行列のソースを表示

{{otheruses}}
[[数学]]の[[線型代数学]]周辺分野における'''行列'''（ぎょうれつ、{{lang-en-short|matrix}}）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。横に並んだ一筋を'''行'''、縦に並んだ一筋を'''列'''と呼ぶ。例えば、下記のような行列

<math>\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}</math>

は2つの行と3つの列によって構成されているため、(2,3)型または2×3型の行列と呼ばれる。

書き並べられた要素は行列の成分と呼ばれ、行列の第 {{mvar|i}} 行目、{{mvar|j}} 列目の成分を特に行列の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分と言う。行列の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分はふつう {{mvar|a{{sub|ij}}}} のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間に[[コンマ]]を入れることもある。また略式的に、行列 {{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分を指定するのに {{mvar|A{{sub|ij}}}} という記法を用いることもある。

行列の和は、行の数と列の数が同じ行列において、成分ごとの計算によって与えられる。[[行列の積]]の計算はもっと複雑で、2つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。

行列の応用として代表的なものは[[一次変換]]の表現で、これは {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} 4''x''}} のような[[一次関数]]を一般化したものである。例えば、三次元空間における[[ベクトル]]の[[回転変換|回転]]は一次変換にあたり、{{mvar|R}} が[[回転行列]]で {{math|'''v'''}} が空間の点の[[位置ベクトル|位置]]を表す[[列ベクトル]]（1 列しかない行列）であるとき、それらの積 {{math|''R'''''v'''}} は回転後の点の位置を表す列ベクトルを表現している。また 2つの行列の積は、2つの一次変換の[[写像の合成|合成]]を表現するものとなる。また、その他の応用としては、[[線型方程式系]]の解法が挙げられる。行列が[[正方行列]]であるとき、そのいくつかの性質は、[[行列式]]を計算することによって知ることができる。例えば、正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが[[正則行列|正則]]であるための[[必要十分条件]]である。[[固有値|固有値と固有ベクトル]]は一次変換の[[幾何学]]に対する洞察を与える。

行列の応用は科学的な分野の大半に及ぶ。特に[[物理学]]において行列は、[[古典力学]]、[[光学]]、[[電磁気学]]、[[量子力学]]などにおける様々な物理現象の研究に利用される。[[コンピュータ・グラフィックス|コンピュータグラフィックス]]では三次元のモデルを処理し、それらを二次元の画面へ投影するのに行列が使われる。[[確率論]]や[[統計学]]、[[確率行列]]において行列は[[確率]]の組を表現するのに用いられ、例えば、これは[[Google検索]]における[[ページランク]]の[[アルゴリズム]]で使われている。{{仮リンク|行列解析|en|Matrix calculus}}は、古典的な[[解析学]]における[[微分]]や[[指数関数]]の概念を高次元へ一般化するものである。[[経済学]]では経済上の関係のシステムを説明するのに行列が用いられる。

行列計算の効率的なアルゴリズムの研究は[[数値解析]]における主要な分野であり、これは何世紀にもわたるもので、今日でも研究領域が広がっている。[[行列の分解]]は、理論的にも実用的にも計算を簡単化するもので、そのアルゴリズムは[[正方行列]]や[[対角行列]]などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、[[有限要素法]]やそのほかの計算を効率的に処理させる。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。無限次行列の簡単な例としては、関数の[[テイラー級数]]に対して作用する[[微分作用素]]を表す行列がある。

== 素朴な定義 ==
=== 記法 ===
'''行列'''は数または数を表わす文字から成る'''要素''' ({{lang-en-short|element|links=no}}) を矩形状に書き並べて、大きな[[丸括弧]]（あるいは[[角括弧]]）で括った形に書かれる。ここで文字送りの方向（横）の並びを'''行''' ({{lang-en-short|row|links=no}}) といい、行送りの方向（縦）の並びを'''列''' ({{lang-en-short|column|links=no}}) と呼ぶ<ref name="斎藤2017-21" />。例えば

:<math>\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix},\ \begin{bmatrix}
 3 & -4 & 6\\
 0 & 1 & -2
\end{bmatrix}</math>

は 2 つの行と 3 つの列を持つ行列である。行列自身は、ふつうはアルファベットの大文字イタリック（しばしば太字{{efn|下線や二重下線などを付けることもあるが、これはタイプライター原稿で用いられた太字書体を指示する書式の名残<ref>https://raksul.com/dictionary/underline/</ref>}}）で表し、その要素は対応する小文字に二つの添字を付けたもので表す（略式的に行列を表す大文字に添字を付けたものを用いることもあるが、その場合[[小行列]]の記号と紛らわしい）。つまり一般の ''m'' 行 ''n'' 列の行列を

:<math>A=\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}= (a_{ij})_{1\le i\le m\atop 1\le j\le n}</math>

のように書く。

=== 成分 ===
{{main|行列要素}}
書き並べられた要素は行列の'''成分''' ({{lang-en-short|entry, component|links=no}}) と呼ばれる<ref name="斎藤2017-21">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、21頁。</ref>。成分が取り得る値は（さまざまな対象を想定できるが）大抵の場合はある[[可換体|体]]または[[可換環]] {{mvar|K}} の元であり、このとき '''{{mvar|K}} 上の行列''' ({{lang-en-short|matrix over {{mvar|K}}|links=no}}) という。特に、{{mvar|K}} が[[実数]]全体の成す体 {{math|'''R'''}} であるとき'''実行列'''と呼び、[[複素数]]全体の成す体 {{mathbf|C}} のとき'''複素行列'''と呼ぶ。

一つの成分を特定するには、二つの添字が必要である。行列の第 {{mvar|i}} 行目、{{mvar|j}} 列目の成分を特に行列の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分と呼ぶ<ref name="斎藤2017-21" />。例えば上記行列 {{mvar|A}} の {{math|(1, 2)}} 成分は {{math|''a''{{sub|12}}}} である。行列の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分はふつう {{mvar|a{{sub|ij}}}} のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間に[[コンマ]]を入れることもある。例えば {{math|1}} 行 {{math|11}} 列目の成分を {{math|''a''{{sub|1,11}}}} と書いてよい。また略式的には、行列 {{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分を指定するのに {{mvar|A{{sub|ij}}}} という記法を用いることがある。この場合、例えば積（後述）{{mvar|AB}} の {{math|(''i'', ''j'')}} 成分を {{math|(''AB''){{sub|''ij''}}}} と指定したりできるので、これで記述の簡素化を図れる場合もある。

