相反多項式のソースを表示

[[初等代数学]]における'''相反多項式'''（そうはんたこうしき、{{lang-en-short|''reciprocal polynomial'', reflected polynomial{{sfn|Graham|Knuth|Patashnik|1994|p=339}}{{sfn|Aigner|2007|p=94}}}}）は、本質的に与えられた多項式の係数をもとと逆順にして得られる多項式である。[[線型代数学]]において相反多項式は[[逆行列]]の特性多項式として自然に現れる。

== 定義 ==
任意の[[可換体|体]]に係数を持つ[[多項式]] {{mvar|p}} が
: <math>p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n</math>
で与えられるとき、その'''相反多項式''' {{mvar|p*}} または {{math|''p''{{sup|R}}}}{{sfn|Graham|Knuth|Patashnik|1994|p=339}}{{sfn|Aigner|2007|p=94}} は
: <math>p^*(x) := a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n = x^n p(x^{-1})</math>
で定義される{{sfn|Roman|1995|p=37}}。

多項式 {{mvar|p}} が[[複素数]]に係数をとる特別の場合には、多項式
: <math>p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n</math>
に対する'''共軛相反多項式''' {{math|''p''{{sup|&dagger;}}}} が
: <math>p^{\dagger}(z) := \bar{a} + \bar{a}_{n-1}z + \cdots + \bar{a}_0z^n = z^n\,\overline{p(\bar{z}^{-1})}</math>
として定義される。ただし、複素数 {{mvar|w}} に対して {{math|{{overline|''w''}}}} はその[[複素共軛]]を表す。紛れの虞の無い場合には、これを単に相反多項式と呼ぶこともある。

多項式 {{mvar|p}} が'''自己相反'''であるとは、{{math|''p'' {{=}} ''p*''}} が成り立つときにいう。共軛相反の意味での自己相反多項式の係数は、必ずすべて[[実数]]でなければならない。

== 性質 ==
相反多項式と元の多項式を結び付ける性質は幾つかあるが、例えば
# {{math|1=''p''(''x'') = ''x{{exp|n}}&sdot;p*''(''x''<sup>−1</sup>)}}{{sfn|Aigner|2007|p=94}}
# {{mvar|α}} が多項式 {{mvar|p}} の根ならば {{math|α<sup>−1</sup>}} は {{mvar|p*}} の根であり、逆もまた然り{{sfn|Pless|1990|p=57}}。
# {{math|''p''(''x'') ≠ ''x''}} なる多項式 {{mvar|p}} が[[既約多項式|既約]]であることと、{{math|''p''{{sup|&lowast;}}}} が既約であることとは同値{{sfn|Roman|1995|p=37}}。
# {{mvar|p}} が[[原始多項式 (環論)|原始多項式]]となる必要十分条件は {{mvar|p*}} が原始的となることである{{sfn|Pless|1990|p=57}}。

ほかに相反多項式自身に関する性質としては例えば
* 自己相反多項式が既約ならばその次数は偶数でなければならない{{sfn|Roman|1995|p=37}}（同じことだが、[[#奇数次の可約性|奇数次の自己相反多項式は可約]]である）。

== {{vanc|自己相反性と反自己相反性|自己相反性|反自己相反性}} ==
自己相反多項式は、それを昇冪あるいは降冪の順に表すときその係数が[[回文]]となるから、{{mvar|p}} は'''回文多項式'''と呼ばれる（回文多項式の根を記述する方程式は{{仮リンク|相反方程式|de|Symmetrische Gleichung}}（対称方程式）と言う<ref>{{kotobank|相反方程式}}</ref><ref>{{SpringerEOM|urlname=Reciprocal_equation|title=Reciprocal equation|author=BSE-3}}</ref>）。すなわち、[[多項式の次数|次数]] {{mvar|n}} の多項式 <math display="block"> P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i</math> が'''回文的'''であるとは、{{math|1=''a{{sub|i}}'' = ''a{{sub|n−i}}'' (∀''i'' = 0, 1, …, ''n'')}} を満たすときに言う。{{efn2|文献によっては「回文」(''palindromic'') と「相反」(''reciprocal'') の意味が入れ替わっているかもしれない。}}

同様に {{mvar|n}}-次多項式 {{mvar|P}} が'''反回文的''' (''antipalindromic'') あるいは'''反自己相反'''であるとは、{{math|1=''a{{sub|i}}'' = −''a{{sub|n−i}}'' (∀''i'' = 0, 1, …, ''n'')}} を満たすときに言う。これは{{math|1=''P''(''x'') = –''P*''(''x'')}} とも書ける。

=== 例 ===
[[二項係数]]の性質により、二項冪 {{math|1=''P''(''x'') = (''x'' + 1){{exp|''n''}}}} は任意の自然数 {{mvar|n}} に対して自己相反である。他方 {{math|1=''Q''(''x'') = (''x'' – 1){{exp|''n''}}}} は {{mvar|n}} が偶数のとき自己相反で {{mvar|n}} が奇数のとき反自己相反になる。

他の例としては[[円分多項式]]や[[オイラー多項式]]を挙げることができる.

