標準偏差のソースを表示

[[File:Comparison standard deviations.svg|350px|thumb|共通の[[平均]]を持つが、異なる標準偏差を持つ標本の[[ヒストグラム]]例。赤で示された標本の標準偏差の方が青で示された標本の標準偏差よりも小さい。]]
[[File:Standard deviation diagram.svg|350px|thumb|平均 {{math|0}}, 標準偏差 {{mvar|σ}} の[[正規分布]]の[[確率密度関数]]。この分布に従う確率変数が {{math|0 ± ''σ''}} の間に値をとる確率はおよそ 68[[パーセント|%]] であることが読み取れる。]]
'''標準偏差'''（ひょうじゅんへんさ、{{Lang-en-short|standard deviation, SD}}）は、日本工業規格では、[[分散 (確率論)|分散]]の正の[[平方根]]と定義している{{sfn|JIS Z 8101-1:1999|loc=1.13 分散}}。データや[[確率変数]]の散らばり具合（ばらつき）を表す数値の一つ。物理学{{sfn|伏見|loc=第 VII 章 確率と統計 63節 算術平均、標準偏差|p=364}}、経済学、社会学などでも使う。例えば、ある試験でクラス全員が同じ点数、すなわち全員が平均値の場合、データにはばらつきがないので、標準偏差は {{math|0}} になる。

[[母集団]]や確率変数の標準偏差を {{mvar|σ}} で、[[標本]]の標準偏差を {{mvar|s}} で表すことがある。[[二乗平均平方根]] (RMS) と混同されることもある。両者の差異については、[[二乗平均平方根]]を参照。

== 母集団の標準偏差 ==
{{mvar|n}} 個のデータ {{math2|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|n}}''}} からなる[[母集団]]を考える。その母集団の[[平均#相加平均|平均]]（または母平均）{{mvar|μ}} は、次の通りに定義される:
:<math>\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i.</math>
このとき、母平均 {{mvar|μ}} を使って次式で得られる量 {{math|''σ''{{sup|2}}}} を[[分散 (確率論)|分散]]（または[[分散 (確率論)#母分散|母分散]]）と定義する。
:<math>\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {x_i}^2 - \mu^2.</math>

この分散の非負の[[平方根]] {{mvar|σ}} を、母集団の'''標準偏差'''と定義する<ref name="K">{{harvnb|栗原|2011|p={{google books quote|id=r5JIE8QbPbAC|page=47|47}}}}</ref>。分散はデータの散らばり具合を表す量であるが、元のデータを平方しているので元のデータや平均値と次元が異なり直接比較することができない。平方根をとると元のデータと同じ次元になるので、分散よりも標準偏差の方が散らばり具合を表す量として便利なことがある{{sfn|稲垣|1990|p=21}}。

== 標本の標準偏差 ==
[[母集団]]（nよりはるかに大きい）の中から、{{mvar|n}} 個のデータ {{math2|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|n}}''}} からなる[[標本]]を抽出したとする。このとき、標本平均を次式で定義する:
:<math>\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i.</math>
この標本平均を使って次式で定義される量を標本の分散と呼ぶ。
:<math>s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {x_i}^2\right) - \bar{x}^2.</math>
標本の分散の平方根 {{mvar|s}} を標本の'''標準偏差'''と呼ぶ<ref name="K" />。

{{math|''σ''{{sup|2}}}} を母集団の分散、{{math|''s''{{sup|2}}}} を標本の分散とすると、
:<math>E[s^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2</math>
となることが示される。つまり、標本の分散は母集団の分散よりも小さくなる傾向がある<ref>例えば、標本サイズが {{math|1}} の場合、ばらつきがないので標本の分散は必ず {{math|0}} となるが、母集団のばらつきは通常 {{math|0}} ではない。</ref>。そのため、標本の分散は母集団の分散の[[偏り#推定量の偏り|不偏推定量]]ではない。そこで、
:<math>u^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n {x_i}^2\right) - \frac{n}{n-1}\bar{x}^2</math>
を考えると、この量の期待値は母集団の[[分散 (確率論)|分散]]に等しく、分散の不偏推定量になっている。こうして定義される {{math|''u''{{sup|2}}}} を[[不偏分散]]という。'''標本分散'''と呼ぶこともある。

{{math|''u''{{sup|2}}}} の[[平方根]] {{mvar|u}} を'''標本標準偏差'''ということもある。

不偏分散の平方根 {{mvar|u}} は、標準偏差の不偏推定量ではない。例えば母集団が[[正規分布]]に従う場合、標準偏差の不偏推定量 {{mvar|D}} は次式で与えられる{{sfn|吉澤|1989|pp=78–79}}。
:<math>D= \sqrt{ \frac{n-1}{2}} \frac{ \Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right) }{ \Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} u.</math>
ここで、{{mvar|Γ}} は[[ガンマ関数]]、{{math|''u''{{sup|2}}}} は不偏分散である。