=== 型 ===
行列に含まれる行の数が {{mvar|m}}, 列の数が {{mvar|n}} である時に、その行列を {{mvar|m}} 行 {{mvar|n}} 列行列や {{math|''m'' × ''n''}} 行列、{{mvar|mn}} 行列などと呼ぶ<ref name="斎藤2017-21" />。行列を構成する行の数と列の数の対を'''型''' ({{lang-en-short|type|links=no}}) あるいは'''サイズ'''という。したがって {{mvar|m}} 行 {{mvar|n}} 列行列のことを {{math|(''m'', ''n'')}} 型行列などと呼ぶこともある<ref name="斎藤2017-21" />。{{mvar|K}} 上の {{math|''m'' &times; ''n''}} 行列の全体は {{math|''K''{{sup|''m''&times;''n''}}}}, {{mvar|K{{sup|m,n}}}} や {{math|Mat(''m'', ''n''; ''K'')}}, {{math|'''M'''{{sub|''m''&times;''n''}}(''K'')}} などで表される。

1つの列を持つ行列を'''列ベクトル'''、1つの行をもつ行列を'''行ベクトル'''と呼ぶ。例えば行列

:<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}</math>

に対して、{{math|({{su|p=''a''{{sub|11}}|b=''a''{{sub|21}}}}), ({{su|p=''a''{{sub|12}}|b=''a''{{sub|22}}}})}} はその列ベクトル、{{math|(''a''{{sub|11}}&emsp;''a''{{sub|12}}), (''a''{{sub|21}}&emsp;''a''{{sub|22}})}} はその行ベクトルである。

行と列の数が同じである行列は'''[[正方行列]]'''と呼ばれる。無限の行または列をもつ行列を'''無限次行列'''と呼ぶ。[[プログラミング (コンピュータ)|プログラミング]]において行または列を持たない行列を考えると便利となることがしばしばあるが、このような行列を'''空行列'''と呼ぶ。

{| class="wikitable"
|-
! 名前 !! 型 !! 例 !! 説明
|-
| 行ベクトル || 1&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math>
| 1つの行を持つ行列。ベクトルを表すのに使われることがある。
|-
| 列ベクトル || ''n''&nbsp;×&nbsp;1 || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
| 1つの列を持つ行列。ベクトルを表すのに使われることがある。
|-
| 正方行列 || ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}
  9 & 13 & 5 \\
  1 & 11 & 7 \\
  2 & 6  & 3
  \end{bmatrix}</math>
| 同じ行と列を持つ行列。[[鏡映]]や[[回転 (数学)|回転]]、[[せん断写像|せん断]]のような[[ベクトル空間]]の[[線形変換]]を表すのに使われることがある。 
|}

== 厳密な定義 ==
行列は二重に添字づけられた[[族 (数学)|族]]であり、添字の各対 {{math|(''i'', ''j'')}} に成分 {{mvar|a{{sub|ij}}}} を割り当てる二変数写像

:<math>A\colon \{1,\ldots, m\} \times \{1,\dots, n\} \to K; \quad (i,j) \mapsto a_{ij}</math>

である。例えば添字の対 {{math|(1, 2)}} には写像の値として {{math|''a''{{sub|12}}}} が割り当てられる。値 {{mvar|a{{sub|ij}}}} は行列の {{mvar|i}}-行 {{mvar|j}}-列成分であるといい、{{mvar|m}} および {{mvar|n}} はそれぞれ行および列の数を意味する。写像としての行列の定義と行列が表す線型写像とを混同してはならない。

{{mvar|K}} に成分を持つ {{math|''m'' &times; ''n''}} 行列の全体は、したがって[[配置集合]]

:<math>\operatorname{map}(\{1,\ldots, m\} \times \{1,\ldots, n\}, K) = K^{\{1,\ldots, m\}\times\{1,\ldots n\}}</math>

であり、省略形として {{math|''K''{{sup|''m''&times;''n''}}}}（あるいはやや稀だが {{mvar|{{sup|m}}K{{sup|n}}}}）や {{math|M(''m''&times;''n''; ''K'')}} などと書くことの一つの根拠になる。

行の数と列の数が一致するような行列は[[正方行列]]と呼ばれる。

ただ一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。{{mvar|K{{sup|n}}}} のベクトルは、文脈によって[[行ベクトル空間]] {{math|''K''{{sup|1&times;''n''}}}} または[[列ベクトル空間]] {{math|''K''{{sup|''n''&times;1}}}} の元を表すのにも用いられる。

== 歴史 ==
[[線型方程式]]の解法における応用に関して、行列は長い歴史を持つ。紀元前10世紀から紀元前2世紀の間に書かれた中国の書物『[[九章算術]]』は[[線型方程式系|連立方程式]]の解法に行列を用いた最初の例であるといわれ<ref>{{harvnb|Shen|Crossley|Lun|1999}} cited by {{harvnb|Bretscher|2005|p=1}}</ref>、それには[[行列式]]の概念が含まれていた。1545年にイタリアの数学者[[ジェロラモ・カルダーノ]]は『偉大なる術（アルス・マグナ）』を著し、この方法をヨーロッパに持ち込んだ。日本の[[関孝和]]は1683年に連立方程式の解法として同様に行列による方法を用いている<ref>{{cite book|last1=Needham|first1=Joseph|authorlink1=Joseph Needham|last2=Wang Ling|authorlink2=Wang Ling (historian)|title=Science and Civilisation in China|url={{google books|id=jfQ9E0u4pLAC|page=117|plainurl=1}}|volume=III|year=1959|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=9780521058018|page=117}}</ref>。ドイツの[[ヨハン・デ・ウィット]]は1659年の著書 ''Elements of Curves''  において行列の変形について説明している。1700年から1710年にかけてドイツの[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]は50以上の異なる体系を用いて行列の使い方を発表した。[[ガブリエル・クラメール|クラメル]]が[[クラメルの公式|有名な公式]]を生み出すのは1750年のことである。

