C*-環
数学における テンプレート:Mvar-環（シースターかん、テンプレート:Lang-en-short）とは複素数体上の完備なノルム環で複素共役に類似の作用をもつものであり、フォン・ノイマン環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象である。テンプレート:Mvar-代数（シースターだいすう）とも呼ばれる。1943年のGel'fand-Naimark[1]と1946年のRickart[2]の研究によって公理系が与えられた。'テンプレート:Mvar-algebra' という用語は1947年にSegal[3]によって導入された。
テンプレート:Mvar-環はその内在的な構造のみにもとづいて公理的に定義されるが、実はどんな テンプレート:Mvar-環もヒルベルト空間上の線形作用素のなす環で、随伴操作とノルムに関する位相で閉じたものとして実現されることが知られている。また、可換な テンプレート:Mvar-環を考えることは局所コンパクト空間上の複素数値連続関数環を考えることになり、その連続関数環からはもとの位相空間を復元できるので、可換 テンプレート:Mvar-環の理論は局所コンパクト空間の理論と等価だといえる。一般の テンプレート:Mvar-環は、群（あるいは亜群）など、幾何学的な文脈に現れながら普通の空間とは見なされないようなものを包摂しうる変形（「量子化」）された空間を表していると考えることもできる。
定義
集合 テンプレート:Mvar は以下のような構造を持つとき テンプレート:Mvar-環と呼ばれる。 テンプレート:Ordered list 一般的には上の条件 1, 2 を満たすものを [[*-環|テンプレート:Math-環]]あるいは対合（付き）環、条件 1, 3 を満たすものをバナッハ環あるいは省略して テンプレート:Mvar-環、条件 1, 2, 3 を満たすものを[[バナッハ *-環|バナッハ テンプレート:Math-環]]あるいは省略して テンプレート:Mvar-環テンプレート:Efnという。すなわち テンプレート:Mvar-環とはバナッハ テンプレート:Math-環でノルムの テンプレート:Mvar-性を満たすものである。一般の テンプレート:Mvar-環は乗法の単位元 テンプレート:Math を持つことを仮定されないが、乗法の単位元を持つような テンプレート:Mvar-環は単位的 (unital) であると言われる。
テンプレート:Mvar-環 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar について、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への環の準同型写像 テンプレート:Mvar で対合作用 "テンプレート:Math" を保つものは テンプレート:Mvar-環の準同型、または テンプレート:Math-準同型とよばれる。実は テンプレート:Mvar に対する代数的な仮定から テンプレート:Mvar がノルム テンプレート:Math 以下の（特に、連続な）線形写像であることが従う。とくに、与えられた テンプレート:Mvar-環に対してその テンプレート:Math-構造と両立するノルムは1つしか存在しない。
例
- テンプレート:Math
- コンパクトハウスドルフ空間 テンプレート:Math 上の複素数値連続関数のなす関数空間 テンプレート:Math （例えば実閉区間 テンプレート:Math 上の連続関数たち）を考える。このとき、積を点ごとの積： テンプレート:Math, 対合を複素共役: テンプレート:Math, ノルムを一様ノルム: テンプレート:Math で定めると、テンプレート:Math は定数関数 テンプレート:Math を単位元としてもつ可換な C*-環となる。逆に、単位元をもち可換な C*-環はあるコンパクトハウスドルフ空間 テンプレート:Math についての テンプレート:Math と同型になる。このコンパクト空間は環の極大イデアルの空間として実現でき、この同一視の方法はゲルファント表現と呼ばれる。
- テンプレート:Math
- 同様にして局所コンパクトハウスドルフ空間 テンプレート:Math 上の無限遠で消える複素数値連続関数のなす関数空間 テンプレート:Math （例えば実直線 テンプレート:Math 上の テンプレート:Math であるような関数たち）を考えると、上の例と同様のノルムと対合によって テンプレート:Math は（テンプレート:Math がコンパクトでないときには単位元をもたない）可換な テンプレート:Mvar-環となる。
- テンプレート:Math
- ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界線形作用素のなす代数 テンプレート:Math はノルムを作用素ノルム: テンプレート:Math, 対合を テンプレート:Math で特徴付けられる随伴として、テンプレート:Mvar 上の恒等作用素 テンプレート:Mvar を単位元にもつ テンプレート:Mvar-環になる。特に、任意の自然数 テンプレート:Mvar について テンプレート:Mvar-次複素行列環 テンプレート:Math は複素転置共役を対合として テンプレート:Mvar-環になっている。
- 具体的な テンプレート:Mvar-環 テンプレート:Mvar
- 同様にして テンプレート:Math の部分 *-代数 テンプレート:Mvar が作用素ノルムで閉じているとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-環である。これを具体的な テンプレート:Mvar-環 (concrete テンプレート:Mvar-algebra) という。コンパクト作用素のなす環 テンプレート:Math が例として挙げられる。Gelfand-Naimark の定理によって任意の テンプレート:Mvar-環はある具体的な テンプレート:Mvar-環と同型になる。また、可分な テンプレート:Mvar-環は可分ヒルベルト空間上の具体的な テンプレート:Mvar-環に同型になる。
