運動量のソースを表示

<!--{{出典の明記|date=2011年10月}}{{正確性|date=2006年9月}}-->
{{物理量
|名称 = 
|英語 = momentum
|画像 = 
|記号 = ''p''
|次元 = [[質量|M]] [[長さ|L]] [[時間|T]]{{sup-|1}}
|階 = ベクトル
|SI = [[ニュートン秒]] (N&middot;s), グローバー (G)
|CGS = ダイン秒 (dyn&middot;s)
|MTS =
|FPS = 
|MKSG =
|CGSG =
|FPSG =
|プランク = [[プランク運動量]]
|原子 =
}}
{{古典力学}}
{{読み仮名|'''運動量'''|うんどうりょう|{{Lang-en-short|momentum}}}}とは、初等的には[[物体]]の[[運動 (物理学)|運動]]の[[状態]]を表す[[物理量]]で、[[質量]]と[[速度]]の[[積]]として定義される。この意味の運動量は後述する一般化された運動量と区別して、'''運動学的運動量'''（あるいは'''動的運動量'''<ref>{{lang-en-short|kinetic momentum}}、{{lang|en|dynamical momentum}}</ref>と呼ばれる。また、'''[[角運動量]]'''<ref>{{lang-en-short|angular momentum}}</ref>という運動量とは異なる量と対比する上で、'''線型運動量'''<ref>{{lang-en-short|linear momentum}}、{{lang|en|translational momentum}}</ref>などと呼ばれることもある。

==概要(1)==
日常生活において、物体の持つ運動量は、動いている物体の止めにくさとして体感される。つまり、重くて速い物体ほど運動量が大きく、静止させるのに大きな[[力積]]が必要になる。

[[アイザック・ニュートン]]は運動量の時間的変化と力の関係を[[運動の第2法則]]として提示した{{sfn|松田|1993|p=21}}{{sfn|Newton|1729|loc=Axioms, or Laws of Motion; Law II}}。

[[解析力学]]では、上述の定義から離れ、運動量は[[一般化座標系|一般化座標]]と[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]を通じて与えられる。この運動量は一般化座標系における一般化速度の対応物として、'''一般化運動量'''<ref>{{lang-en-short|generalized momentum}}</ref>と呼ばれる。

特に[[ハミルトン力学|ハミルトン形式]]の解析力学においては、[[正準方程式]]を通じて与えられる[[正準変数]]の一方を座標と呼び他方を'''運動量'''と呼ぶ{{sfn|須藤|2008|pp=42&ndash;43,48&ndash;51|loc=&sect;5 ハミルトン形式と正準変換}}。この意味の運動量は、他と区別して、[[ハミルトン力学#正準変換|正準運動量]]<ref>{{lang-en-short|canonical momentum}}</ref>と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、'''共役運動量'''<ref>{{lang-en-short|conjugate momentum}}</ref>と呼ばれる{{sfn|須藤|2008|pp=42,51|loc=&sect;5 ハミルトン形式と正準変換}}。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の[[量子力学]]においても重要な役割を果たす。

共役運動量と通常の運動学的運動量の違いが際立つ例として、[[磁場]]中を運動する[[電子]]の運動の例が挙げられる（[[#解析力学における運動量]]も参照）。[[電磁場]]中を運動する電子に対しては[[ローレンツ力]]が働くが、このローレンツ力に対応する一般化された[[ポテンシャルエネルギー]]には電子の速度の項があるために、共役運動量は[[ラグランジアン]]のポテンシャル項に依存した形になる{{sfn|須藤|2008|pp=202&ndash;204|loc=付録 A 電磁場の古典論}}。このとき共役運動量と運動学的運動量は一致しない。また、電磁場中の電子の運動を記述する古典的ハミルトニアンでは、共役運動量の部分がすべて共役運動量から[[ベクトルポテンシャル]]の寄与を引いたものに置き換わる{{sfn|須藤|2008|pp=202&ndash;204|loc=付録 A 電磁場の古典論}}。

==概要(2)==
運動量は、[[運動の第2法則]]において、その時間に対する変化の割合が[[力 (物理学)|力]]と等しい量として導入される。
つまり、運動量 {{mvar|'''p'''}} は[[ニュートンの運動方程式]]、
{{Indent|<math>
\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} =\boldsymbol{F}(t)
</math>}}
を満たす。力 {{mvar|'''F'''}} は[[ベクトル量]]であり、運動量もまたベクトル量である。また、定義から明らかなように、運動量は時刻 {{mvar|t}} の[[関数 (数学)|関数]]として表される量である。

