ABC予想のソースを表示

{{unsolved|数学上|
{{center|{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''c''}}}}
を満たす、互いに素な自然数の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対し、積 {{mvar|abc}} の互いに異なる素因数の積を {{mvar|d}} と表す。このとき、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、
{{center|{{math|''c'' > ''d''{{sup|1+''ε''}}}}}}
を満たす組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} は高々有限個しか存在しないであろうか？
}}
'''abc予想'''（abcよそう、{{lang-en-short|''abc'' conjecture}}, 別名：オステルレ–マッサー予想、{{lang-en-short|Oesterlé–Masser conjecture}}）は、[[1985年]]に{{仮リンク|ジョゼフ・オステルレ|en|Joseph Oesterlé}}と{{仮リンク|デイヴィッド・マッサー|en|David Masser}}により提起された[[数論]]の予想である。これは[[多項式]]に関する[[メーソン・ストーサーズの定理]]の[[整数]]における類似であり、[[互いに素]]でありかつ {{math|1=''a'' + ''b'' = ''c''}} を満たすような3つの[[自然数]]（この予想に呼び方を合わせると）{{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} について述べている。

abc予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理が abc予想から直ちに導かれる。{{harvtxt|Goldfeld|1996}} は、abc予想を「[[ディオファントス方程式|ディオファントス解析]]で最も重要な未解決問題」であるとしている。

<!-- [[2012年]]8月、[[京都大学数理解析研究所]]教授の[[望月新一]]は abc予想を証明したとする論文を発表した。望月は証明に用いた理論を{{仮リンク|宇宙際タイヒミュラー理論|en|Inter-universal Teichmüller theory}}と呼んでおり、[[スピロ予想]]と[[ヴォイタ予想]]の証明などを含む応用があるという<ref name="Mochizuki2012d">{{Cite paper
|url = http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
|title = Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.
|first = Shinichi
|last = Mochizuki
|format = PDF
|work = Working Paper
|date = 2012-08-30
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref>{Cite paper
|url = http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
|title = Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.
|first = Shinichi
|last = Mochizuki
|format = PDF
|work = Working Paper
|date = 2012-08-30
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref><ref name="Nature20120910">{{citation
|url = http://www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378
|title = Proof claimed for deep connection between primes
|journal = [[ネイチャー|Nature]]
|date = 10 September 2012|first=Phillip
|last = Ball
|authorlink = Philip Ball
}}.</ref><ref name="Science20120912">{{Citation
|title = ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot
|journal = [[サイエンス|Science]]
|first = Barry
|last = Cipra
|url = http://news.sciencemag.org/sciencenow/2012/09/abc-conjecture.html
|date = 2012-09-12
}}</ref>。望月の論文は専門家にとっても難解であるため、査読は難航したが、5年越しの2017年12月、専門誌に掲載予定であることが報道された。-->