標本サイズが大きくなれば、標準偏差の不偏推定量 {{mvar|D}} は、近似的に、平均からの偏差平方和を {{math|''n'' &minus; 1.5}} で割った値の平方根として求められる{{sfn|Brugger|1969|p=32}}。
:<math>D \approx \sqrt{\frac{1}{n-1.5} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2} =\sqrt{\frac{1}{n-1.5} \sum_{i=1}^n {x_i}^2 - \frac{n}{n-1.5}\bar{x}^2}.</math>

=== 名称の混乱 ===
統計の教科書によっては {{math|''n'' &minus; 1}} で割ったものが標本分散という名称になっており<ref>例：{{harv|東京大学教養学部統計学教室編|1991}}。</ref>、用語が混乱して使用されている場合がある。母平均が不明であって、代わりに標本平均を使用する場合には、期待値が母分散となる不偏分散を使用することが多い<ref>分散または標準偏差の図による解説と具体例は、{{Harv|村瀬|高田|廣瀬|2007|pp=52–53}}などを参照。</ref>。

==== 英語 ====
英語では不偏分散による標準偏差のことを「{{en|sample standard deviation}}」（標本標準偏差）と呼ぶことが多い。この語は[[カール・ピアソン]]によって1893年に導入された<ref>{{Cite web
|url = http://jeff560.tripod.com/s.html
|title = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)
|accessdate = 2016-01-30
}}</ref>。ただし不偏分散による標準偏差を意味する英語の表現には混乱がある。
*ウィキペディア英語版の「[[:en:standard deviation|{{lang|en|standard deviation}}]]」という記事では、不偏分散による標準偏差（平均からの偏差平方和を {{math|''n'' &minus; 1}} で割った値の平方根）のことを「{{en|corrected sample standard deviation}}」と表記し、平均からの偏差平方和を {{mvar|n}} で割った値の平方根を「{{en|uncorrected sample standard deviation}}」や「{{en|the standard deviation of the sample}}」と表記している<!--ウィキペディア英語版では、{{Interlang|en|Unbiased estimation of standard deviation}}の項目で、標準偏差の不偏推定量が説明されている。-->{{出典無効|date=2016-01|title=WP:CIRCULAR参照}}<!-- 出典というよりは補足だけれども、あまり良い記述の仕方ではない -->。
*アメリカの {{en|Fundamentals of Engineering (FE)}} の試験問題での「{{lang|en|sample standard deviation}}」は {{math|''n'' &minus; 1}} で割る方を意味する。
*アメリカ・ユタ大学の[http://www.psych.utah.edu/malloy/ トム・マロイ]は、統計学の学習者向けウェブページ<ref>「[http://www.psych.utah.edu/aoce/web-text/Estimating-Parameters99-12-15/ Estimating Parameters Web Page]」</ref>では、「{{lang|en|sample standard deviation}}」を平均からの偏差平方和を {{mvar|n}} で割った値の平方根だと解説している。

====日本語====
日本語の「不偏標準偏差」という語にも混乱がある。日本の大学教授の間でも、不偏分散 {{math|''u''{{sup|2}}}} の平方根を、不偏標準偏差だと教える大学教員も多いが、標準偏差の不偏推定量 {{mvar|D}} を不偏標準偏差だと教える教員もいる。

* 兵庫大学の河野稔によるウェブページ<ref>「[http://arena.hyogo-dai.ac.jp/~kawano/HStat/?2013%2F3rd%2FDispersion 健康統計学-散布度]」</ref>や神戸大学の中澤港によるウェブページ<ref>「[http://minato.sip21c.org/oldlec/social_stat.html 高崎経済大学非常勤講義 第4回「記述統計(2):代表値」]」</ref>では前者である。
* 東北学院大学の根市一志による資料<ref>「[http://www.tscc.tohoku-gakuin.ac.jp/~neichi/lectures/statistics/estimate.pdf 標準偏差の不偏性]」</ref>では後者である。

