自然対数のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年9月}}
[[File:Log.svg|thumb|right|自然対数函数のグラフ: この函数は {{mvar|x}} の増加に伴って緩やかに正の無限大に発散し、{{mvar|x}} が {{math|0}} に近づくにともなって緩やかに負の無限大へ発散する（つまり {{mvar|y}}-軸はひとつの[[漸近線]]となる）。ここに、「緩やか」とは任意の[[冪乗則]]（[[冪函数]]あるいは[[多項式函数]]の増大度）との比較においてそれらよりも弱いことを意味する。]]
[[実解析]]において[[実数]]の'''自然対数'''（しぜんたいすう、{{lang-en-short|''natural logarithm''}}）は、[[超越数]]である[[ネイピア数]] {{math|''e'' (&asymp; {{val|2.718281828459}})}} を底とする[[対数]]を言う。{{mvar|x}} の自然対数を {{math|ln ''x''}} や、より一般に {{math|log{{sub|''e''}} ''x''}} あるいは単に（底を暗に伏せて）{{math|log ''x''}} などと書く<ref>{{cite book |title= Mathematics for physical chemistry |edition= 3rd |first1= Robert G. |last1= Mortimer |publisher= Academic Press |year= 2005 |isbn= 0-12-508347-5}}&mdash;{{google books quote|id=nGoSv5tmATsC|page=9|text= see pp. 9&ndash;11}}</ref>。 通常の函数の記法に則って引数を指示する丸括弧を明示的に付けて、{{math|ln(''x'')}} や {{math|log(''x'')}} などのように書いてもよい{{efn|特に、引数が単一の記号でない場合など、括弧を省けば引数の範囲が紛らわしくなるときには、括弧の省略は避けるべきである。}}。

定義により、{{mvar|x}} の自然対数とは [[冪乗|冪]] {{mvar|e{{exp|t}}}} が {{mvar|x}} 自身に一致するような冪指数 {{math|t}} のことに他ならない。例えば、{{math|1=ln(7.5) = 2.0149…}} となることは、{{math|1=''e''{{sup|2.0149…}} = 7.5}} となることを理由とする。特に {{mvar|e}} の自然対数は {{math|1=ln(''e'') = 1, (⇔ {{math|1=''e''{{sup|1}} = ''e''}})}} であり、{{math|1}} の自然対数は {{math|1=ln(1) = 0 (⇔  {{math|1=''e''{{sup|0}} = 1}})}} である。

自然対数は、任意の[[実数|正数]] {{mvar|a}} に対して [[逆数|逆数函数]] {{math|1=''y'' = 1/''x''}} の {{math|1}} から {{math|a}} までの間の[[定積分|グラフの下にある面積]]（{{math|''a'' < 1}} のときは面積にマイナス記号をつけた値）として定義することもできる。この定義の単純さは自然対数を含む多くの公式によく馴染むことから、「自然」の語が冠されているのである。自然対数のこの定義は、負数や任意の非零[[複素数]]に対しても拡張することができる（ただし、それは[[多価函数]]を導く。[[複素対数函数]]の項を参照）。

[[実函数|実変数実数値の函数]]と見た自然対数函数 {{math|log}} は[[指数函数|自然指数函数]] {{math|exp}} の[[逆函数]]であり、それは二つの恒等式 {{math|1=exp(log(''x'')) = ''x'' (''x'' > 0)}} と {{math|1=log(exp(''x'')) = ''x''}} の成立を意味する。

他の任意の対数がそうであるように、自然対数は
: <math> \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)</math>
なる意味で乗法を加法へ写す。これにより自然対数函数は[[正の実数]]の[[乗法群]] {{math|('''R'''{{sub|+}}, ×)}} から実数の[[加法群]] {{math|('''R''', +)}} への[[写像]] {{math|log: '''R'''{{sub|+}} → '''R'''}} として
[[群 (数学)|群]]の[[群準同型|準同型]]になる。

{{mvar|e}} 以外にも、任意の正数 {{math|''a'' &ne; 1}} に対して、それを底とする対数を定義することができるが、そのような対数は自然対数の定数倍として得ることができる（例えば[[二進対数]]は自然対数の {{math|1/[[2の自然対数|ln 2]]}} 倍である）し、通常はそうして自然対数から定義される。対数は未知の量がほかの適当な量の冪と見なされる問題を解く際に有用で、例えば[[指数函数的減衰]]問題における減衰定数としての[[半減期]]を求めるときなどに利用できる。このように対数は、数学や自然科学の多くの分野において重要であり、また金融経済において[[複利]]を含む問題にも利用できる。