[[質点]]の運動量は、質点の[[速度]]に[[比例]]する。質点の運動量は、質点の速度を {{mvar|'''v'''}} と表し、比例係数を {{mvar|m}} とすると、
{{Indent|<math>
\boldsymbol{p} =m\boldsymbol{v}
</math>}}
で与えられる。ここで導入された比例係数 {{mvar|m}} は'''[[慣性質量]]''' {{en|(inertial mass)}} と呼ばれ質点の速度の変化し難さを表す。運動量の変化量は[[力積]]であるが、運動の間、慣性質量が一定であるとすれば、速度の変化量は力積を慣性質量で割ったものとなる。従って、同じ大きさの力積に対しては、慣性質量が大きいほど速度の変化は小さいものとなる。

== 時間的な変化 ==
{{Main|力積}}
時刻 {{math|''t''{{sub|0}}}} から {{math|''t''{{sub|1}}}} の間の物体の運動量の変化量を
{{Indent|
<math>\Delta \boldsymbol{p}(t_0; t_1) \equiv \boldsymbol{p}(t_1) -\boldsymbol{p}(t_0)
 =\int_{t_0}^{t_1} \frac{d\boldsymbol{p}}{dt}\, dt</math>
}}
とする。
この物体が時刻 {{mvar|t}} に力 {{math|{{mvar|'''F'''}}({{mvar|t}})}} を受けながら運動していたとすると、[[運動方程式]]から運動量の時間変化率 {{math|{{mvar|d'''p'''}}/{{mvar|dt}}}} は力 {{math|{{mvar|'''F'''}}({{mvar|t}})}} に等しいため、運動量の変化量 {{math|&Delta;'''''p'''''}} は
{{Indent|
<math>\Delta \boldsymbol{p}(t_0; t_1) =\int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}(t)\, dt
 \equiv \mathrm{Imp}</math>
}}
となり力 {{math|{{mvar|'''F'''}}({{mvar|t}})}} を時刻 {{math|''t''{{sub|0}}}} から {{math|''t''{{sub|1}}}} まで[[積分]]したものに等しい。
この力の時間積分は'''[[力積]]'''（{{en|impulse}}）と呼ばれ、運動量の変化量に等しい。

時間 {{math|1=&Delta;''t''=''t''{{sub|1}}&minus;''t''{{sub|0}}}} で物体が受ける力の時間的な[[平均]]は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{F}_\text{ave}(t_0; t_1) \equiv \frac{1}{\Delta t} \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}(t)\, dt</math>
}}
で定義される。力の時間平均 {{math|{{mvar|'''F'''}}{{sub|ave}}}} を用いれば力積は
{{Indent|
<math>\mathrm{Imp} =\Delta\boldsymbol{p}(t_0; t_1) =\boldsymbol{F}_\text{ave}(t_0; t_1) \Delta t</math>
}}
となる。
特に時間 {{math|&Delta;''t''}} が充分に短く、力が一定であると見なせる場合には、力積は単に力と時間の積
{{Indent|
<math>\mathrm{Imp} =\Delta\boldsymbol{p} =\boldsymbol{F}\, \Delta t</math>
}}
として表すことができる。

つまり、物体に一定の力を加えて、物体の運動量の変化を大きくするには、力が作用する時間を長くすればよい。逆に、大きな力を加えたとしても、それがごく短期間のものであれば、物体に与える力積は小さくなる。