行列論の初期においては、行列よりも行列式のほうに非常に重きが置かれており、行列式から離れて現代的な行列の概念と同種のものが浮き彫りにされるのは1858年、[[アーサー・ケイリー|ケイリー]]の歴史的論文 ''Memoir on the theory of matrices''（「行列論回想」）においてである{{sfn|Cayley|1889|loc=vol. II|pp=475–496}}{{sfn|Dieudonné|1978|loc=Vol. 1, Ch. III|p=96}}。用語 "matrix"（ラテン語で「生み出すもの」の意味の語に由来）<ref>{{Citation|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix|title=Merriam–Webster dictionary|accessdate=April 20th 2009|publisher=[[Merriam–Webster]]}}</ref>は[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター|シルベスター]]が導入した。シルベスターは行列を、（今日[[小行列式]]と呼ばれる）もとの行列から一部の行や列を取り除いて得られる小行列の行列式として、たくさんの行列式を生じるものとして理解していた{{efn|[[オックスフォード英語大辞典|OED]]によれば、数学用語としての "matrix" の最初の用例は J. J. Sylvester in London, Edinb. & Dublin Philos. Mag. 37 (1850), p. 369:  "We ‥commence‥ with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order.}}。1851年の論文でシルベスターは
{{quotation|I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent. （以前の論文で、項を矩形状に並べた配列として定義した "Matrix" は、そのうちで異なる行列式の体系を生み出す共通の親としての母体である。）}}
と説明している<ref>The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, [{{google books|id=5GQPlxWrDiEC|page=247|text=sylvester+matrix+womb|plainurl=1}} Paper 37], p. 247</ref>。
行列式の研究はいくつかの流れから生じてきたものである{{sfn|Knobloch|1994}}。[[数論]]的な問題はガウスが[[二次形式]]（つまり、<math> x^2 + xy - 2y^2 </math>のような数式）の係数と三次元の[[線型写像]]を行列に結び付けたことに始まり、[[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|アイゼンシュタイン]]がこれらの概念をさらに進めて、現代的な用語でいえば[[行列の積]]が[[非可換]]であることなどを指摘した。[[オーギュスタン・ルイ・コーシー|コーシー]]は行列 <math> A=(a_{ij})</math> の行列式として、[[多項式]] 
:<math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)</math>
（ここで &prod; は条件を満たす項の[[総乗]]を表す）の冪 {{mvar|{{subsup|a|k|j}}}} を {{mvar|a{{msub|jk}}}} で置き換えたものという定義を採用し、それを用いて行列式についての一般的な主張を証明した最初の人である。コーシーは1829年に、対称行列の[[固有値]]が全て実数であることも示している{{sfn|Hawkins|1975}}。[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]は、幾何学的変換の局所的あるいは無限小のレベルでの挙動を記述することができる[[関数行列|関数行列式]]（後にシルベスターが「ヤコビ行列式」と呼んだ）の研究を行った。[[レオポルト・クロネッカー|クロネッカー]]の ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten''{{sfn|Kronecker|1897}} と[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]の ''Zur Determinantentheorie''{{sfn|Weierstrass|1915|pp=271–286}} はともに1903年に出版された。前者は、それまでのコーシーの用いた公式のような具体的な手法とは反対に、行列式を[[公理論|公理的]]に扱ったものである。これを以って、行列式の概念がきっちりと確立されたと見なされている。

多くの定理は、初めて確立されたときには小さいサイズの行列に限った主張として示された。例えば[[ケーリー＝ハミルトンの定理]]は、ケイリーが先述の回想録において 2 &times; 2 行列に対して示し、[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン|ハミルトン]]が 4 &times; 4 行列に対して証明して、その後の1898年に[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス|フロベニウス]]が[[双線型形式]]についての研究の過程で任意次元に拡張した。また、19世紀の終わりに、（[[ガウスの消去法]]として今日知られるものを特別の場合として含む）[[ガウス&ndash;ジョルダン消去法]]を{{仮リンク|ヴィルヘルム・ヨルダン|label=ジョルダン|en|Wilhelm Jordan (geodesist)}}が確立し、20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった{{sfn|Bôcher|2004}}。前世紀の[[多元数|超複素数系]]の分類にも行列の利用が部分的に貢献した。

[[ヴェルナー・ハイゼンベルク|ハイゼンベルク]]、[[マックス・ボルン|ボルン]]、[[パスクアル・ヨルダン|ジョルダン]]らによる[[行列力学]]の創始は、行または列の数が無限であるような行列の研究へ繋がるものであった{{sfn|Mehra|Rechenberg|1987}}。後に[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]は、（大体無限次元の[[ユークリッド空間]]にあたる）[[ヒルベルト空間]]上の[[線型作用素]]などの[[関数解析学]]的な概念をさらに推し進めることにより、[[量子力学の数学的基礎]]を提示した。

== 行列の演算 ==
=== 基本演算 ===
==== 加法 ====
二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができ、この算法を行列の'''加法'''、演算の結果を'''和'''と言う<ref name="斎藤2017-23">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、23頁。</ref>。異なる型の行列に対しては和は定義されない。つまり、''m'' 行 ''n'' 列の行列同士の和を、成分ごとの和
:<math>A + B: = (a_ {ij} + b_ {ij})_{i= 1,\ldots, m,\atop j = 1,\ldots, n}</math>
で定める<ref name="斎藤2017-23" />。

例えば
:<math>\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
-7 & 8
\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & -4
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
5 + 1 & 6 + (-2) \\
-7 + 3 & 8 + (-4)
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
6 & 4 \\
-4 & 4 \\
\end{pmatrix}</math>
である。

線型代数学において成分はふつう（[[実数]]や[[複素数]]の全体のような）[[可換体|体]]であり、この場合の行列の加法は、[[結合法則|結合的]]かつ[[交換法則|可換]]であり、また[[加法単位元|単位元]]として[[零行列]]
: <math>0\equiv O:=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}</math>
を持つ<ref name="斎藤2017-23" />。一般に、これらの三性質を満たす代数系に成分を持つ（同じ型の）行列の全体は、やはりこれらの性質を満たす。

==== スカラー倍 ====
行列の各成分に一つのスカラーを掛けることにより、任意の行列のスカラー倍
: <math>\lambda A := (\lambda a_{ij})_{i=1,\ldots, m,\atop j=1,\ldots, n}</math>
が定義される<ref name="斎藤2017-23" />。例えば、
: <math>5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}</math>
である。

スカラー乗法が意味を持つためには、スカラー &lambda; と行列の成分が同じ[[環 (数学)|環]] (''K'', +, &middot;, 0) からとった元であるべきであり、このとき ''m'' &times; ''n'' 行列の全体 ''K''<sup>''m''&times;''n''</sup> は、左 ''K''-[[環上の加群|加群]]（''K'' が体ならば[[ベクトル空間]]）になる。ベクトル空間（あるいは[[自由加群]]）としての ''K''<sup>''m''&times;''n''</sup> は ''mn'' 次元数ベクトル空間 ''K''<sup>''mn''</sup> と同型である。

==== 乗法 ====
[[file:Matrix multiplication diagram.svg|thumb|right|行列の積の模式図]]
{{main|行列の乗法}}
行列の積を初めて定義したのは[[アーサー・ケーリー|ケイリー]]である。行列の積は狭い意味での[[二項演算]]（即ち、台とする集合 ''X'' に対して ''X'' &times; ''X'' &rarr; ''X'' なる写像を定めるもの）ではない。''l'' × ''m'' 行列 ''A'' と ''m'' × ''n'' 行列 ''B'' の積は ''l'' × ''n'' 行列となり、''C'' = ''AB'' の (''i'', ''j'') 成分 ''c''<sub>''ij''</sub> は、
:<math>c_{ij} = \sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}</math>
で与えられる<ref name="斎藤2017-24">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、24頁。</ref>。