== 定式化 ==
自然数 {{mvar|n}} に対して、{{mvar|n}} の互いに異なる素因数の積を {{mvar|n}} の'''根基''' (radical) と呼び、{{math|rad ''n''}} と書く。以下に例を挙げる。
*{{mvar|p}} が[[素数]]ならば、{{math|rad(''p'') {{=}} ''p''}}.
*{{math|rad(8) {{=}} rad(2{{sup|3}}) {{=}} 2}}.
*{{math|rad(45) {{=}} rad(3{{sup|2}} ⋅ 5) {{=}} 3 ⋅ 5 {{=}} 15}}.
[[自然数]]の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} で、{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''c''}}, {{math|''a'' < ''b''}} で、{{mvar|a}} と {{mvar|b}} は[[互いに素]]であるものを abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は {{math|''c'' < rad(''abc'')}} が成り立つが、abc予想が主張するのはこれが成り立たない例外（例えば、{{math|''a'' {{=}} 1}}, {{math|''b'' {{=}} 8}}, {{math|''c'' {{=}} 9}} のとき {{math|rad(''abc'') {{=}} 6}} である）の方である。ただし、単に{{math|''c'' < rad(''abc'')}}とした場合、これが成り立たない例外は'''無限に存在する'''<ref group="注">例として、{{math|''a'' {{=}} 1}}, {{math|''b'' {{=}} 3{{sup|2{{sup|''n''}}}} − 1}}, {{math|''c'' {{=}} 3{{sup|2{{sup|''n''}}}}}}のとき、全ての {{mvar|n}} について {{math|''c'' < rad(''abc'')}} が成り立たない</ref>ため、{{math|rad(''abc'')}} を少しだけ大きくすることでこの例外を有限個にできないかどうかを考える。すなわち、abc予想は任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、次を満たすような自然数の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} は高々有限個しか存在しないであろうと述べている：
:<math>c>\operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}.</math>
これと同値な他の定式化（Oesterlé–Masser の abc予想）として次のものがある。すなわち、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対してある {{math|''K''(''ε'') > 0}} が存在し、全ての abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} について次が成り立つという：
:<math>c<K(\varepsilon ) \cdot \operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}</math>
:（{{math|''K''(''ε'')}} を {{mvar|ε}} に依らずに取ることはできない。）
三つ目の定式化は「'''質'''」(quality) と呼ばれる概念を導入して表現する。abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対して、質 {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'')}} を次のように定義する：
:<math>q(a,b,c):=\frac{\log c}{\log ( \operatorname{rad} (abc))}.</math>
このときabc予想は、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} であって {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1 + ''ε''}} を満たすものは高々有限個しか存在しないということを主張している。

現在、{{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1.6}} を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。{{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'')}} を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対して、{{math|''c'' < rad(''abc''){{sup|2}} }}を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない。

