閉道 (位相幾何学)のソースを表示

[[File:Fundamental group torus2.png|thumb|[[トーラス]]における二つの閉道 {{mvar|a, b}}]]
[[数学]]の特に[[位相幾何学]]における'''閉道'''（へいどう、{{lang-en-short|''closed-path''}}）または'''ループ''' (''loop'') は、始点と終点が等しい[[道 (位相幾何学)|道]]を言う{{sfn|Adams|1978|p={{google books quote|id=e2rYkg9lGnsC|pg=PA3|3}}}}。閉道の始点かつ終点となる点を'''基点''' (basepoint) と呼ぶ<ref>{{MathWorld|urlname=Basepoint|title=Basepoint|author=Renze, John}}</ref>。

陽に書けば、[[位相空間]] {{mvar|X}} 内の閉道とは、[[単位区間]] {{math|''I'' {{coloneqq}} {{closed-closed|0, 1}}}} から {{mvar|X}} への[[連続写像]] {{mvar|f}} で {{math|1=''f''(0) = ''f''(1)}} を満たすものである。[[点付き空間|点付き]][[単位円]] {{math|''S''{{sup|1}}}} は {{mvar|I}} の {{math|0}} と {{math|1}} を等化して得られる[[商位相空間]]と見なせるから、{{mvar|X}} 内の閉道を {{math|''S''{{sup|1}}}} から {{mvar|X}} への連続写像 {{mvar|f}} のことと定めてもよい。基点 {{mvar|x}} を持つ閉道の全体は {{math|Ω{{sub|''x''}}''X''}} のように書かれる<ref>{{PlanetMath|urlname=loopspace|title=loop space}}</ref>。{{mvar|X}} 内の閉道全体の成す集合は、[[コンパクト開位相]]を入れて {{mvar|X}} の[[ループ空間]] {{math|Ω''X''}} と呼ばれる一つの位相空間を成す{{sfn|Adams|1978}}。

やや変更して、適当な実数 {{math|{{abs|''f''}} > 0}} に対して閉区間 {{closed-closed|0, {{abs|''f''}}}} を定義域とする連続写像 {{math|''f'': {{closed-closed|0, {{abs|''f''}}}} → ''X''; ''f''(0) {{=}} ''f''({{abs|''f''}})}} を {{mvar|X}} 内のムーアループ (Moore loop) と呼ぶ<ref>{{citation|title=Algebra and Algebraic Topology|first=Ched E. |last=Stedman|publisher=Nova Publishers|year= 2007|isbn=9781600211874}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=LujMauwUvWcC|pg=PA44|text=moore+loop|44}}}}。基点を共有するムーアループの全体は道の合成 (concatenation) に関してモノイドを成す<ref>{{nlab|urlname=loop#concatenation|title=loop, 2. Concatenation}}</ref>。

[[複素解析]]では求長可能な閉道に興味がもたれる。{{math|''X'' {{coloneqq}} '''ℂ'''}} のとき、閉道 {{mvar|γ}} に対し、{{mvar|γ}} の[[回転数 (数学)|巻き数]] (winding number) {{math|''I''(''γ'', ''z''{{sub|0}})}} が各点 {{math|''z''{{sub|0}} ∈ '''ℂ''' {{setminus}} ''γ''({{closed-closed|0, 1}})}} で定義される。これは {{math|''z''{{sub|0}}}} の周りを {{mvar|γ}} が何周するかを表す[[整数]]であり、<math display="block">I(\gamma, z_0) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{dz}{z-z_0}</math> で計算できる。

== 関連項目 ==
* {{ill2|自由ループ|en|Free loop}}: 基点を持たない閉道
* {{ill2|ループ群|en|Loop group}}: 位相群上のループ空間が点ごとの積に関してなす群
* {{ill2|ループ空間|en|Loop space}}
* [[ループ代数]]
* [[基本群]]: 閉道の基点を保つホモトピー類の全体が道の合成に関してなす群

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{citation|title=Infinite Loop Spaces|volume=90|series=Annals of mathematics studies|first=John Frank|last=Adams|publisher=[[Princeton University Press]]|year=1978|isbn=9780691082066}}.

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Loop|title=Loop|author=Renze, John; Stover, Christopher; Weisstein, Eric W.}}
* {{nlab|urlname=loop|title=loop}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Loop_(Topology)|title=Definition:Loop (Topology)}}
* {{SpringerEOM|urlname=Loop_(in_topology)|title=Loop (in topology)|first=M.I.|last=Voitsekhovskii}}

{{DEFAULTSORT:へいとう}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
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