[[リンデマンの定理|リンデマン–ヴァイアシュトラスの定理]]により、{{math|1}} でない任意の（正の）[[代数的数]]に対してその自然対数は[[超越数]]となる。

{| class=infobox width=200px
|colspan=2 align=center| 自然対数
|-
|'''表式''' ||<math>\ln x</math>
|-
|'''逆函数''' ||<math>e^x</math>
|-
|'''導函数''' ||<math>\frac{1}{x}</math>
|-
|'''原始函数''' ||<math>x\ln x - x + C</math>
|}

{{E (mathematical constant)}}

== 歴史 ==
{{Main|{{仮リンク|対数の歴史|en|History of logarithms}}}}

自然対数の概念が表立って現れるのは、1649年より以前に{{仮リンク|グレゴワール・ド・サン゠ヴァンサン|en|Gregoire de Saint-Vincent}}と{{仮リンク|アルフォンス・アントニオ・ド・サラサ|en|Alphonse Antonio de Sarasa}}による<ref>{{citation | first= R. P. | last= Burn |year= 2001 | title= Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms  | journal= [[Historia Mathematica]] |volume= 28 |pages= 1–17}}</ref>の成した業績においてであり、その中には{{仮リンク|双曲的扇形|en|hyperbolic sector}} の面積を決定することによる[[双曲線|直交双曲線]] {{math|1=''xy'' = 1}} の[[求積法|求積]]が含まれている。それら解法は、こんにち自然対数に結び付けられる性質を満足する「双曲対数」函数の必要から生じたものである。

自然対数への初期の言及は[[ニコラス・メルカトル]]が1668年に著わした自身の著書 ''Logarithmotechnia''（「対数の方法」）<ref>{{cite web |author=J J O'Connor and E F Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |publisher=The MacTutor History of Mathematics archive |date=September 2001 |accessdate=2009-02-02}}</ref> にあるが、既に1619年には数学教師の{{仮リンク|ジョン・スパイデル|en|John Speidell}}が事実上の自然対数表を編纂している<ref>{{cite book |last=Cajori |first=Florian |authorlink=Florian Cajori |title=A History of Mathematics, 5th ed |pages=152 |publisher=AMS Bookstore |year=1991 |isbn=0-8218-2102-4 |url={{google books|id=mGJRjIC9fZgC|plainurl=1}}}}</ref>

== 記法の慣習 ==
記法 "{{math|ln ''x''}}" および "{{math|log{{sub|''e''}} ''x''}}" は何れも紛れなく {{mvar|x}} の自然対数を表しているが、底を明示しない記法 "{{math|log ''x''}}" もまた自然対数を表すのに用いられることがある。このような記号の使い方は数学では広く用いられ、一部の自然科学の文脈やさまざまな[[プログラミング言語]]{{efn|[[C (programming language)|C]], [[C++]], [[SAS System|SAS]], [[MATLAB]], [[Mathematica]], <!--[[Pascal programming language|Pascal]], -->[[Fortran]], and [[BASIC programming language|BASIC]] などが含まれる。}}でも用いられる。ただし、別の文脈では "{{math|log ''x''}}" が[[常用対数]]（底 {{math|10}} の対数）を表すのに用いられる。

== 「自然」の意味 ==
[[File:1 over x integral.svg|thumb|right|双曲線 {{math|''y'' {{=}} 1/''x''}} (赤) と {{math|1=''x'' = 1}} から {{math|6}} までの面積 (橙の網掛け): この面積の値は {{math|6}} の自然対数と等しい]]

直観的には、常用の記数法が[[十進法|底 {{math|10}} の位取り]]であるため、[[10]]を底とする「[[常用対数]]」がよほど「自然」に感じられるかもしれない。だが、数学的に見れば10は何ら著しい特徴を持つ数ではなく、10 を用いるのは文化的な理由（典型的には両手の指の数が10本あること）からだ<ref name="Boyer_1991">{{cite book | author1-first=Carl Benjamin | author1-last=Boyer | author1-link=Carl Benjamin Boyer | author2-first=Uta C. | author2-last=Merzbach | title=A History of Mathematics | edition=2 | date=1991-03-06 | orig-year=1968 | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York, USA | isbn=978-0471543978 | id=0471543977}}</ref>。文化的な理由ではほかにも [[五進法|5]], [[八進法|8]], [[十二進法|12]], [[二十進法|20]], [[六十進法|60]] などに基づく命数法がしばしば用いられる<ref>{{cite journal | last=Harris | first=John | title=Australian Aboriginal and Islander mathematics | journal=Australian Aboriginal Studies | volume=2 |pages=29–37 | year=1987 | url=http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf| accessdate=2008-02-12  | format=PDF}}</ref><ref>{{cite journal | last=Large| first=J.J. | title=The vigesimal system of enumeration  | journal=Journal of the Polynesian Society| volume=11|issue=4 |pages=260–261 | year=1902 | url=http://www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636 | accessdate=30 March 2011}}</ref><ref>{{cite journal | last=Cajori| first=Florian| authorlink = Florian Cajori | title=Sexagesimal fractions among the Babylonians | journal=American Mathematical Monthly| volume=29 |pages=8–10 | year=1922| doi=10.2307/2972914 | jstor=2972914 | issue=1 }}</ref>。