=== 性質 ===
* 与えられた多項式が自己相反または反自己相反のとき、{{mvar|a}} がその根であるならば {{math|{{sfrac|''a''}}}} もそうであり、それらの[[重複度 (数学)|重複度]]も等しい{{sfn|Pless|1990|p=57, (自己相反の場合のみ)}}。逆もまた成り立つ: 与えられた多項式が、{{mvar|a}} がその根ならば {{math|{{sfrac|''a''}}}} もまた重複度の等しい根となるという性質を満たすならば、その多項式は自己相反または反自己相反である。
* 任意の多項式 {{mvar|q}} に対し、{{math|''q'' + ''q*''}} は自己相反であり、{{math|''q'' − ''q*''}} は反自己相反である。任意の多項式 {{mvar|q}} は自己相反多項式と反自己相反多項式との和として書ける{{sfn|Stein|2000|p=384}}。
* ふたつの自己相反多項式同士または反自己相反多項式同士の積は自己相反である。
* 一つの自己相反多項式と人るの反自己相反多項式との積は反自己相反になる。
* {{anchors|奇数次の可約性}}奇数次の自己相反多項式は {{math|''x'' + 1}} で割り切れる（つまり {{math|–1}} を根に持つ）。そのとき {{math|''x'' + 1}} で割った商は（偶数次の）自己相反多項式になる。
* 反自己相反多項式は {{math|''x'' – 1}} で割り切れる（つまり {{math|1}} を根に持つ）。そのとき {{math|''x'' – 1}} で割った商は自己相反である。
* 偶数次の自己相反多項式は {{math|''x''<sup>2</sup> – 1}} で割り切れ（つまり {{math|&plusmn;1}} を根に持ち）、その商は自己相反である。 
* 自己相反多項式 {{math|''p''(''x'')}} の次数が偶数（それを {{math|2''d''}} とする）を持つならば、次数 {{mvar|d}} の多項式 {{mvar|q}} が存在して {{math|1=''p''(''x'') = ''x{{exp|d}}&sdot;q''(''x'' + {{sfrac|1|''x''}})}} と書ける{{sfn|Durand|1961|pp=140-141}}。
* 奇[[標数]]の体 {{mvar|k}} 上の偶数 {{math|2''d''}}-次モニック反自己相反多項式 {{math|''p''(''x'')}} は、定数項を持たない {{mvar|d}}-次多項式 {{mvar|Q}} を用いて {{math|1=''p''(''x'') = ''x''<sup>''d''</sup> (''Q''(''x'') − ''Q''({{sfrac|''x''}}))}} と一意的に書ける{{sfn|Katz|2012||p=146}}。
* 反自己相反多項式 {{math|''P''}} の次数が偶数 {{math|2''n''}} であるとき、「中央」係数（つまり {{math|''n''}}-次の係数）は必ず {{math|0}} である（定義により、{{math|1=''a{{sub|n}}'' = −''a''{{sub|2''n''–''n''}}}} だから）。

=== 実係数の場合 ===
実係数多項式でその根がすべて[[ガウス平面]]上の[[円周群|単位円]]上に載っている（つまりすべての根が[[複素数の絶対値|絶対値 {{math|1}}]]（単模）である）ようなものは、自己相反であるかさもなくば反自己相反であるかの何れかである{{sfn|Markovsky|Rao|2008}}{{page needed|date=2018年10月}}

== 複素係数の場合 ==
多項式 {{mvar|p}} が'''自己（共軛）相反的'''であるとは、{{math|''p''(''z'') &equiv; ''p''{{sup|&dagger;}}(''z'')}} を満たすことを言う。[[円周群|単位円]]上の適当なスケール因子 {{mvar|&omega;}} に対して {{math|''p''(''z'') &equiv; ''&omega;p''{{sup|&dagger;}}}} を満たすならば'''自己反転的''' {{en|(''self-inversive'')}} という{{sfn|Sinclair|Vaaler|2006}}{{page needed|date=2018年10月}}。

{{math|''p''(''z'')}} が {{math|{{abs|''z''{{sub|0}}}} {{=}} 1}} かつ {{math|''z''{{sub|0}} &ne; 1}} なる複素数 {{math|''z''{{sub|0}}}} の[[実数|実]]係数[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]ならば {{math|''p''(''z'')}} は自己相反である。実際、
: <math>p^\dagger(z_0) = z_0^n\,\overline{p(1/\bar{z}_0)} = z_0^n\, \overline{p(z_0)} = z_0^n\,\bar{0} = 0</math>
が成り立つから {{math|''z''<sub>0</sub>}} は {{math|''p''{{sup|&dagger;}}(''z'')}} の根で、これは {{mvar|n}}-次だから最小多項式の一意性により適当な定数 {{mvar|c}} を以って
:<math>cp(z) = p^\dagger(z) \quad (\text{i.e. }ca_i=\bar{a}_{n-i}=a_{n-i})</math>
が成り立つが、ここで {{math|''i'' {{=}} 0}} から {{mvar|n}} までの和を取れば、{{math|1}} が {{mvar|p}} の根でなかったことと合わせて {{math|''c'' {{=}} 1}} を得る。