例えば、
:<math>
\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & 5 \cdot 2 + 6 \cdot 4 \\
7 \cdot 1 + 8 \cdot 3 & 7 \cdot 2 + 8 \cdot 4 \\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
23 & 34 \\
31 & 46
\end{pmatrix}
</math>
である。

; 行列の積は[[交換法則|可換]]でない
: 即ち一般には<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  B \cdot A \neq A \cdot B
</math></div>となることが両辺が定義される場合 (''l'' = ''n'') であっても起こり得る。さらに ''m'' = ''n''(= ''l'') のとき、つまり両辺が正方行列同士の積であれば両辺とも定義されるが、その場合でも一般には両者は異なる<ref name="斎藤2017-24" />。

; 行列の積は[[結合法則|結合的]]である
: 即ち、乗法が定義される限りにおいて<div style="margin: 1ex 2em"><math>
  (A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)
</math></div>が成り立つ<ref name="斎藤2017-25">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、25頁。</ref>。

; 行列の乗法は加法の上に[[分配法則|分配的]]である
: 即ち、各項における加法と乗法が定義される限りにおいて<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  (A + B)\cdot C = A\cdot C + B\cdot C
</math></div>および<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  A\cdot (B + C) = A\cdot B + A\cdot C
</math></div>が成り立つ<ref name="斎藤2017-25" />。

正方行列に関して行列の乗法は特別な役割を持つ。環 ''R'' 上の正方行列全体 ''R''<sup>''n''&times;''n''</sup> は行列の加法と乗法に関して、ふたたび環を成すのである。環 ''R'' が単位的（つまり単位元 1 を持つ）ならば、単位行列
: <math>E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}</math>
は行列の積に関する単位元となり、環 ''R''<sup>''n''&times;''n''</sup> もまた単位的となる。しかし、''n'' &gt; 1 のとき、この環は（基礎環 ''R'' が可換環であっても）可換環でない。

行列が[[区分行列]]に分解されるとき、そのような行列の積は、それらのブロックが適当なサイズならば、ブロック成分ごとに積を計算することができる。例えば
: <math>\begin{align} \left(\begin{array}{cc|cc} a & b & 0 & 0\\ c & d & 0 & 0\\\hline x & y & 1 & 0\\ z & w & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c|c} n & 0\\ m & 0\\\hline q & 1\\ p & 0 \end{array}\right) &= \begin{pmatrix} A & 0\\ X & E_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N & 0\\ Q & \left(\begin{smallmatrix}1 \\ 0\end{smallmatrix}\right) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} AN + 0 & 0 + 0\\ XN + E_2Q & 0 + E_2\left(\begin{smallmatrix}1 \\ 0\end{smallmatrix}\right) \end{pmatrix}\end{align}</math>
である。ここで ''E''<sub>2</sub> は二次の単位行列、右辺の 0 は全ての成分が 0<sub>''R''</sub>（基礎環 ''R'' の[[加法単位元|零元]]）であるような適当なサイズの行列である。

==== 転置 ====
{{main|転置行列}}
''m'' &times; ''n'' 行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) の'''転置'''とは ''n'' &times; ''m'' 行列 <sup>''t''</sup>''A'' = (''a''<sub>''ji''</sub>), 即ち
: <math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \iff {}^tA = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>
である<ref name="斎藤2017-31">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、31頁。</ref>。これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 ''a''<sub>11</sub>, ''a''<sub>22</sub>, … に関して折り返したものになっている。

転置行列は以下の計算規則に従う<ref name="斎藤2017-31" />：
: <math>\begin{align} {}^t(A + B) &=  {}^tA + {}^tB \\ {}^t(cA) &= c\,{}^tA \\ {}^t({}^tA) &= A \\ {}^t(AB) &= {}^tB\,{}^tA \\ {}^t(A^{-1}) &= ({}^tA)^{-1}.\end{align}</math>

=== 行列式 ===
{{main|行列式}}
''n'' &times; ''n'' 行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) の'''行列式'''とは、
:<math> \det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i \sigma(i)} </math>
で定義される数である<ref name="斎藤2017-89">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、89頁。</ref>。これは行列の[[固有値]]の積と一致し、{{math|det(''E<sub>n</sub>'') {{=}} 1}}, {{math|det(''AB'') {{=}} det(''A'') det(''B'')}} などが成り立つ。

=== ランク ===
{{main|行列の階数}}
行列 ''A'' の'''ランク'''または[[行列の階数|'''階数''']]とは、この行列の列ベクトルの中で[[線型独立]]なものの最大個数であり、また
行ベクトルの中で線型独立なものの最大個数とも等しい{{sfn|Brown|1991|loc=Definition II.3.3}}。あるいは ''A'' の表現する線型写像の[[像 (数学)|像]]の[[ハメル次元|次元]]と言っても同じである{{sfn|Greub|1975|loc=Section III.1}}。[[階数・退化次数の定理]]は、行列の[[核 (代数学)|核]]に階数を加えると、その行列の列の数に等しいことを述べるものである{{sfn|Brown|1991|loc=Theorem II.3.22}}。

===トレース ===
{{main|跡 (線型代数学)}}
''n'' &times; ''n'' 行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) の'''トレース'''または'''跡'''とは、その対角線上にある成分の和
: <math>\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dotsb + a_{nn}</math>
のことである<ref name="斎藤2017-34">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、34頁。</ref>。これは {{math|tr(''AB'') {{=}} tr(''BA'')}} を満たし<ref name="斎藤2017-34" />、行列のトレースはその[[固有値]]の和に等しい。

=== 内積とノルム ===
{{main|行列ノルム}}
''K''-加群としての ''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>(''K'') はまた、行列の積 <sup>''t''</sup>AB の[[蹟 (線型代数学)|トレース]]
: <math>\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}({}^tAB) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij}b_{ij}</math>
を[[内積]]に持つ。''K'' = '''R''' のとき、これは[[ユークリッドノルム]]を導き、''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>('''R''') は ''mn''-次元[[ユークリッド空間]] ''K''<sup>''mn''</sup> になる。この内積空間において、[[対称行列]]全体の成す部分空間と[[歪対称行列]]全体の成す部分空間とは互いに直交する。即ち、''A'' が対称, ''B'' が歪対称ならば &lang;''A'', ''B''&rang; = 0 が成り立つ。同様に ''K'' = '''C''' の場合には、''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>('''C''') は
: <math>\langle A, B\rangle = \operatorname{tr} ({}^t\bar{A}B) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \bar{a}_ {ij}b_ {ij}</math>
（ただし、上付きのバーは複素共軛）を[[エルミート内積]]として複素[[ユニタリ空間]]を成す（この内積を[[ヒルベルト＝シュミット作用素|ヒルベルト・シュミット内積]]と呼ぶ）。この内積は[[フロベニウスノルム]]を導き、''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>('''C''') は[[バナッハ空間]]となる。