自然対数 {{math|log{{sub|''e''}}}} が「自然」であるというのは、数学において自然に生じ、よく見かけるということを根拠とするものである。例えば対数函数の[[微分]]の問題<ref>{{cite book | title= Calculus: An Applied Approach | edition= 8th | first1= Ron | last1= Larson | publisher= Cengage Learning | year= 2007 | isbn= 0-618-95825-8 | page= 331 | url= {{google books|id=rbDG7V0OV34C|plainurl=1}}}}, {{google books quote|id=rbDG7V0OV34C|page=331|text= p. 331, §4.5}}</ref><math display="block">\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(x)}{\ln(b)} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x\ln(b)}</math> を考えるとき、底 {{mvar|b}} が {{mvar|e}} に等しいならば、この導函数は単に {{math|1/''x''}} となり、{{math|1=''x'' = 1}} における微分係数は {{math|1}} に等しくなる。

別な意味で底 {{mvar|e}} の対数が最も自然と思わせる理由として、単純な積分や[[テイラー級数]]でそれが極めて容易に定義できること（それは他の対数ではできない）が挙げられる。この自然さの更なる意味は、[[微分積分学]]の中では見えてこないが、例えば自然対数を含む単純な級数が様々存在することによって知ることができる。{{仮リンク|ピエトロ・メンゴリ|en|Pietro Mengoli}}と[[ニコラス・メルカトル]]がそれを「自然対数」({{lang-la-short|''logarithmus naturalis''}}) と呼んだのは、[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]が微分積分学を繰り広げるよりも、何十年か先んじる<ref>{{cite web | last=Ballew | first=Pat | title=Math Words, and Some Other Words, of Interest | url=http://www.pballew.net/arithme1.html#ln | accessdate=2007-09-16}}</ref>。

== 定義 ==
[[File:Log-pole-x 1.svg|thumb|right|{{math|ln(''a'')}} は曲線 {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} の {{math|1}} から {{mvar|a}} までの面積で視覚化できる。{{math|''a'' < 1}} では {{mvar|a}} から {{math|1}} までの面積を負で勘定する。]]
[[File:Log.gif|thumb|right|この双曲線の下にある面積は対数法則を満足する。ここでは {{math|''A''(''s'', ''t'')}} は {{mvar|s}} と {{mvar|t}} の間の双曲線下の面積を表している。]]

自然対数 {{math|ln}} は[[直交双曲線]] {{math|1/''x''}} の面積として定義される。それは具体的には[[定積分]]として
: <math>\ln(a) := \int_1^a \frac{1}{x}\,dx</math>
と定めるということである。この函数は対数の基本性質 {{math|1=ln(''ab'') = ln(''a'') + ln(''b'')}} を満足するという意味において対数である。定数 [[ネイピア数|{{mvar|e}}]] は {{math|1=ln(''a'') = 1}} を満足する正数 {{mvar|a}} として定義される。

[[指数函数|自然指数函数]]が先に（具体的には[[無限級数]]として）定義されている場合には、自然対数を自然指数函数の逆函数として定義することもできる。すなわち {{math|ln}} は {{math|1=exp(ln(''x'')) = ''x''}} を満足する函数である。実数全体で定義された自然指数函数の[[値域]]は正数全体の集合に一致し、また自然指数函数は[[単調函数|狭義単調増大]]（ゆえに[[単射|一対一]]）であるから、{{math|ln}} はこの方法で任意の正数 {{mvar|x}} に対して[[well-defined |矛盾なく定まる]]。

{{clr}}
== 一般化 ==
=== 複素数の対数 ===
{{main|複素対数函数}}
{{math|0}} でない複素数 {{mvar|z}} を極座標表示して
:{{math|1=''z'' = ''r'' e<sup>i''θ''</sup>}}
と書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので
:{{math|1=log ''z'' = ln ''r'' + i''θ''}}
ということになる（{{math|1=ln ''z''}} と書くことはあまりない）が、この {{mvar|θ}} の選び方は一通りではなく 、{{math|1=2π}} の整数倍だけ異なる値を選ぶことができる。したがって、複素数の対数関数は多価正則関数である。