== 得られる結果の例 ==
abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば（予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある）、部分的証明となるものもある。abc予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、abc予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、abc予想は依然として重要な問題であり続けている。
;[[トゥエ・ジーゲル・ロスの定理|トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理]]
:[[代数的数]]のディオファントス近似に関する定理。
;[[フェルマーの最終定理]]
:ただし指数が十分大きい場合（どの程度大きければよいかは {{math|''K''(''ε'')}} に依る）。定理自体は（abc予想とは独立に）[[アンドリュー・ワイルズ|ワイルズ]]が証明した。ある {{math|''K''(''ε'')}} が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 &ge; 4 に対して証明が可能である。{{math|1=''ε'' = 1}} のとき {{math|1=''K''(1) = 1}} という予想もあり、この仮定の下で、指数が {{math|6}} 以上の場合は直ちに証明される {{harv|Granville|Tucker|2002}}<ref group="注">abc予想が {{math|1=''K'' = 1}} かつ {{math|1=''ε'' = 1}} で正しければ、[[互いに素]]な自然数 {{math2|''A'', ''B'', ''C''}} が {{math|1=''A'' + ''B'' = ''C''}} を満たすとき {{math|1=''C'' < (rad ''ABC''){{sup|2}}}} が成り立つ。互いに素な自然数 {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} が {{math|1=''a{{sup|n}}'' + ''b{{sup|n}}'' = ''c{{sup|n}}''}} を満たすと仮定すると、{{math2|''a{{sup|n}}'', ''b{{sup|n}}'', ''c{{sup|n}}''}} は互いに素より、{{math|1=''A'' = ''a{{sup|n}}''}}, {{math|1=''B'' = ''b{{sup|n}}''}}, {{math|1=''C'' = ''c{{sup|n}}''}} を代入して
:<math>c^n <(\operatorname{rad} a^n b^n c^n )^2</math>
が成り立つ。一般に <math>\operatorname{rad} x^n = \operatorname{rad} x \le x</math> であるから、<math>(\operatorname{rad} a^n b^n c^n )^2 \le (abc)^2 < (c^3)^2 = c^6</math> となる。ゆえに {{math|''c{{sup|n}}'' < ''c''{{sup|6}}}}, {{math|''c'' > 1}} より {{math|''n'' < 6}}。{{math|1=''n'' = 3, 4, 5}} については古典的な証明があるので定理が証明される {{harv|山崎|2010|p=11}}。</ref>。
;[[モーデル予想]]（[[ゲルト・ファルティングス|ファルティングス]]の定理）:{{harv|Elkies|1991}}
;{{仮リンク|エルデシュ＝ウッズ予想|en|Erdős–Woods number}}
:ただし有限個の反例を除く {{harv|Langevin|1993}}。
;非{{仮リンク|ヴィーフェリッヒ素数|en|Wieferich prime}}が無限個存在すること: {{harv|Silverman|1988}}。
;弱い形の{{仮リンク|マーシャル・ホール予想|en|Marshall Hall's conjecture}}:平方数と立方数の間隔に関する予想 {{harv|Nitaj|1996}}。
;[[フェルマー＝カタラン予想]]:フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う {{harv|Pomerance|2008}}。
;[[ルジャンドル記号]]を用いて記述した[[ディリクレのL関数]] ''L''(''s'', (-''d''/.)) が{{仮リンク|ジーゲル零点|en|Siegel zero}}を持たないこと:（正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うabc予想に加えて、[[代数体]]上の一様な abc予想を用いる。）{{harv|Granville|Stark|2000}}。
; Schinzel–Tijdeman theorem
: {{mvar|P}} を少なくとも3つ以上の単根を持つ[[多項式]]とすると、{{math2|''P''(''1'')，''P''(''2'')，''P''(''3''), …}} の中には高々有限個しか[[累乗数]]が存在しない、という定理 (1976)<ref name="Ref_a">{{PDFlink|[http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf The ABC-conjecture (Frits Beukers, 9 september 2005)]}}</ref>。
;{{仮リンク|ティーデマンの定理|en|Tijdeman's theorem}}の一般化
:{{math|1=''y{{sup|m}}'' = ''x{{sup|n}}'' + ''k''}} が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は {{math|1=''k'' = 1}} の場合を述べている。また、{{math|1=''Ay{{sup|m}}'' = ''Bx{{sup|n}}'' + ''k''}} が持つ解の個数に関するピライ予想 (1931)。
;{{仮リンク|グランヴィル＝ランジュバン予想|en|Granville–Langevin conjecture<!-- リダイレクト先の「[[:en:Abc conjecture]]」は、[[:ja:ABC予想]] とリンク -->}}と同値。
;修正した[[スピロ予想]]。
:これは境界として <math>\scriptstyle \operatorname{rad}(abc)^{\frac{6}{5} +\epsilon}</math> を与える {{harv|Oesterlé|1988}}。
;任意の整数''A'' について、{{math|1=''n''! + ''A'' = ''k''{{sup|2}}}} が有限個の解しか持たないこと（一般化された[[ブロカールの問題]]）{{harv|Dąbrowski|1996}}。

== コンピューティングによる成果 ==
2006年、オランダの[[ライデン大学]]数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に[[分散コンピューティング]]システムの[[ABC@home|ABC@Home]]プロジェクトを立ち上げた。たとえ発見された例または反例が abc予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。