=== その他の演算 ===
====差====
任意の行列 {{mvar|B}} に対し、その成分をそれぞれの成分の[[加法逆元]]に全て取り換えた行列を {{math|&minus;''B''}} と書けば、同じサイズの行列 {{mvar|A, B}} の和 {{math|''A'' + (&minus;''B'')}} を {{math|''A'' &minus; ''B''}} と略記して差を定めることができる{{efn|これは与えられた行列の全ての成分が加法逆元を持つ限りにおいて、加法のみから定められることに注意。特にスカラー乗法が（任意のスカラーと任意の行列に対する演算として）定義されている必要はない。従って、同じサイズの任意の行列に対する減法を定めるならば、例えば係数域が加法について[[アーベル群]]であれば十分であるが、通例として行列の係数域は何らかの可換環と仮定するから、それには環の加法群構造を用いればよい}}。より強く、スカラー乗法が定義される場合には、特にスカラー {{math|(&minus;1)}}-倍は {{math|1=(&minus;1)''B'' = &minus;''B''}} を満たすのだから、和とスカラー倍を使って差を定義することもできる。
:<math>\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
-7 & 8
\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & -4
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
5 - 1 & 6 - (-2) \\
-7 - 3 & 8 - (-4)
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
4 & 8 \\
-10 & 12 \\
\end{pmatrix}</math>
とすればよい．

==== べき乗 ====
{{see also|冪乗#行列および線型作用素の冪}}
''n'' × ''n'' の[[正方行列]] ''A'' に対して行列の[[べき乗]]は ''A<sup>n</sup>'' (ここで ''n'' は実数) と書かれる<ref name="斎藤2017-26">[[#斎藤2017|斎藤2017]]、26頁。</ref>。

行列 ''A'' が[[対角化]]可能であれば、''A<sup>n</sup>'' = (''P''<sup>−1</sup>''DP'')<sup>''n''</sup> = ''P''<sup>−1</sup>''D<sup>n</sup>P'' として容易に計算できる。

==== ベクトルの二項積 ====
''v'' と ''w'' を ''n'' &times; 1 の列ベクトルとすると、''v'' と ''w'' との間に行列の積は定義されないが、<sup>''t''</sup>''v''&thinsp;''w'' および ''v''&thinsp;<sup>''t''</sup>''w'' は行列の積として定義することができる。前者は 1 &times; 1 行列であり、これをスカラーと解釈すれば、''v'' と ''w'' との標準内積 &lang;''v'', ''w''&rang; に他ならない。いっぽう後者は、[[行列の階数|階数]] 1 の ''n'' &times; ''n'' 行列で、''v'' と ''w'' との[[二項積]] ''vw'' あるいは[[直積 (ベクトル)|テンソル積]] ''v'' &otimes; ''w'' と呼ばれる。

==== 行列の三項積 ====
可換環 ''K'' 上の ''m'' &times; ''n'' 行列の全体 ''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>(''K'') は加法とスカラー倍について ''K''-加群を成すばかりでなく、その上の[[三項演算]]
: <math>M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\} := X\,{}^tY\,Z</math>
を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な[[三項系]]（三項積）の一般論は、[[ジョルダン環]]あるいは[[リー環]]の理論とかかわりを持つ<ref>http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/2010TKR.pdf </ref>。

=== 定義されない演算 ===
以下のような計算は定義されないため実行してはならない<ref>{{Cite web
  | author = Stephen P. Boyd 
  | title = Crimes against Matrices
  | work = 
  | publisher = 
  | date = 
  | url = http://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/Additional2-matrix_crimes.pdf
  | format = pdf
  | doi = 
  | accessdate = 2013年3月2日}}
</ref>。
{{div col}}
* 異なる型の行列同士の和
:<math> \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} g & h \\ i & j \\ k & l \end{pmatrix} = \cdots </math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列の逆行列
:<math>
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}^{-1} = \cdots 
</math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列の行列式{{efn|正方行列でない行列に対して行列式を考える理論も存在する。これは C. E. Cullis により導入された。<ref>中神祥臣・柳井晴夫 著、『[http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621065082.html 矩形行列の行列式]』、丸善、2012年。ISBN 978-4-621-06508-2.</ref>}}
:<math> 
\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} = \cdots 
</math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列の固有値
:<math> \begin{align}
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \lambda \, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\

\end{align}</math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列のトレース
:<math>
\operatorname{tr} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} = \cdots 
</math>
{{div col end}}
== 行列の分解 ==
{{main|行列の分解}}
行列を2つあるいは3つの行列の積に[[因数分解]]するには以下の方法が知られている。
*[[LU分解]] - 正方行列Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = LU
*[[コレスキー分解]] - [[行列の定値性|正値]]対称行列(またはエルミート行列)Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = U<sup>*</sup>U
*[[QR分解]] - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)Qと上三角行列Rに分解 A = QR
*[[固有値分解]] - 
*[[特異値分解]] - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)U,Vと対角行列Dに分解 A = UDV<sup>*</sup>

== さまざまな行列 ==
{{div col}}
行列サイズによる分類
*[[正方行列]]

行列成分が特別な形の行列
*[[零行列]]
*[[対角行列]]
*[[三角行列]]
*[[ハンケル行列]]

[[作用素]]による作用を受けた行列
*[[転置行列]]
*[[随伴行列]]

対称性がある行列
*[[対称行列]]
*[[エルミート行列]]
*[[正規行列]] - ユニタリ[[対角化]]可能な行列のクラス

群を構成する行列
*単位元 - [[単位行列]]
*逆元 - [[正則行列]] - [[逆行列]]
*[[直交行列]] - [[直交群]]
*[[回転行列]] - [[特殊直交群]]
*[[ユニタリ行列]] - [[ユニタリ群]]
{{div col end}}
== 線型写像 ==
{{Main|一次変換|{{仮リンク|変換行列|en|Transformation matrix}}}}
[[File:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|{{math|2 &times; 2}} 行列は、単位正方形を平行四辺形に変形することに対応する。]]
行列とその乗法は、これを'''一次変換'''（つまり'''線型写像'''）と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。
; 線型写像の行列表現{{anchors|linear_maps}}
: {{math|''m'' &times; ''n''}} 行列 {{mvar|A}} から線型写像 {{math|'''R'''{{sup|''n''}} → '''R'''{{sup|''m''}}}} が各ベクトル {{math|'''x''' &isin; '''R'''{{sup|''n''}}}} を行列としての積 {{math|''A''{{mathbf|x}} &isin; '''R'''{{sup|''m''}}}} へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 {{math|''f'': '''R'''{{sup|''n''}} → '''R'''{{sup|''m''}}}} を生じる {{math|''m'' &times; ''n''}} 行列 {{mvar|A}} は一意的に決まる。陽に書けば、{{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}}-成分は、{{math|''f''('''e'''{{sub|''j''}})}} の第 ''i''-成分である。ただし {{math|1='''e'''{{sub|''j''}} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0)}} は第 {{mvar|j}}-成分だけが {{math|1}} で他が全部 {{math|0}} の[[単位ベクトル]]である。
このとき、行列 {{mvar|A}} は線型写像 {{mvar|f}} を表現すると言い、{{mvar|A}} を {{mvar|f}} の'''変換行列'''または'''表現行列'''と呼ぶ。