== 質点系の運動 ==
運動量は加法的な量であり、系の全運動量は部分の運動量の和で表される。

質点系の全運動量 {{mvar|'''P'''}} は、質点 {{math|''i'' {{=}} 1, 2, 3,...}} の運動量 {{math|'''''p'''<sub>i</sub>'' {{=}} ''m<sub>i</sub>'''v'''<sub>i</sub>'' {{=}} ''m<sub>i</sub>{{sfrac|d'''r'''<sub>i</sub>|dt}}''}} とすれば
{{Indent|<math>
\boldsymbol{P}(t) =\sum_i \boldsymbol{p}_i(t)
 =\sum_i m_i\, \frac{d\boldsymbol{r}_i}{dt}
 =\frac{d}{dt} \left( \sum_i m_i\, \boldsymbol{r}_i(t) \right)
</math>}}
となる。
ここで質点系の全質量 {{mvar|M}} と[[質量中心]] {{math|'''''r'''''<sub>g</sub>}} を
{{Indent|<math>
M =\sum_i m_i,~
\boldsymbol{r}_g(t) =\frac{1}{M} \sum_i m_i\, \boldsymbol{r}_i(t)
</math>}}
により導入すれば
{{Indent|<math>
\boldsymbol{P}(t) =M\frac{d\boldsymbol{r}_g}{dt}
</math>}}
となる。
即ち、質点系の全運動量は、質量中心に全質量が集中していると考えたときの運動量に等しい。

質点 {{mvar|i}} の運動量 {{mvar|'''p'''<sub>i</sub>}} の時間変化は、質点 {{mvar|i}} に作用する力 {{mvar|'''F'''<sub>i</sub>}} に等しく
{{Indent|<math>
\frac{d\boldsymbol{p}_i}{dt}
 =\boldsymbol{F}_i
</math>}}
を満たす。
ここで質点 {{mvar|i}} に作用する力は、質点系の外部から作用する外力と、系に含まれる他の質点との内部相互作用に分けられる。
質点 {{mvar|i}} に作用する外力を {{mvar|'''f'''<sub>i</sub>}}、質点 {{mvar|j}} から質点 {{mvar|i}} に作用する内力を {{mvar|'''f'''<sub>ij</sub>}} とすれば
{{Indent|
<math>\boldsymbol{F}_i =\boldsymbol{f}_i +\sum_j \boldsymbol{f}_{ij}</math>
}}
と表される。
ただし、質点 {{mvar|i}} から質点 {{mvar|i}} 自身に作用する力は {{math|'''''f'''<sub>ii</sub>'' {{=}} 0}} とする。
全運動量の時間変化を考えると
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =\sum_i \frac{d\boldsymbol{p}_i}{dt}
 =\sum_i \boldsymbol{f}_i +\sum_{i,j} \boldsymbol{f}_{ij}</math>
}}
となる。
ここで[[運動の第3法則]]から、質点 {{mvar|j}} から質点 {{mvar|i}} に作用する力 {{mvar|'''f'''<sub>ij</sub>}} と
質点 {{mvar|i}} から質点 {{mvar|j}} に作用する力 {{mvar|'''f'''<sub>ji</sub>}} は大きさが等しく符号が逆なので
{{Indent|
<math>\boldsymbol{f}_{ij} =-\boldsymbol{f}_{ji},~
\boldsymbol{f}_{ij} +\boldsymbol{f}_{ji} =0</math>
}}
が成り立ち、内力を全て足し合わせたものは {{math|0}} となる。
従って
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{P}}{dt}
 =M\frac{d^2\boldsymbol{r}_g}{dt^2}
 =\sum_i \boldsymbol{f}_i</math>
}}
となり、質点系の全運動量の時間変化は作用する外力の[[総和]]と等しい。
これは、重力などの単純な外力の下では質量中心の運動が相対位置の運動から分離できることを意味している。

== 保存則 ==
{{Main|運動量保存の法則}}
質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =\frac{d}{dt} \left(
 \sum_i\boldsymbol{p}_i(t) \right) =0</math>
}}
{{Indent|
<math>\boldsymbol{P}(t) =\sum_i\boldsymbol{p}_i(t) =\text{const.}</math>
}}
が成り立つ。
つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。これは'''[[運動量保存の法則]]''' {{en|(law of conservation of momentum)}} と呼ばれる。運動量保存の法則は、ニュートン力学においては[[作用反作用の法則]]から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である{{sfn|砂川|1987|p=234|loc=第 5 章 &sect;2 電磁場のエネルギーと運動量}}。たとえば、[[電磁気学]]などの[[場の理論]]では[[近接作用|近接作用論]]の立場をとり、[[遠隔作用|遠隔作用論]]的な法則である[[作用反作用の法則]]をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される{{sfn|砂川|1987|pp=156&ndash;160; 234&ndash;240|loc=第 3 章 &sect;5 定常電流間に作用する力; 第 5 章 &sect;2 電磁場のエネルギーと運動量}}。

