連分数のソースを表示

'''連分数'''（れんぶんすう、{{Lang-en-short|continued fraction}}）とは、分母に更に[[分数]]が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に'''単純連分数'''または'''正則連分数'''（{{Lang-en-short|regular continued fraction}}）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
:<math>x=a_0 +\cfrac{1}{a_1 +\cfrac{1}{a_2 +\cfrac{1}{a_3}}}</math>
ここで ''a''{{sub|0}} は[[整数]]、それ以外の ''a{{sub|n}}'' は正の整数である。正則連分数は、[[最大公約数]]を求める[[ユークリッドの互除法]]から自然に生じるものであり、古来から[[ペル方程式]]の解法にも利用された。

連分数を式で表す際には次のような書き方もある。
:<math>x=a_0 +\frac{1}{a_1 +}\, \frac{1}{a_2 +}\, \frac{1}{a_3}</math>
または
:''x'' = [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, ''a''{{sub|3}}]
また、[[極限]]の概念により、分数を[[無限]]に連ねたものも考えられる。
:<math> \left[a_0 ;a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots \right]=\lim_{n\to \infty} \left[a_0 ;a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots ,a_n \right]</math>
二次無理数（整数係数[[二次方程式]]の根である[[無理数]]）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。

== 連分数展開の例 ==<!--
（ここでの説明は、直観的に分かりやすくしてあるが、数学的には不正確である）-->
例として[[黄金比|黄金数]] ''φ'' を考える<ref name="mean">岩本誠一・江口将生・吉良知文 「黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と」 {{NAID|110007153257}}</ref>。''φ'' は ''x''{{sup|2}} &minus; ''x'' &minus; 1 = 0 の正の解である。この式を変形すると、
:<math>\begin{align}
x^2 &=x+1 \\
x &=1+\frac{1}{x} \\
&=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}} \\
&=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}}}
\end{align}</math>
以下同様にして、
:<math>\phi =1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}
=[1;1,1,1,1,1,\ldots]</math>
と表すことができる。

より一般的には、''x''{{sup|2}} &minus; ''nx'' = 1 の根を次のように表すことができる。
:<math>n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots \,}}}} =[n;n,n,n,n,\dots ]=\frac{1}{2} \left( n+\sqrt{n^2 +4} \right)</math>

== 連分数の計算方法 ==
いまある数 ''ω'' が与えられたとする。''ω'' を超えない最大の整数を ''a''{{sub|0}} とし、
:<math>\omega =a_0 +\frac{1}{\omega_1}</math>
となるよう ''ω''{{sub|1}} を定める。''ω''{{sub|1}} が整数でないならば、''ω''{{sub|1}} を超えない最大の整数を ''a''{{sub|1}} とし、
:<math>\omega_1 = a_1 +\frac{1}{\omega_2}</math>
となるように ''ω''{{sub|2}} を定めることができる。以下この作業を繰り返すことにより、''n'' 段までの連分数
:<math>a_0 +\cfrac{1}{a_1 +\cfrac{1}{a_2 +\cfrac{1}{\ddots a_{n-1} +\cfrac{1}{\omega_n}}}}</math>
を求めることができる。もし ''ω'' が[[有理数]]ならば、この作業は有限回で終了するが、[[無理数]]ならば無限にこの作業が続く。

但し、上述してある通り、''ω'' が二次無理数であり、かつその場合に限り、循環する連分数になる。

<math>\frac{p_n}{q_n}=[a_0; a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}]</math> は ''ω'' に収束する。すなわち上記の作業を繰り返すことによりいくらでも実数 ''ω'' に近い有理数を求めることができる。また、''ω'' と連分数の差は
:<math>\left| \omega -\frac{p_n}{q_n} \right| <\frac{1}{{q_n}^2}</math>
となることが知られており、連分数は[[ディオファントス近似]]の解を求める手段として有効である。