例えば {{math|2 × 2}} 行列
:<math>A = \begin{pmatrix} a & c\\b & d \end{pmatrix}</math>
は、[[単位正方形]]を {{math|(0, 0),}} {{math|(''a'', ''b''),}} {{math|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d''),}} {{math|(''c'', ''d'')}} を頂点とする[[平行四辺形]]に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの（列）ベクトル {{math|({{su|p=0|b=0}}), ({{su|p=1|b=0}}), ({{su|p=1|b=1}}), ({{su|p=0|b=1}})}} の各々に {{mvar|A}} を掛けることによって得られる。

この行列と線型写像との間の[[全単射|一対一対応]]のもとで、行列の乗法は[[写像の合成]]に対応する{{sfn|Greub|1975 |loc=Section III.2}}: 上記の {{mvar|A}} と {{mvar|f}} に加えて、{{math|''k'' &times; ''m''}} 行列 {{mvar|B}} が別の線型写像 {{math|''g'': '''R'''{{sup|''m''}} → '''R'''{{sup|''k''}}}} を表現するものならば、合成 {{math|''g'' ∘ ''f''}} は行列の積 {{mvar|BA}} で表現される。実際、
: {{math|1=(''g'' ∘ ''f'')('''x''') = ''g''(''f''('''x''')) = ''g''(''A''{{mathbf|x}}) = ''B''(''A''{{mathbf|x}}) = (''BA'')'''x'''}}
である。最後の等号は行列の積の結合性による。

== 行列の抽象代数的側面と一般化 ==
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の（[[可換体|可換]]とは限らない）[[斜体 (数学)|体]]や[[環 (数学)|環]]としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張として[[テンソル]]は、（行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して）数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである{{sfn|Coburn|1955|loc=Ch. V}}。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる[[群 (数学)|群]]を成す。

=== より一般の成分を持つ行列 ===
しばしば実または[[複素数|複素]]成分の行列に焦点を当てることもある{{anchors|more_general_entries}}が、それ以外にももっと一般の種類の成分を持った行列を考えることができる。一般化の最初の段階として任意の[[可換体|体]]（すなわち[[四則演算]]が自由にできる[[集合]]、例えば '''R''', '''C''' 以外に[[有理数]]体 '''Q''' や[[有限体]] '''F'''<sub>''q''</sub>など）を成分として考える。例えば[[符号理論]]では有限体上の行列を利用する。どの体で考えるとしても、[[固有値]]は多項式の根として考えることができて、それは行列の係数体の拡大体の中に存在する。たとえば、実行列の場合は固有値は複素数である。ある行列の成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる（例えば実行列を全ての成分が実数であるような複素行列とみることができる）から、そのような十分大きな体の中で任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合を考えることができる。あるいは最初から、複素数体 '''C''' のような[[代数閉体]]に成分を持つような行列のみを考えるものとすることもできる。

もっと一般に、抽象代数学では[[環 (数学)|環]]に成分を持つ行列というものが甚だ有用である{{sfn|Lang|2002|loc=Chapter XIII}}。環は除法演算を持たない点において体よりも一般の概念である。この場合も、行列の加法と乗法はそのまままったく同じ物を使うことができる。''R'' 上の ''n''-次正方行列全体の成す集合 M(''n'', ''R'') は[[全行列環]]と呼ばれる環であり、左 ''R''-[[環上の加群|加群]] ''R''<sup>''n''</sup> の[[自己準同型環]]に同型である{{sfn|Lang|2002|loc=XVII.1, p. 643}}。環 ''R'' が[[可換環]]、すなわちその乗法が[[交換法則|可換律]]を満たすならば、全行列環 M(''n'', ''R'') は（''n'' = 1 でない限り）非可換な ''R'' 上の単位的[[結合多元環]]となる。可換環 ''R'' 上の正方行列の[[行列式]]はライプニッツの公式を用いて定義することができて、可換環 ''R'' 上の正方行列が可逆であることの必要十分条件をその行列式が ''R'' の[[可逆元]]であることと述べることができる（これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合の一般化になっている）{{sfn|Lang|2002|loc=Proposition XIII.4.16}}。{{仮リンク|超環|en|superalgebra}}上の行列は{{仮リンク|超行列|en|supermatrix}}と呼ばれる{{sfn|Reichl|2004|loc=Section L.2}}。

行列の成分が必ずしもすべて同じ環に属するというわけではない（し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない）。一つの特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行列となっているような行列と見なすこともできる[[区分行列]]が挙げられる。その成分は二次元的な行列である必要はないし、また通常の[[環 (数学)|環]]の元である必要もないが、その大きさに関しては適当な両立条件を満足するものでなければならない。

=== 線型写像との関係 ===
線型写像 '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> は既に述べたように ''m'' &times; ''n'' 行列と等価である。一般に有限[[ハメル次元|次元]][[ベクトル空間]]の間の線型写像 ''f'': ''V'' → ''W'' は（''V'' の次元を ''n'', ''W'' の次元を ''m'' として） ''V'' の[[基底]] '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub> と ''W'' の基底 '''w'''<sub>1</sub>, …, '''w'''<sub>''m''</sub> を選べば
:<math>f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\quad(j=1,\ldots,n)</math>
を満たす行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) によって記述することができる。言い換えれば、
''A'' の第 ''j''-列は基底ベクトル '''v'''<sub>''j''</sub> の像を ''W'' の基底 {'''w'''<sub>''i''</sub>} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 ''A'' の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と[[行列の相似|同値]]になる{{sfn|Greub|1975|loc=Section III.3}}。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 ''A''<sup>⊤</sup> は ''A'' の定める線型写像の[[線型写像の転置|転置写像]]を、[[双対空間|双対基底]]に関して記述するものである。{{sfn|Greub|1975|loc=Section III.3.13}}。