== モーメント ==
{{Main|角運動量}}
物理学において、[[ベクトル空間|ベクトル]]で表される物理量とある原点に対する位置の[[ベクトル積|外積]]を[[モーメント]]という。運動量のモーメントは、'''角運動量''' {{en|(angular momentum)}} と呼ばれ、次のように定義される。
{{Indent|<math>
\boldsymbol{L} := \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}.
</math>}}
古典的な角運動量の大きさは、位置ベクトル {{mvar|'''r'''}} の大きさと、運動量  {{mvar|'''p'''}} の {{mvar|'''r'''}} に[[直交]]する成分の大きさの積として表される。2 つのベクトル {{math|'''''r''''', '''''p'''''}} が載っている平面上の、2 つのベクトル {{math|'''''r''''', '''''p'''''}} の間の角度を {{mvar|&theta;}} とすれば、角運動量の大きさは次のように表される。
{{indent|<math>
\left|\boldsymbol{L}\right| = \left|\boldsymbol{r}\right|\left|\boldsymbol{p}_\perp\right| 
=\left|\boldsymbol{r}\right|\left|\boldsymbol{p}\right| \sin\theta.
</math>}}

解析力学においては、角運動量は[[角度]]に対応した一般化運動量として得られる。

角運動量は、[[ニュートンの運動方程式]]と同様な方程式、
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}</math>
}}
を満たす。ここで {{math|'''''N''''' {{coloneqq}} '''''r''''' &times; '''''F'''''}} は物体に作用する[[力のモーメント]]である。

== 解析力学における運動量 ==
[[解析力学]]において、[[一般化座標]] {{mvar|q<sub>i</sub>}} に対応する'''一般化運動量''' {{en|(generalized momentum)}} {{mvar|p<sub>i</sub>}} はその[[系 (自然科学)|系]]の[[ラグランジアン]] {{math|''L''('''''q''''', {{dot|'''''q'''''}})}} の一般化速度 {{math|{{dot|''q''}}''<sub>i</sub>''}} による[[偏微分]]として定義される。
{{Indent|
<math>p_i := \frac{\partial L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol q})}{\partial\dot{q}_i}</math>
}}
ここで、ラグランジアン {{math|''L''('''''q''''', {{dot|'''''q'''''}})}} は、[[運動エネルギー]] {{mvar|K}}、[[ポテンシャル]] {{mvar|U}} の差として定義される。
{{Indent|
<math>L=K-U.</math>
}}

[[ハミルトン力学|ハミルトン形式]]の力学では、一般化速度の代わりに一般化運動量が力学変数として用いられる。[[ハミルトニアン]] {{math|''H''('''''q''''', '''''p''''')}} は、ラグランジアン {{math|''L''('''''q''''', {{dot|'''''q'''''}})}} の[[ルジャンドル変換]]として定義される{{sfn|須藤|2008|pp=45&ndash;47|loc=5.2 ルジャンドル変換}}。ルジャンドル変換{{sfn|田崎|2000|pp=259&ndash;270; 270&ndash;278|loc=付録 G. 凸関数; H. Legendre 変換}}
{{indent|<math>
H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) := \max_{\dot{\boldsymbol q}\in D} \left\{
\dot{\boldsymbol q}\cdot\boldsymbol{p} - L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol q})
\right\}
</math>}}
の右辺を最大化する {{math|{{dot|'''''q'''''}}}} を考えると、ルジャンドル変換をする領域 {{mvar|D}} の中でラグランジアンが[[凸関数|凸]]でありかつ[[滑らかな関数|充分滑らか]]なら、そのような {{math|{{dot|'''''q'''''}}}} は以下の関係を満たす。
{{indent|<math>
\frac{\partial}{\partial \dot{\boldsymbol q}}\left(
\dot{\boldsymbol q}\cdot\boldsymbol{p} - L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol q}
)\right) = \boldsymbol{0}.
</math>}}
これはすなわち、ハミルトニアンの変数 {{mvar|'''p'''}} が一般化運動量に等しいことを意味する。