{{mvar|q}} は上記で定義した abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} の質 {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'')}} である。このとき、{{mvar|c}} の上限によって、質 {{mvar|q}} は以下のような分布を取る。
{|class="wikitable sortable collapsible" border="1" style="text-align:right"
|+{{math|''q'' > 1}} となる abc-triple の質 {{mvar|q}} の分布<ref name="Ref_d">{{Citation
|url = http://www.rekenmeemetabc,nl/?item=h_stats
|title = Synthese resultaten
|work = RekenMeeMetABC,nl
|accessdate = January 1, 2011
}} {{nl icon}},{{リンク切れ|date=2012-09-19}}</ref>
|-
!scope="col"|
!scope="col"|{{math|''q'' > 1}}
!scope="col"|{{math|''q'' > 1.05}}
!scope="col"|{{math|''q'' > 1.1}}
!scope="col"|{{math|''q'' > 1.2}}
!scope="col"|{{math|''q'' > 1.3}}
!scope="col"|{{math|''q'' > 1.4}}
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|2}}}}
|6||4||4||2||0||0
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|3}}}}
|31||17||14||8||3||1
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|4}}}}
|120||74||50||22||8||3 
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|5}}}}
|418||240||152||51||13||6
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|6}}}}
|1,268||667||379||102||29||11
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|7}}}}
|3,499||1,669||856||210||60||17
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|8}}}}
|8,987||3,869||1,801||384||98||25
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|9}}}}
|22,316||8,742||3,693||706||144||34
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|10}}}}
|51,677||18,233||7,035||1,159||218||51
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|11}}}}
|116,978||37,612||13,266||1,947||327||64
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|12}}}}
|252,856||73,714||23,773||3,028||455||74
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|13}}}}
|528,275||139,762||41,438||4,519||599||84
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|14}}}}
|1,075,319||258,168||70,047||6,665||769||98
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|15}}}}
|2,131,671||463,446||115,041||9,497||998||112
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|16}}}}
|4,119,410||812,499||184,727||13,118||1,232||126
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|17}}}}
|7,801,334||1,396,909||290,965||17,890||1,530||143
|-
!scope="row"|{{math|''c'' < 10{{sup|18}}}}
|14,482,059||2,352,105||449,194||24,013||1,843||160
|}
{{As of|2012|9}}、ABC@Homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 10{{sup|20}} を超えない {{mvar|c}} についての全ての abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を見つけることとしている<ref name="Ref_c">{{Citation
|url = http://abcathome.com/data/
|title = Data collected sofar
|work = ABC@Home
|accessdate = 2012-09-10
}}</ref>。
{|class="wikitable sortable collapsible" border="1"
|+質の大きいabc-triple<ref>{{Cite web
|url = http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=2
|title = Bart de Smit / ABC triples / by quality
|work = Reken mee met ABC
|date = 2005-08-01
|accessdate = 2016-07-03
}}</ref>
|-
!scope="col"|
!scope="col"|{{mvar|q}}
!scope="col"|{{mvar|a}}
!scope="col"|{{mvar|b}}
!scope="col"|{{mvar|c}}
!scope="col" class="unsortable"|Discovered by
|-
!scope="row"|1
|1.6299||2||3{{sup|10}}·109||23{{sup|5}}||Eric Reyssat
|-
!scope="row"|2
|1.6260||11{{sup|2}}||3{{sup|2}}·5{{sup|6}}·7{{sup|3}}||2{{sup|21}}·23 ||Benne de Weger
|-
!scope="row"|3
|1.6235||19·1307||7·29{{sup|2}}·31{{sup|8}}||2{{sup|8}}·3{{sup|22}}·5{{sup|4}}||Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
|-
!scope="row"|4
|1.5808||283||5{{sup|11}}·13{{sup|2}}||2{{sup|8}}·3{{sup|8}}·17{{sup|3}}||Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
|-
!scope="row"|5
|1.5679||1||2·3{{sup|7}}||5{{sup|4}}·7||Benne de Weger
|}