定義域を制限することによって、その定義域の上では正則な一価関数となるように {{mvar|θ}} の選び方を定めることができる。定義域は 0 を含まない[[単連結空間|単連結]]領域ならどれでもよいが、よく使われるのは複素平面から 0 と負の実数を除いた領域であり、変数の偏角を {{math|1=&minus;π &lt; ''θ'' &lt; π}} の範囲にとる。このとき、{{math|1=''r'' e<sup>i''θ''</sup> ↦ ln ''r'' + i''θ''}} によって正則な一価関数が得られる。この関数を対数関数の[[主値]]と呼び、
:{{math|1=Log ''z''}}
と書く（{{math|1=Ln ''z''}} と書くことはあまりない）。

複素対数関数は、実数での対数関数が満たす恒等式を満たすとは限らないので注意が必要である。例えば、{{math|1=Log e<sup>''z''</sup> = ''z''}} や {{math|1=Log (''zw'') = Log ''z'' + Log ''w''}} は一般には成り立たない。{{efn|これらの数値例を挙げる。{{math|1=e<sup>2πi</sup> = 1}} となるので、{{math|1=Log e<sup>2πi</sup> = 0 ≠ 2πi}} である。また、{{math|1=''z'' = ''w'' = e<sup>(2/3)πi</sup>}} を例にとると、{{math|1=Log (''zw'') = &minus;(2/3)πi}} なのに対して、{{math|1=Log ''z'' + Log ''w'' = (4/3)πi}} となる。}}

<gallery caption="複素平面上での対数関数の主値">
Image:NaturalLogarithmRe.png| {{math|1=''z'' = Re Log (''x'' +i''y'')}}
Image:NaturalLogarithmImAbs.png| {{math|1=''z'' = &#x7C; Im Log (''x'' +i''y'') &#x7C;}}
Image:NaturalLogarithmAbs.png| {{math|1=''z'' = &#x7C; Log (''x'' +i''y'') &#x7C;}}
Image:NaturalLogarithmAll.png| これらを重ね合わせた図
</gallery>

=== バナッハ環における対数関数 ===
{{main|行列の対数函数}}
{{math|1=&#x7C;''x''&#x7C; &lt; 1}} を満たす {{mvar|x}} に対して、[[テイラー展開]]
:<math>\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infin} (-1)^{n+1}\,{x^n \over n}=x-{x^2 \over 2}+{x^3 \over 3}-{x^4 \over 4}+\cdots</math>
が可能である。この級数展開も、1668年にメルカトルによって見出されたものである。

すべての固有値の絶対値が 1 より小さい[[正方行列]] {{mvar|X}} が与えられたとき、このテイラー展開の変数に {{mvar|X}} を代入することにより、行列 {{math|1=''I'' + ''X''}} の対数 {{math|1=ln (''I'' + ''X''&thinsp;)}} が定義される。ここで、{{mvar|I}} は {{mvar|X}} と同じサイズの[[単位行列]]である。これをさらに一般化して、和や積の構造と両立する[[ノルム]]を持った完備な空間である[[バナッハ環]]において、ノルムが 1 より小さい元 {{mvar|x}} に対し、上の式によって {{math|1=1 + ''x''}} の対数が定義できる。このとき、指数関数による {{math|1=ln (1+''x''&thinsp;)}} の像は可逆元 {{math|1=1+''x''}} になっている。

== 脚注 ==
{{reflist|group="注釈"}}

== 参考文献 ==
{{div col}}
{{reflist}}
{{div col end}}

== 関連項目 ==
{{div col}}
* [[常用対数]]
* [[二進対数]]
* [[オイラーの定数]]
* [[2の自然対数]]
* [[ジョン・ネイピア]]
* [[対数積分]]
* [[多重対数函数]]
* {{仮リンク|フォンマンゴルト函数|en|Von Mangoldt function}}
{{div col end}}

== 外部リンク ==
* {{nlab|id=logarithm}}
* {{MathWorld|urlname=NaturalLogarithm|title=Natural Logarithim}}
* {{PlanetMath|urlname=naturallogarithm|title=natural logarithim}}
* {{SpringerEOM|urlname=Logarithm_of_a_number|title=Logarithm of a number}}
* {{SpringerEOM|urlname=Logarithmic_function|title=Logarithmic function}}

{{DEFAULTSORT:しせんたいすう}}
[[Category:初等解析学]]
[[Category:初等関数]]
[[Category:ネイピア数]]
[[Category:対数]]
[[Category:数学に関する記事]]