== 連分数の性質 ==
いま、''a''{{sub|0}} は[[整数]]、それ以外の ''a{{sub|n}}'' は正の整数であるような数列
:<math>a_0 ,a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots</math>
があるとき、数列 ''p{{sub|n}}'', ''q{{sub|n}}'' を以下のように定める。
:<math>\begin{cases}
p_0 =1\\
p_1 =a_0\\
p_n =a_{n-1} p_{n-1} +p_{n-2} \ (n\ge 2)
\end{cases} \quad \begin{cases}
q_0 =0\\
q_1 =1\\
q_n =a_{n-1} q_{n-1} +q_{n-2} \ (n\ge 2)
\end{cases}</math>
このとき、連分数は
:<math>[a_0 ;a_1 ,a_2 ,\dots ,a_{n-1} ]=\frac{a_{n-1} p_{n-1} +p_{n-2}}{a_{n-1} q_{n-1} +q_{n-2}}=\frac{p_n}{q_n}</math>
となる。

''p{{sub|n}}'' と''q{{sub|n}}'' にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 ''a''{{sub|0}}, ''a''{{sub|1}}, ... , ''a''{{sub|''n''&minus;1}} の''n'' 個の整数が順番に現れる。上記の数列 ''p{{sub|n}}'', ''q{{sub|n}}'' の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。

また、''p{{sub|n}}'', ''q{{sub|n}}'' は整数であるから、[[ユークリッドの互除法]]の帰結より、''p{{sub|n}}'' と ''q{{sub|n}}'' は互いに素である。つまり連分数 <math>\frac{p_n}{q_n}</math> は既約分数である。

さらに |''p''{{sub|''n''+1}}''q<sub>n</sub>'' &minus; ''p{{sub|n}}q''{{sub|''n''+1}}| = 1 である。また、''p{{sub|n}}'' と ''p''{{sub|''n''+1}} および、''q{{sub|n}}'' と ''q''{{sub|''n''+1}} も互いに素である。

なお数列''a{{sub|n}}'' が全て 1 の場合、数列''p{{sub|n}}'', ''q{{sub|n}}'' はともに[[フィボナッチ数列]] (''F''{{sub|0}} = 0, ''F''{{sub|1}} = 1) である。すなわち
:<math>\frac{p_n}{q_n} =\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>
である。そして、上で記したようにこの連分数は[[黄金比]]に収束する。ゆえに'''隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比に収束する'''ことが分かる。

== 様々な数の連分数展開 ==
下線部はそれぞれの循環節。
*[[2の平方根]]
*:<math>\sqrt{2}=[1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, \dots]=
1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}
{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}</math>
（{{underline|2}}。循環節の長さは 1）
*[[3の平方根]]
*:<math>\sqrt{3}=[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots]=
1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}</math>
（{{underline|1, 2}}。循環節の長さは 2）
*[[黄金比|黄金数]]の[[逆数]] ''φ''{{sup|&minus;1}} = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]（{{underline|1}}。循環節の長さは 1）
*[[白銀比|白銀数]]<ref name="mean" /> 1 + √{{overline|2}} = [2; 2, 2, 2, 2, 2, 2,…]（{{underline|2}}。循環節の長さは 1）
**白銀数の''逆数'' <math>\frac{1}{1+\sqrt2} =-1+\sqrt2 =[0; 2, 2, 2, 2, 2, 2,\dots]</math>（{{underline|2}}。循環節の長さは 1）
以上は二次無理数であるので、循環する連分数展開を持つ。

[[ネイピア数]]は[[超越数]]であり、その連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。
*ネイピア数 ''e'' = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]({{OEIS|A003417}})

[[円周率]]の正則連分数展開には規則性がないと考えられている。
*円周率 {{π}} = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]（{{OEIS|id=A001203}}）
[[円周率]]の正則でない連分数で規則性を持つものが存在する。
:<math>\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{\ddots \,}}}}}}</math>
:<math>\cfrac{4}{\pi} =1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{\ddots \,}}}}}}</math>
{{See also|円周率の歴史}}

