにはこれを テンプレート:Math などと表す）の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。主に テンプレート:Math のときに意味を持つ。

参考文献

• Chen, J. R. "On the Distribution of Almost Primes in an Interval." Sci. Sinica 18, 611-627, 1975.

関連項目

• 図形数
• 立方数
• 二重平方数
• 五乗数
• 多角数
• 三角数
• 四角錐数

外部リンク

• テンプレート:MathWorld