=== 直交座標系 ===
3 次元の[[直交座標系]] {{math|'''''x''''' {{=}} ''x''{{hat|'''x'''}} + ''y''{{hat|'''y'''}} + ''z''{{hat|'''z'''}}}} においては、[[ポテンシャル]]が[[速度]] {{math|{{dot|'''''x'''''}}}} に依存しないときには
{{Indent|
<math>L(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}})
 = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)
 -U(\boldsymbol{x})</math>
}}
{{Indent|
<math>p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial\dot{\alpha}} = m\dot{\alpha}, \quad \alpha = x, y, z</math>
}}
であり、このとき一般化運動量 {{mvar|'''p'''}} は質量と速度の積となっている。これは[[ニュートン力学|ニュートン形式]]の運動量に一致する。

=== 極座標系 ===
一般化座標として二次元[[極座標]] {{math|'''''x''''' {{=}} (''r'', ''&theta;'')}} を選ぶと、ラグランジアン及び {{math|''r'', ''&theta;''}} に共役な運動量 {{math|''p<sub>r</sub>'', ''p<sub>&theta;</sub>''}} はそれぞれ
{{Indent|
<math>L(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta})
 = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)
 -U(\boldsymbol{x})</math>
}}
{{Indent|
<math>p_r = \frac{\partial L}{\partial\dot{r}} = m\dot{r}</math>
}}
{{Indent|
<math>p_\theta = \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}</math>
}}
となる。ここで、{{mvar|&theta;}} に共役な運動量は[[角運動量]]となっている。また {{mvar|r}} の共役運動量は動径方向への運動量を表している。

=== 一般化されたポテンシャル ===
ポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。
{{indent|<math>
p_i = \frac{\partial (K(\boldsymbol{v}) - U(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v}))}{\partial v_i} \ne \frac{\partial K(\boldsymbol{v})}{\partial v_i} = mv_i.
</math>}}

このような系の例として、[[電磁場]]中を運動する[[電荷]]を持つ[[粒子]]の[[特殊相対性理論|非相対論的]]な運動が挙げられる。
この系のラグランジアンは具体的に
{{Indent|
<math>L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})
 = \frac{m}{2}\boldsymbol{v}^2 - e\phi(\boldsymbol{x})
 + e\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})</math>
}}
である。ここで {{mvar|e}} は物体の持つ[[電荷]]、{{mvar|&phi;}} は[[電磁ポテンシャル|スカラーポテンシャル]]、{{mvar|'''A'''}} は[[電磁ポテンシャル|ベクトルポテンシャル]]である。このとき、共役運動量は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{A}</math>
}}
となる。このときの共役運動量は質量と速度の積の''普通の''運動量に、電磁場との相互作用による {{mvar|e'''A'''}} の項が加わる。
このとき、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換
{{indent|<math>
H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{p}-L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})
</math>}}
より、
{{indent|<math>
H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) = \frac{\left(\boldsymbol{p}-e\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})\right)^2}{2m} + e\phi(\boldsymbol{x})
</math>}}
となる。ベクトルポテンシャルのない系と比べると、形式的には共役運動量 {{mvar|'''p'''}} を運動学的な運動量 {{math|'''''p''''' &minus; ''e'''A'''''}} に置き換えたものとなっている{{sfn|須藤|2008|pp=202&ndash;204|loc=付録 A 電磁場の古典論}}。

== 相対性理論 ==
相対性理論において運動量と[[エネルギー]]は[[ミンコフスキー空間]]における[[4元ベクトル|四元ベクトル]]を為し、
: <math>p^\mu = m \frac{dx^\mu}{d\tau}</math>
である（{{mvar|m}} は質量、{{mvar|&tau;}} は[[固有時間]]）。これの空間成分は
: <math>p_j = m \frac{dx_j}{dt}\frac{dt}{d\tau} = \frac{mv_j}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}</math>
となる。非相対論的極限 {{math|''v''/''c'' &rarr; 0}} において前述の運動量（質量と速度の積）に一致する。

運動量とエネルギーは
: <math>-m^2 c^2 = -\frac{E^2}{c^2} + \vec{p}^2</math>
の関係を満たしている。運動量が {{math|0}} の場合は有名な {{math|''E'' {{=}} ''mc''{{msup|2}}}} の式になっている。

== 量子論 ==
{{main|運動量演算子}}
[[光]]（あるいは[[電磁波]]）は[[波]]であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。
そのエネルギーと運動量は
: <math>E = h\nu = \hbar\omega</math>
: <math>p = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} = \hbar k</math>
である。（ここで {{mvar|h}} は[[プランク定数]]、{{mvar|&nu;}} は[[振動数]]、{{math|''&omega;'' {{=}} 2&pi;''&nu;''}} は[[角振動数]]、{{mvar|c}} は[[光速|真空中の光速]]、{{mvar|&lambda;}} は[[波長]]、{{mvar|k}} は[[波数]]である）