==力学系としての連分数==
{{Main|エルゴード理論#連分数への応用}}

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|author = 木村俊一
|authorlink = 木村俊一 (数学者)
|date = 2012-05-20
|title = 連分数のふしぎ 無理数の発見から超越数まで
|series = ブルーバックス1770
|publisher = 講談社
|isbn= 978-4-06-257770-0
|url = http://www.bookclub.kodansha.co.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=2577704
|ref = 木村2012
}}
*{{Cite book|和書
|author = ジョセフ・H・シルヴァーマン
|authorlink = ジョセフ・H・シルヴァーマン
|others = [[鈴木治郎]]訳
|date = 2007-04-25
|title = はじめての数論 発見と証明の大航海――ピタゴラスの定理から楕円曲線まで
|edition = 原著第3版
|publisher = ピアソン・エデュケーション
|isbn = 978-4-89471-492-2
|url = 
|ref = シルヴァーマン2007
}}
*{{Cite book|和書
|author = ジョセフ・H・シルヴァーマン
|others = 鈴木治郎 訳
|date = 2014-05-13
|title = はじめての数論 発見と証明の大航海――ピタゴラスの定理から楕円曲線まで
|edition = 原著第3版
|publisher = 丸善出版
|isbn = 978-4-621-06620-1
|url = http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621066201.html
|ref = シルヴァーマン2014
}}
**第38章 おお，なんて美しい関数だこと（299-311頁）
**第39章 連分数のでんぐり返り世界（312-326頁）
**第40章 連分数，平方根，そしてペル方程式（327-341頁）
*{{Cite book|和書
|author = 高木貞治
|authorlink = 高木貞治
|date = 1971-10-15
|title = 初等整数論講義
|edition = 第2版
|publisher = [[共立出版]]
|isbn = 4-320-01001-9
|url = http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010017
|chapter = 第2章 連分数
|ref = 高木1971
}}
*{{Cite book|和書
|author = 遠山啓
|authorlink = 遠山啓
|date = 1972-02-28
|title = 初等整数論
|series = 日評数学選書
|chapter = 第6章 連分数
|publisher = 日本評論社
|isbn = 4-535-60109-7
|url = http://www.nippyo.co.jp/book/1254.html
|ref = 遠山1972
}}
*{{Cite book|和書
|author = 平山諦
|authorlink = 平山諦
|date = 1955-08-05
|title = 円周率の歴史
|publisher = 中教出版
|ref = 平山1955
}}
*{{Cite book|和書
|author = [[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|G・H・ハーディ]]
|coauthors = {{仮リンク|E・M・ライト|en|E. M. Wright}}
|others = [[示野信一]]・[[矢神毅]]翻訳
|date = 2001-07-01|title=数論入門
|volume = I
|publisher = [[シュプリンガー・フェアラーク東京]]
|isbn = 4-431-70848-0
|chapter = 第10章 連分数
|ref = ハーディ＆ライト2001
}}
**{{Cite book|和書
|author = G・H・ハーディ
|coauthors = E・M・ライト
|others = 示野信一・矢神毅翻訳
|date = 2012-07-17
|title = 数論入門
|volume = I
|publisher = [[丸善出版]]
|isbn = 978-4-621-06226-5
|chapter = 第10章 連分数
|ref = ハーディ＆ライト2012}} - [[#ハーディ＆ライト2001|ハーディ＆ライト(2001)]]の復刊。
*{{Cite book
|author = A. Ya. Khinchin
|authorlink = アレクサンドル・ヒンチン
|date = 1997-05-14
|title = Continued Fractions
|series = Dover Books on Mathematics
|publisher = Dover Publications
|isbn = 0-486-69630-8
|ref = Khinchin1997
}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|連分数|2=[[足立恒雄]]}}
*[http://rosettacode.org/wiki/Continued_fraction Continued fraction-Rosetta Code] 
*[http://cosmos.art.coocan.jp/cf/cf10.htm#cfindex 連分数展開]
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:れんふんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:数論]]
[[Category:分数]]