== 証明 ==
2012年8月30日、[[京都大学数理解析研究所]]教授の[[望月新一]]が abc予想を証明する論文をインターネット上に公開した<ref name="Mochizuki2012d">{{Cite paper
|url = http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
|title = Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.
|first = Shinichi
|last = Mochizuki
|format = PDF
|work = Working Paper
|date = 2012-08-30
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref><ref name=Mochizukiweb>{{Cite web
|url = http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html
|title = 望月新一の最新情報
|publisher = 京都大学数理解析研究所望月研究室
|date = 2012-08-30
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref><ref name="Mochizuki2012a">{{Cite paper
|url = http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
|title = Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters.
|first = Shinichi
|last = Mochizuki
|format = PDF
|work = Working Paper
|date = 2012-08-30
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref><ref name="Mochizuki2012b">{{Cite paper
|url = http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf
|title = Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation.
|first = Shinichi
|last = Mochizuki
|format = PDF
|work = Working Paper
|date = 2012-08-30
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref><ref name="Mochizuki2012c">{{Cite paper
|url = http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf
|title = Inter-universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.
|first = Shinichi
|last = Mochizuki
|format = PDF
|work = Working Paper
|date = 2012-08-30
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref>。[[イギリス]]の科学誌[[ネイチャー]]は、同教授は新たな数学的手法を開発し、それを駆使して証明を展開しているため「[[査読]]に時間がかかるだろう」と報じた<ref name="Nature20120910">{{citation
|url = http://www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378
|title = Proof claimed for deep connection between primes
|journal = [[ネイチャー|Nature]]
|date = 10 September 2012|first=Phillip
|last = Ball
|authorlink = Philip Ball
}}.</ref><ref name="nikkei20120918">{{Cite news
|title = 数学の難問「ＡＢＣ予想」、京大教授が解明か
|url = http://www.nikkei.com/article/DGXNASDG1805T_Y2A910C1000000/?dg=1
|publisher = 日本経済新聞
|agency = [[共同通信社]]
|date = 2012-09-18
|accessdate = 2012-09-18
}}</ref>。証明に用いた新たな手法（宇宙際タイヒミュラー理論）は他の整数論の問題を解く強力な道具になると期待されている<ref name="nikkei20120918" />。

それらの論文について、2012年10月に Vesselin Dimitrov と{{仮リンク|アクシェイ・ヴェンカテシュ|en|Akshay Venkatesh}}により誤りが指摘<ref>この議論の発端は、[[MathOverflow]]の記事 [http://mathoverflow.net/questions/106560/philosophy-behind-mochizukis-work-on-the-abc-conjecture Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture] である</ref>されたが、望月は指摘を認めつつ本質的結果は影響されないとコメントし、訂正を約束した<ref>{{cite news
|title = An ABC proof too tough even for mathematicians
|author = Kevin Hartnett
|date = 2012-11-03
|newspaper = Boston Globe
|url = http://www.bostonglobe.com/ideas/2012/11/03/abc-proof-too-tough-even-for-mathematicians/o9bja4kwPuXhDeDb2Ana2K/story.html
}}</ref>。以後、同年12月より指摘事項の修正や他の校正等を含む一連の訂正版論文を発表している<ref name=Mochizukiweb/>。

[[2015年]]、{{ill2|Ivan Fesenko|en|Ivan Fesenko}} によって、望月の宇宙際タイヒミュラー理論に対する初のサーベイ論文が発表された<ref>Ivan Fesenko. (2015) "[https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/notesoniut.pdf Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki]."</ref>。

[[2017年]][[9月1日]]、京都大学数理解析研究所の山下剛から宇宙際タイヒミュラー理論に対する初のサーベイ論文が発表された<ref>[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc_ver6.pdf Go Yamashita, ''A Proof of abc Conjecture After Mochizuki'']</ref>。

2017年12月、5年余りの査読の末に、望月の論文が数学誌 ''PRIMS'' に掲載される見通しになったという報道もあった<ref>{{Cite news
|title = 数学の超難問・ＡＢＣ予想を「証明」　望月京大教授
|url = http://www.asahi.com/articles/ASKDD5Q6MKDDPLBJ007.html 
|publisher = 朝日新聞
|date = 2017-12-16
|accessdate = 2017-12-16
}}</ref><ref>https://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20171216-00000005-asahi-soci</ref>が、実際には掲載されず、望月の論文は現在も査読中という状況である<ref>[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~prims/ ]にあるように、そもそもPRIMSは望月自身が編集委員を務める雑誌である。</ref><ref>{{Cite web
|title = Not Even Wrong
|url = http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=9871
|publisher = Peter Woit
|accessdate = 2019-5-3
}}</ref><ref>{{Cite web
|title = Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture
|url = https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/
|author = Erica Klarreich
|publisher = Quonta Magazine
|accessdate = 2019-5-3
}}</ref>。