より一般に、''m'' × ''n'' 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 ''R'' に対して自由加群 ''R''<sup>''m''</sup> および ''R''<sup>''n''</sup> の間の ''R''-線型写像を表すのに利用することができる。''n'' = ''m'' のとき、そのような写像の合成を定義することができて、''n''-次正方行列全体の成す[[全行列環]]が、''R''<sup>''n''</sup> の[[自己準同型環]]を表現するものとして生じる。

=== 行列群 ===
{{Main|線型代数群}}
[[群 (数学)|群]]というのは集合と[[二項演算]]（つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作）からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる{{efn|普通はさらに一般線型群の[[閉集合]]となることも要求する。}}{{sfn|Baker|2003|loc=Def. 1.30}}。群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 ''GL''<sub>''n''</sub> であり、[[一般線型群]]と呼ばれる。

行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれる[[部分群]]となり、[[特殊線型群]] ''SL''<sub>''n''</sub> と呼ばれる{{sfn|Baker|2003|loc=Theorem 1.2}}。また、条件
:''M''<sup>⊤</sup>''M'' = ''I''
で定まる[[直交行列]]の全体は[[直交群]] ''O''(''n'') を成す{{sfn|Artin|1991|loc=Chapter 4.5}}。「直交」の名は、対応する '''R'''<sup>''n''</sup> の線型変換が、''M'' を掛ける操作で二つのベクトルの[[点乗積|内積]]を変えない
: ('''Mv''') &middot; ('''Mw''') = '''v''' &middot; '''w'''
という意味で角を保つことに由来する{{sfn|Artin|1991|loc=Theorem 4.5.13}}。
任意の[[有限群]]は何らかの行列群[[同型]]である。なんとなれば[[対称群]]の[[正則表現 (数学)|正則表現]]を考えればよい{{sfn|Rowen|2008|loc=Example 19.2, p. 198}}。故に、[[表現論]]の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。

=== 無限次行列 ===
行または列の数を無限にした行列と呼べるようなものも考えることができる{{sfn|Itõ|1987|loc="Matrix"}}が、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付ける集合と列を添字付ける集合を用意して（添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい）、それらの各元に対して行列の成分が矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。このとき、和・差、スカラー倍、転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分が無限和として与えられることになり、これは（適当な制約条件を抜きにしては）一般には定義されない。

''R'' を任意の単位的環とすれば、右 ''R''-加群としての <math>\textstyle M=\bigoplus_{i\in I}R</math> の自己準同型環は、''I'' &times; ''I'' で添字付けられ、各列の非零成分の数が有限個であるような'''列有限行列'''の環 CFM<sub>''I''</sub>(''R'') に同型である。これと対応するものとして、左 ''R''-加群としての ''M'' の自己準同型環を考えれば、同様に各行の非零成分の数が有限な'''行有限行列'''の環 RFM<sub>''I''</sub>(''R'') が得られる。

無限次元行列を線型写像を記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトルが有限個の例外を除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。''A'' が適当な基底に関して線型写像 ''f'': ''V'' → ''W'' を表現するものとすると、それは定義により、空間の任意のベクトルを基底ベクトルの（有限）[[線型結合]]として一意に表すことによって与えられるのであるから、従って（列）ベクトル ''v'' の成分 ''v''<sub>''i''</sub> で非零となるものは有限個に限られる。また、''A'' の各列は ''V'' の各基底ベクトルの ''f'' による像を ''W'' の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非零成分が有限個である場合に限る。しかし一方で、''A'' の行に関しては何の制約もない。事実、''v'' の非零成分が有限個であるならば、積 ''Av'' はその各成分が見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非零の項が有限個しかないから、間違いなく決定することができる。さらに言えば、これは ''A'' の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非零成分は有限個だから結果として得られる和も非零成分が有限個になる。（通常は、行と列が同じ集合で添字付けられるような）与えられた型の二つの行列の積は矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち、線型写像の合成に対応することも確認できる。

''R'' が[[ノルム環]]ならば、行または列に関する有限性条件を緩めることができる。すなわち、有限和の代わりに、そのノルムに関する[[絶対収束級数]]を考えればよい。例えば、列和が絶対収束列となるような行列の全体は環を成す。もちろん同様に、行和が絶対収束列となるような行列の全体も環を成す。

この文脈では、収束して[[連続写像|連続的]]な問題を生じ、適当な制約条件を満たすような無限次行列は[[ヒルベルト空間上の作用素]]を記述するものとして利用することができる。しかし、このようなやり方は行列としての陽な観点は曖昧になりがち{{efn|"Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." {{sfn|Halmos|1982|p=23|loc=Chapter 5}}}}であり、むしろその代わりに[[関数解析学]]の抽象的でより強力な手法が利用できる。

=== 空行列 ===
'''空行列'''は行または列（あるいはその両方）の数が 0 であるような行列をいう{{efn|"Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero",<ref>[http://www.omatrix.com/manual/glossary.htm Glossary], O-Matrix v6 User Guide.</ref> "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", <ref>[http://www.system.nada.kth.se/unix/software/matlab/Release_14.1/techdoc/matlab_prog/ch_dat29.html MATLAB Data Structures]</ref>}}。[[零ベクトル空間]]を含めて写像を考える場合に、空行列は役に立つ。例えば、''A'' が 3 &times; 0 行列で ''B'' が 0 &times; 3 行列ならば、積 ''AB'' は三次元空間 ''V'' からそれ自身への空写像に対応する 3 &times; 3 零行列である。空行列を表す記号というのは特に定まってはいないが、多くの[[数式処理システム]]では空行列を作成したり空行列に関する計算をしたりすることができる。0 &times; 0 行列の行列式は 1 と定義される。これは行列式に関するライプニッツの公式（置換に関する和として表す公式）が[[空積]]となり、それは通常 1 であることによる。またこのことは、任意の有限次元空間における恒等変換（に対応する行列）の行列式が 1 であるという事実とも整合する。

== 応用 ==
行列は数学と科学における数多くの場面で応用される。そのうちのいくつかは単に行列における数字の組を簡潔に表現するために利用させる。例えば、[[ゲーム理論]]や[[経済学]]における利得行列は2人のプレイヤーの利得を符号化する。

[[複素数]]は2×2の実行列で

<math>a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix}
a & -b  \\
b & a \end{bmatrix}</math>

のように表現することで複素数と行列における和と積をそれぞれ対応させることが可能となる。例えば2×2の[[回転行列]]は絶対値が1である複素数の乗算を表す。これと同じような解釈は一般に[[四元数]]や[[クリフォード代数]]においても可能である。