- 被約群環
- 離散群 テンプレート:Mvar が与えられたとき、ヒルベルト空間 テンプレート:Math とその上の作用素たち テンプレート:Math が得られる。テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar-環で テンプレート:Math 全てを含む最小のものは テンプレート:Mvar の被約群環 テンプレート:Math とよばれる。離散とは限らない局所コンパクト群についてもこの定義は一般化される。
構造
テンプレート:Mvar-環 テンプレート:Mvar の元のうちで テンプレート:Math とかけるものは正（非負）であると呼ばれる。テンプレート:Mvar の正な元全体の集合は錐（加法と正の実数倍について閉じている）をなし、テンプレート:Mvar の正錐 (positive cone) と呼ばれる。局所コンパクト空間上の連続関数環内で正な元とは各点で正（非負）の実数値を取る関数のことであり、ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の具体的な テンプレート:Mvar-環の中で正な元とは任意の テンプレート:Mvar のベクトル テンプレート:Mvar について テンプレート:Math となるような作用素 テンプレート:Mvar のことになる。
単位的 テンプレート:Mvar-環 テンプレート:Mvar 上の汎関数（連続線形形式）テンプレート:Mvar で、正な元を正の実数にうつし、テンプレート:Mathを満たすようなものは テンプレート:Mvar 上のテンプレート:仮リンクと呼ばれる。テンプレート:Mvar 上の汎関数 テンプレート:Mvar が状態であるということは テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を満たすということと同値になる。単位的とは限らない テンプレート:Mvar-環の上の状態は正な元を正の実数にうつし、かつノルム テンプレート:Math であるような汎関数として定義される。局所コンパクト空間上の連続関数環に対する状態とは正則ボレル測度で全測度 テンプレート:Math であるようなものについての関数の積分である。テンプレート:Mvar がヒルベルト空間 テンプレート:Mvar上に表現された C*-環のとき、ノルム テンプレート:Math のベクトル テンプレート:Math は テンプレート:Math によって テンプレート:Mvar 上の状態を定める。これは量子力学の数学的定式化における特定の状態の下での物理量の測定の期待値を与える操作に対応しており、「状態」という用語のもとになっている。
局所コンパクト空間 テンプレート:Math とその上の全測度 テンプレート:Math の正則ボレル測度 テンプレート:Mvar からは テンプレート:Math の作用するヒルベルト空間 テンプレート:Math と テンプレート:Math 上の状態 テンプレート:Math が得られるし、ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-環 テンプレート:Mvar の状態を テンプレート:Mvar 内の単位的ベクトルから得ることができるが、これらのヒルベルト空間 テンプレート:Math や テンプレート:Mvar とそれぞれへの環の作用は、環と状態 テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar についての情報のみから復元することができる。実際、テンプレート:Mvar-環 テンプレート:Mvar 上の状態 テンプレート:Mvar が与えられたとき、ベクトル空間としての テンプレート:Mvar は内積 テンプレート:Math によって前ヒルベルト空間となっており、さらに テンプレート:Mvar の元を左からかける操作は内積から定まるノルムについて連続になっている。従ってこの前ヒルベルト空間を完備化したヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上に テンプレート:Mvar を表現することができる。これを状態 テンプレート:Mvar に関するGelfand-Naimark-Segal表現（GNS表現）とよぶ。この表現について テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar は少なくとも作用素ノルム テンプレート:Math を持っている。従って、どんな テンプレート:Mvar-環も十分に多くの状態を持っていることを示せばGelfand-Naimarkの定理が得られることになる。
テンプレート:Mvar-環 テンプレート:Mvar に対し、その双対の双対 テンプレート:Math は W*-環の構造を持っている。これは テンプレート:Mvar の普遍包絡環とよばれる。テンプレート:Mvar のヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上への表現 テンプレート:Math が与えられたとき テンプレート:Math の生成するフォン・ノイマン環テンプレート:Math を考えることができるが、このとき テンプレート:Math から テンプレート:Math の上への正規準同形が存在する。別の言い方をすれば テンプレート:Math が テンプレート:Math に作用素の弱位相で閉じたイデアルとして含まれている。
他の分野への応用
テンプレート:Mvar-環は数理物理における力学系、代数的観点からの場の量子論、量子統計力学、量子情報理論等に応用される。