== 脚注 ==
=== 注 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{Refbegin}}
*{{Cite journal|和書
|first = 隆雄
|last = 山崎
|title = フェルマー予想とABC予想
|journal = [[数学セミナー]]|year = 2010
|month = 10
|url = http://www.math.tohoku.ac.jp/~ytakao/papers/abc.pdf
|format = pdf
|accessdate = 2012-09-19
|ref = harv
}}
*{{Cite journal|和書
|author = 野口潤次郎
|title = ネヴァンリンナ理論とイロハ(abc-)予想
|journal = 数理解析研究所講究録
|volume = 1274
|pages = 70-76
|url = http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/42249/1/1274_08.pdf |format = pdf
|publisher = [[京都大学数理解析研究所]]
|id = [http://hdl.handle.net/2433/42249 handle:2433/42249]
}}
*{{Cite web
|author = 田口雄一郎
|title = abc予想の話
|url = http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~taguchi/nihongo/abc.html
|format = html
|accessdate = 2012-09-20
}}
*{{Cite book
|last = Baker
|first = Alan
|authorlink = Alan Baker (mathematician)
|chapter = Logarithmic forms and the ''abc''-conjecture
|editor-last = Győry
|editor-first = Kálmán
|title = Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996
|location = Berlin
|publisher = de Gruyter
|pages = 37-44
|year = 1998
|isbn = 3-11-015364-5
|zbl = 0973.11047
|ref = harv
}}
*{{Cite book
|first1 = Enrico
|last1 = Bombieri
|authorlink1 = Enrico Bombieri
|first2 = Walter
|last2 = Gubler
|title = Heights in Diophantine Geometry
|series = New Mathematical Monographs
|volume = 4
|publisher = [[Cambridge University Press]]
|year = 2006
|isbn = 978-0-521-71229-3
|zbl = 1130.11034
|doi = 10.2277/0521846153
}}
*{{Cite journal
|authorlink = Jerzy Browkin
|first = Jerzy
|last = Browkin
|first2 = Juliusz
|last2 = Brzeziński
|title = Some remarks on the ''abc''-conjecture
|journal = Math. Comp.
|volume = 62
|pages = 931–939
|year = 1994
|doi = 10.2307/2153551
|jstor = 2153551
|issue = 206
|ref = harv
}}
*{{Cite book
|last = Browkin
|first = Jerzy
|chapter = The ''abc''-conjecture
|editor1-last = Bambah|editor1-first = R. P.
|editor2-last = Dumir|editor2-first = V. C.
|editor3-last = Hans-Gill|editor3-first = R. J.
|year = 2000
|title = Number Theory
|series = Trends in Mathematics
|location = Basel
|publisher = Birkhäuser
|isbn = 3-7643-6259-6
|pages = 75–106
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|first = Andrzej
|last = Dąbrowski
|title = On the diophantine equation <math>x!+A=y^2</math>
|journal = Nieuw Archief voor Wiskunde, IV.
|volume = 14
|pages = 321–324
|year = 1996
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last = Elkies
|first = N. D.
|authorlink = Noam Elkies
|title = ABC implies Mordell
|journal = Intern. Math. Research Notices
|volume = 7
|year = 1991
|pages = 99–109
|doi=10.1155/S1073792891000144
|issue = 7
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last = Goldfeld
|first = Dorian
|authorlink = Dorian M. Goldfeld
|year = 1996
|title = Beyond the last theorem
|journal = [[Math Horizons]]
|issue = September
|pages = 26–34
|ref = harv
|url = http://www.ega-math.narod.ru/Liv/Goldfeld.htm
|format = html
}}
*{{Cite book
|editor1-last = Gowers|editor1-first = Timothy
|editor1-link = Timothy Gowers
|editor2-last = Barrow-Green|editor2-first = June
|editor3-last = Leader|editor3-first = Imre
|title = [[The Princeton Companion to Mathematics]]
|year = 2008
|publisher = Princeton University Press
|location = Princeton
|isbn = 978-0-691-11880-2
|pages = 361–362, 681
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last1 = Granville|first1 = Andrew
|authorlink = Andrew Granville
|last2 = Stark|first2 = H.
|year = 2000
|title = ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent
|url = http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/NoSiegelfinal.pdf 
|journal=[[Inventiones Mathematicae]]
|volume = 139
|pages = 509–523
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last1 = Granville|first1 = Andrew
|authorlink = Andrew Granville
|last2 = Tucker|first2 = Thomas
|year = 2002
|title = It’s As Easy As abc
|url = http://www.ams.org/notices/200210/fea-granville.pdf
|journal = [[Notices of the AMS]]
|volume = 49
|issue = 10
|pages = 1224–1231
|ref = harv
}}
*{{Cite book
|first = Richard K.
|last = Guy
|authorlink = Richard K. Guy
|title = Unsolved Problems in Number Theory
|publisher = [[Springer-Verlag]]
|location = Berlin
|year = 2004
|isbn = 0-387-20860-7
|ref = harv
}}
*{{Cite book
|last = Lando|first = Sergei K.
|first2 = Alexander K.|last2 = Zvonkin
|title = Graphs on Surfaces and Their Applications
|publisher = Springer-Verlag
|work = Encyclopaedia of Mathematical Sciences: Lower-Dimensional Topology II
|volume = 141
|year = 2004
|isbn = 3-540-00203-0
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last = Langevin
|first = M.
|year = 1993
|title = {{lang|fr|Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture ''abc''}}
|journal = Comptes rendus de l'Académie des sciences
|volume = 317
|issue = 5
|pages = 441–444
|doi =
|ref = harv
}} {{fr icon}}
*{{Citation
|last1 = Masser
|first1 = D. W.
|editor1-last = Chen
|editor1-first = W. W. L.
|title = Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory
|publisher = London: Imperial College
|year = 1985
|chapter = Open problems
}}
*{{Cite journal
|last = Nitaj
|first = Abderrahmane
|title = {{lang|fr|La conjecture ''abc''}}
|journal = Enseign. Math.
|volume = 42
|issue = 1–2
|pages = 3–24
|year = 1996
|ref = harv
}} {{fr icon}}
*{{Citation
|last1 = Oesterlé
|first1 = Joseph
|title = Nouvelles approches du "théorème" de Fermat
|url = http://www.numdam.org/item?id=SB_1987-1988__30__165_0
|series = Séminaire Bourbaki exp 694
|id = {{MR|992208|}}
|year = 1988
|journal = Astérisque
|issn = 0303-1179
|issue = 161
|pages = 165–186
}}
*{{Cite book
|last = Pomerance
|first = Carl
|authorlink = Carl Pomerance
|chapter = Computational Number Theory
|title = The Princeton Companion to Mathematics
|location =
|publisher = Princeton University Press
|year = 2008
|pages = 361–362
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last = Silverman
|first = Joseph H.
|year = 1988
|title = Wieferich's criterion and the ''abc''-conjecture
|journal = Journal of Number Theory
|volume = 30
|issue = 2
|pages = 226–237
|doi = 10.1016/0022-314X(88)90019-4
|zbl = 0654.10019
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last = Stewart |first = C. L.
|authorlink = Cameron Leigh Stewart
|last2 = Tijdeman |first2 = R.
|authorlink2 = Robert Tijdeman
|year = 1986
|title = On the Oesterlé-Masser conjecture
|journal = Monatshefte für Mathematik
|volume = 102
|issue = 3
|pages = 251–257
|doi = 10.1007/BF01294603
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last = Stewart
|first = C. L.
|authorlink2 = Kunrui Yu
|first2 = Kunrui
|last2 = Yu
|year = 1991
|title = On the ''abc'' conjecture
|journal = [[Mathematische Annalen]]
|volume = 291
|issue = 1
|pages = 225–230
|doi = 10.1007/BF01445201
|ref = harv
}}
*{{Cite journal
|last = Stewart|first = C. L.
|first2 = Kunrui|last2 = Yu
|year = 2001
|title = On the ''abc'' conjecture, II
|journal = [[Duke Mathematical Journal]]
|volume = 108
|issue = 1
|pages = 169–181
|doi = 10.1215/S0012-7094-01-10815-6
|ref = harv
}}
{{Refend}}