ヒル暗号のような初期の[[暗号理論|暗号技術]]においても行列は用いられる。しかし、行列の線型性によって、このような暗号はかなり簡単に突破されてしまう。[[コンピュータグラフィックス]]では、物体を表現したり、物体の変換をするのに行列が用いられ、[[アフィン写像|アフィン変換]]を使えば3次元のモデルを2次元の画面に映すような作業が可能となる。[[多項式環]]における行列は[[制御理論]]を学ぶ際に重要となる。

=== グラフ理論 ===
[[File:Labelled undirected graph.svg|150px|thumb|right|図のような無向グラフの隣接行列は<math>\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}</math>である。]]

有限グラフの[[隣接行列]]は[[グラフ理論]]における基本的な概念である。これは枝によって繋がれたグラフの頂点を表す。また、[[距離行列]]は頂点間の距離に関する情報を含む。このような概念は[[ハイパーリンク]]によって繋がれた[[ウェブサイト]]や道路で繋がれた都市といった場面で応用することができる。このようなことから[[ネットワーク理論]]においても行列は用いられることとなる。

=== 解析学と幾何学 ===
[[微分可能関数]]''ƒ'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''の[[ヘッセ行列]]は''ƒ''の二階導関数によって
:<math>H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right ]</math>
のようになる。これは関数の局所的な状態に関する情報を符号化したものである。
== 注 ==
===注釈===
{{Reflist|group="注釈"}}
===出典===
{{div col}}
{{Reflist}}
{{div col end}}

== 参考文献 ==
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|title      = Matrix analysis
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* {{Citation | last1=Ward | first1=J. P. | title=Quaternions and Cayley numbers | publisher=Kluwer Academic Publishers Group | location=Dordrecht | series=Mathematics and its Applications | isbn=978-0-7923-4513-8 | mr=1458894 | year=1997 | volume=403}}
* {{Citation | last1=Wolfram | first1=Stephen | author1-link=スティーブン・ウルフラム | title=The Mathematica Book | publisher=Wolfram Media | location=Champaign, Ill | edition=5th | isbn=978-1-57955-022-6 | year=2003}}
*{{Cite book|和書
|author    = [[斎藤正彦]] 
|date        = 2017-04-10
|title     = 線形代数学
|publisher = [[東京図書]]
|edition     = 第3版
|isbn      = 978-4-489-02179-4
|ref = 斎藤2017
}}

=== 物理学に関するもの ===
* {{Citation|last=Bohm|first=Arno|title=Quantum Mechanics: Foundations and Applications|publisher=Springer|year=2001|isbn=0-387-95330-2}}
* {{Citation|last=Burgess|first=Cliff|last2=Moore|first2=Guy|title=The Standard Model. A Primer|publisher=Cambridge University Press|year=2007|isbn=0-521-86036-9}}
*{{Citation|last=Guenther|first=Robert D.|title=Modern Optics|publisher=John Wiley|year=1990|isbn=0-471-60538-7}}
*{{Citation|last=Itzykson|first=Claude|last2=Zuber|first2=Jean-Bernard|title=Quantum Field Theory|publisher=McGraw–Hill|year=1980|isbn=0-07-032071-3}}
*{{Citation|last=Riley|first=K. F.|last2=Hobson|first2=M. P.|last3=Bence|first3=S. J.|title=Mathematical methods for physics and engineering|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=0-521-55506-X}}
*{{Citation|last=Schiff|first=Leonard I.|title=Quantum Mechanics|edition=3rd|publisher=McGraw–Hill|year=1968}}
*{{Citation|last=Weinberg|first=Steven|title=The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations|publisher=Cambridge University Press|year=1995|isbn=0-521-55001-7}}
* {{Citation|last=Wherrett|first=Brian S.|year=1987|title=Group Theory for Atoms, Molecules and Solids|publisher=Prentice–Hall International|isbn=0-13-365461-3}}
* {{Citation | last1=Zabrodin | first1=Anton | last2=Brezin | first2=Édouard | last3=Kazakov | first3=Vladimir | last4=Serban | first4=Didina | last5=Wiegmann | first5=Paul | title=Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry) | publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク|Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-1-4020-4530-1 | year=2006}}

=== 歴史に関するもの ===
* {{Citation | last1=Bôcher | first1=Maxime | author1-link=マキシム・ボッチャー | title=Introduction to higher algebra | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-49570-5 | year=2004}}, reprint of the 1907 original edition
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=アーサー・ケイリー | title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[ケンブリッジ大学出版|Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=I (1841–1853) | pages=123–126}}
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* {{Citation | last1=Weierstrass | first1=Karl | author1-link=カール・ヴァイエルシュトラス | title=Collected works | url=http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001 | year=1915 | volume=3}}

== 関連項目 ==
* [[線型代数学]]
* [[行列式]]
* [[線型写像]]
* [[固有値]]
* [[対角化]]
* [[ジョルダン標準形]]
* [[MATLAB]]
* [[R言語]]

== 外部リンク ==
* [http://www.jimmysie.com/maths/matrix.php Online Matrix Multiplication using AJAX]
* [http://www.jimmysie.com/maths/matrixinv.php Online Inverse Matrix Calculator using AJAX]
*[http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/matreg.php?language=english Online Calculator - Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]
; 歴史
*[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor: Matrices and determinants]
*[http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages]
*[http://jeff560.tripod.com/matrices.html Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors]
; オンライン本
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* {{Citation | title= The Matrix Cookbook | url=http://matrixcookbook.com | accessdate=2008-12-10}}
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; オンラインの行列計算器
* {{Citation  |title=SuperiorMath (Matrix Calculator)| url=http://www.webalice.it/simoalessia/SuperiorMath/matrix.html }}
* {{Citation  |title=Matrix Calculator (DotNumerics )| url=http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ }}
* {{Citation | last1=Xiao |first1=Gang |title= Matrix calculator| url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en| accessdate=2008-12-10}}
* {{Citation  |title=Online matrix calculator| url=http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ | accessdate=2008-12-10}}
* {{Citation  |title=Online matrix calculator(ZK framework)| url=http://matrixcalc.info/MatrixZK/ | accessdate=2009-11-26}}
* {{Citation| title=MacAnova|url=http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html|last1=Oehlert|first1=Gary W. |last2=Bingham|first2= Christopher |publisher=[[University of Minnesota]], School of Statistics|accessdate=2008-12-10}}, a freeware package for matrix algebra and statistics
* {{Citation  |title=Online matrix calculator| url=http://www.idomaths.com/matrix.php | accessdate=2009-12-14}}
*[http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/matreg.php?language=english Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]
*[http://oscience.info/math-formulas/matrix-formulas/ Matrix Formulas]

{{Linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:きようれつ}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:行列|*]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]