この帰結として、{{math|''n'' &gt; 1}} に対する[[円分多項式]] {{math|&Phi;{{sub|''n''}}}} は自己相反であることが分かる。これは {{math|''x''{{sup|11}} &plusmn; 1, ''x''{{sup|13}} &plusmn; 1, ''x''{{sup|15}} &plusmn; 1, ''x''{{sup|21}} &plusmn; 1}} の形の数に対して、それぞれ次数が {{math|5, 6, 4, 6}}（{{mvar|x}} の冪指数の[[オイラーのトーシェント函数|オイラー数]] {{mvar|&phi;}} がそれぞれ {{math|10, 12, 8, 12}} であることに注意）であるような多項式を用いて代数的因数が得られることを用いて因数分解する{{仮リンク|特殊数体篩法|en|special number field sieve}}に用いられる。

== 符号理論における応用 ==
相反多項式は[[巡回符号|巡回誤り訂正符号]]の理論に用いられる。{{math|''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1}} が二つの多項式の積に分解されると仮定して、それを {{math|''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 {{=}} ''g''(''x'')''p''(''x'')}} と書く。{{math|''g''(''x'')}} が巡回符号 {{mvar|C}} を生成するとき、その相反多項式 {{math|''p''{{sup|&lowast;}}(''x'')}} は[[直交補空間|双対符号]] {{math|''C''<sup>⊥</sup>}} を生成する{{sfn|Pless|1990|p=75|loc=Theorem 48}}。また、{{mvar|C}} が'''自己直交'''（つまり {{math|''C'' ⊆ ''C''<sup>⊥</sup>}}）であるための必要十分条件は {{math|''p''{{sup|&lowast;}}(''x'')}} が {{math|''g''(''x'')}} を[[ユークリッド除法|割り切る]]ことである{{sfn|Pless|1990|p=77|loc=Theorem 51}}。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist|20em}}
== 参考文献 ==
* {{cite book | last = Aigner | first = Martin | title = A course in enumeration | publisher = Springer | location = Berlin New York | year = 2007 | isbn = 978-3540390329|ref=harv}}
* {{citation|first=Émile |last=Durand |year=1961 |title= Solutions numériques des équations algrébriques I |publisher= Masson et Cie|ref=harv}}: Ch. XV «polynômes dont les coefficients sont symétriques ou antisymétriques» 
* {{cite book | last = Graham | first = Ronald |last2=Knuth|first2=Donald E.|last3=Patashnik|first3=Oren | title = [[Concrete mathematics]] : a foundation for computer science | publisher = Addison-Wesley | location = Reading, Mass | year = 1994 | isbn = 978-0201558029|ref=harv}}
* {{citation|first=Nicholas M.|last=Katz|title=Convolution and Equidistribution : Sato-Tate Theorems for Finite Field Mellin Transformations|publisher=Princeton University Press|year=2012|isbn=9780691153315|ref=harv}}
* {{citation|first1=Ivan|last1=Markovsky|first2=Shodhan|last2=Rao|title=Palindromic polynomials, time-reversible systems and conserved quantities|journal=Control and Automation|year=2008|doi=10.1109/MED.2008.4602018|ref=harv}}
* {{citation|first=Vera|last=Pless|title=Introduction to the Theory of Error Correcting Codes|edition=2nd|publisher=Wiley-Interscience|place=New York|year=1990|isbn=0-471-61884-5|ref=harv}}
* {{citation|first=Steven|last=Roman|title=Field Theory|publisher=Springer-Verlag|place=New York|year=1995|isbn=0-387-94408-7|ref=harv}}
* {{cite book | last1=Sinclair | first1=Christopher D. | last2=Vaaler | first2=Jeffrey D. | chapter=Self-inversive polynomials with all zeros on the unit circle | zbl=06093092 | editor1-last=McKee | editor1-first=James | editor2-last=Smyth | editor2-first=C. J. | title=Number theory and polynomials. Proceedings of the workshop, Bristol, UK, April 3–7, 2006 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-71467-9 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | volume=352 | pages=312-321 | year=2008 }}
* {{citation|first=Jonathan Y.|last=Stein|title=Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective|publisher=Wiley Interscience|year=2000|isbn=9780471295464|ref=harv}}

== 外部リンク ==
* {{MathPages|id=home/kmath294/kmath294|title=The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials}}
* {{MathWorld|urlname=ReciprocalPolynomial|title=Reciprocal Polynomial}}
* {{PlanetMath|urlname=ReciprocalPolynomial|title=reciprocal polynomial}}

{{DEFAULTSORT:そうはんたこうしき}}
[[Category:多項式]]
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]