前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、{{math|''&omega;'' {{=}} ''ck''}} からこの粒子の質量は {{math|0}} であることが分かる。この質量 {{math|0}} の粒子を[[光子]]という。

量子力学では、上記の古典論的運動量  <math>\vec{p}</math> は、波動関数 <math>\psi(t,\vec{x}) = \psi(t, x, y, z)</math> に対する、
: <math>\vec{p} \rightarrow \frac{\hbar}{i}\vec{\nabla} = \left(
\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial z}
\right)</math>
という[[作用素|演算子]]であるとみなされる。ここに、<math>\,i</math> は[[虚数単位]]、<math>\,\nabla</math>は[[ナブラ]]である。

或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、
: <math>p_\mu \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x^\mu}</math>
である。これらは'''対応原理'''と呼ばれ、[[ラグランジュ力学|解析力学]]における[[作用積分]] <math>\,S</math> の[[汎函数微分|汎関数微分]]が
: <math>\frac{\delta S}{\delta x^\mu} = p_\mu</math>
であることなどから類推された。

また、[[正準量子化]]という方法によれば、位置と運動量は[[正準交換関係]]
: <math>[x^\mu,p_\nu]=i\hbar \delta^\mu_\nu</math>
: <math>[x^\mu,x^\nu]=0 \, ,\, [p_\mu,p_\nu]=0</math>
を満たす[[物理量]]として[[量子化]]される。

== 対称性との関係 ==
運動量は空間の一様性（並進対称性）に対応する[[保存量]]である。
時間の一様性に対応する[[エネルギー]]、空間の等方性に対応する[[角運動量]]とともに、基本的な物理量である{{sfn|ランダウ|リフシッツ|2008}}。
{{see also|ネーターの定理|ポアンカレ対称性}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
* {{cite wikisource
|noicon=yes
|title=The Mathematical Principles of Natural Philosophy
|wslink=The Mathematical Principles of Natural Philosophy (1729)/Axioms, or Laws of Motion#Law2
|wslanguage=en
|last=Newton
|first=Isaac
|year=1729
|edition=English
|others=translated by Andrew Motte
|ref=harv}}
* {{Cite book|和書
|last=松田
|first=哲
|series=パリティ物理学コース
|title=力学
|publisher=丸善
|year=1993
|ref=harv
}}
* {{Cite book|和書
|last1=ランダウ
|first1=L.D.
|authorlink1=レフ・ランダウ
|last2=リフシッツ
|first2=E.M.
|authorlink2=エフゲニー・リフシッツ
|translator=[[水戸巌]]・[[恒藤敏彦]]・[[廣重徹]]
|title=力学・場の理論 : ランダウ＝リフシッツ物理学小教程
|year=2008
|publisher=[[筑摩書房]]
|series=[[ちくま学芸文庫]]
|isbn=978-4-480-09111-6
|ref=harv
}}
* {{cite book|和書
|last=須藤
|first=靖
|title=解析力学・量子論
|year=2008
|publisher=東京大学出版会
|isbn=978-4-13-062610-1
|ref=harv
}}
*{{cite book|和書
|last=砂川
|first=重信
|title=電磁気学
|year=1987
|series=物理テキストシリーズ 4
|publisher=岩波書店
|edition=新装版
|isbn=4-00-007744-9
|ref=harv
}}
*{{cite book|和書
|last=田崎
|first=晴明
|date=2000-04-12
|edition=初版
|title=熱力学 現代的な視点から
|publisher=培風館
|isbn=978-4-563-02432-1
|ref=harv
}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Momentum}}
* [[運動量保存の法則]]
* [[角運動量保存の法則]]
* [[角運動量]]
* [[慣性]]
* [[速度]]
* [[加速度]]
* [[エネルギー・運動量テンソル]]
* [[結晶運動量]]
{{古典力学のSI単位}}
{{Physics-stub}}

{{デフォルトソート:うんとうりよう}}
[[Category:力学]]
[[Category:電磁気学]]
[[Category:量子力学]]