== 関連文献 ==
*{{Cite book|和書
|author = 黒川信重
|authorlink = 黒川信重
|date = 2012-11-30
|title = リーマン予想の探求　ABCからZまで
|chapter = 付録　数論の有名な予想のいくつか　(1)abc予想
|series=  知りたい！サイエンス 118
|publisher = 技術評論社
|isbn = 978-4-7741-5388-9
|url = http://gihyo.jp/book/2012/978-4-7741-5388-9
|ref = 黒川2012
}}
*{{Cite book|和書
|author = 黒川信重
|coauthors = [[小山信也]]
|date = 2013-03-18
|title = ABC予想入門
|series = PHPサイエンス・ワールド新書 067
|publisher = PHP研究所
|isbn = 978-4-569-81067-6
|url = http://www.php.co.jp/books/detail.php?isbn=978-4-569-81067-6
|ref=黒川＆小山2013}}
*{{Cite book|和書
|author = 黒川信重
|coauthors = [[小島寛之]] 対談
|date = 2013-07-23
|title = 21世紀の新しい数学　絶対数学、リーマン予想、そしてこれからの数学　ABC予想の先を語り尽くす白熱の10時間
|series = 知の扉シリーズ
|publisher = 技術評論社
|isbn = 978-4-7741-5829-7
|url = http://gihyo.jp/book/2013/978-4-7741-5829-7
|ref = 黒川＆小島2013
}}
*{{Cite book|和書
|author = S・ラング
|authorlink = サージ・ラング
|others = [[細川尋史]] 訳
|year = 2009
|month = 10
|title = ラング数学を語る
|chapter = Lecture II abc 予想
|series = シュプリンガー数学リーディングス 第16巻
|publisher = シュプリンガー・ジャパン
|isbn = 978-4-431-70908-4
|ref = ラング2009a
}}
**{{Cite book|和書
|author = S・ラング
|others = 細川尋史 訳
|year = 2009
|month = 10
|title = ラング数学を語る
|chapter = Lecture II abc 予想
|series = シュプリンガー数学リーディングス 第16巻
|publisher = 丸善出版
|isbn = 978-4-621-06204-3
|url = http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621062043.html
|ref = ラング2009b
}}

== 関連項目 ==
*[[数学上の未解決問題]]
*[[ABC@home|ABC@Home]]
*[[Berkeley Open Infrastructure for Network Computing]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ABC予想|2=知恵蔵2013}}
*{{MathWorld|title=abc Conjecture|urlname=abcConjecture}}
*[https://wired.jp/special/2016/shinichi-mochizuki/ 「異世界からきた」論文を巡って　ー　望月新一による「ＡＢＣ予想」の証明と、数学界の戦い]
*{{PDFlink|[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/intro_iut.pdf 星裕一郎:「宇宙際Teichmüller 理論入門」（2015年11月）]}}
*[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTeich%20Kenshou%20Houkoku%202014-12.pdf 宇宙際タイヒミューラー理論の検証：進捗状況の報告（2014年12月現在）]

{{DEFAULTSORT:abcよそう}}
[[Category:数論]]
[[Category:数論幾何]]
[[Category:予想]]
[[Category:数学に関する記事]]