このように、同じ用語でも話者によって定義が異なる場合がある。

== 確率変数の標準偏差 ==
=== 離散型確率変数 ===
{{mvar|X}} を離散型[[確率変数]]とする。''X'' のとりうる値が {{math2|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|n}}''}} で {{mvar|X}} が {{mvar|x{{sub|i}}}} をとる確率を {{mvar|p{{sub|i}}}} で表す。ここで、
:<math>\sum_{i=1}^n p_i = 1</math>
とする。このとき、
:<math>E[X] = \sum_{i=1}^n p_i x_i</math>
を確率変数 {{mvar|X}} の[[期待値]]という。また、
:<math>V[X] = E \Big[ \big(X-E[X]\big)^2 \Big] = \sum_{i=1}^n p_i \big( x_i - E[X] \big)^2</math>
を確率変数 {{mvar|X}} の[[分散 (確率論)|分散]]という。この分散の非負の[[平方根]]を'''標準偏差'''という。

=== 連続型確率変数 ===
{{mvar|X}} を連続型[[確率変数]]とする。連続関数 {{math|''f''(''x'')}} が
:<math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx = 1</math>
を満たし、かつ {{mvar|X}} の値が区間 {{math2|[''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}]}} に属する確率が
:<math>\int_{x_1}^{x_2} \! f(x) \, dx</math>
のとき、{{math|''f''(''x'')}} を {{mvar|X}} の[[確率密度関数]]という。このとき、
:<math>E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} \! xf(x) \, dx</math>
を確率変数 {{mvar|X}} の[[期待値]]という。また、
:<math>V[X] = \int_{-\infty}^{\infty} \! \big(x - E[X]\big)^{2}f(x) \, dx</math>
を確率変数 {{mvar|X}} の[[分散 (確率論)|分散]]という。この分散の[[平方根]]を'''標準偏差'''という。

== 標準偏差の推定 ==
母標準偏差が未知のときは、標本から得られた標本標準偏差から推定することができる。母標準偏差を {{mvar|σ}}、標本サイズ {{mvar|N}} の標本標準偏差を {{mvar|s}} とすると母集団分布が正規分布ならば {{math|σ{{sup|2}}}} は次の自由度 {{math|''N'' &minus; 1}} の [[カイ二乗分布|{{math|''χ''{{sup|2}}}} 分布]]に従う。
:<math>\chi^2 =Ns^2/\sigma^2.</math>
{{mvar|σ}} の95%[[信頼区間]]は {{math|''P'' {{=}} 0.975}} の {{math|''χ''{{sup|2}}}} から {{math|''P'' {{=}} 0.025}} の {{math|''χ''{{sup|2}}}} までの範囲で、{{mvar|s}} と {{mvar|σ}} の比は {{math|''N'' {{=}} 5}} では 0.31 から 1.49、{{math|''N'' {{=}} 20}} では 0.67 から 1.28 となり、標本が小さい場合はかなり範囲が広いことに留意すべきである。

[[File:Confidence interval by Standard deviation.svg|thumb|Percentage within(''z'')]]
[[File:Standard deviation by Confidence interval.svg|thumb|''z''(Percentage within)]]
{{anchor|Table}}
{| class="wikitable" style="font-size:&nbsp;"
|-
! rowspan=2 | Confidence <br/>interval
! Proportion within
! colspan=2 | Proportion without
|-
! Percentage
! Percentage
! Fraction
|-
|0.318 639''σ''
|25%
|75%
|3 / 4
|-
| {{val|0.674490}}''σ''
| {{val|50}}%
| {{val|50}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|2}}
|-
| {{val|0.994458}}''σ''
| 68%
| 32%
| 1&nbsp;/&nbsp;3.125
|-
| 1''σ''
| {{val|68.2689492}}%
| {{val|31.7310508}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|3.1514872}}
|-
| {{val|1.281552}}''σ''
| 80%
| 20%
| 1&nbsp;/&nbsp;5
|-
| {{val|1.644854}}''σ''
| 90%
| 10%
| 1&nbsp;/&nbsp;10
|-
| {{val|1.959964}}''σ''
| 95%
| 5%
| 1&nbsp;/&nbsp;20
|-
| 2''σ''
| {{val|95.4499736}}%
| {{val|4.5500264}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|21.977895}}
|-
| {{val|2.575829}}''σ''
| 99%
| 1%
| 1&nbsp;/&nbsp;100
|-
| 3''σ''
| {{val|99.7300204}}%
| {{val|0.2699796}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;370.398
|-
| {{val|3.290527}}''σ''
| 99.9%
| 0.1%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000}}
|-
| {{val|3.890592}}''σ''
| 99.99%
| 0.01%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000}}
|-
| 4''σ''
| {{val|99.993666}}%
| {{val|0.006334}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|15787}}
|-
| {{val|4.417173}}''σ''
| 99.999%
| 0.001%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000}}
|-
| {{val|4.5}}''σ''
| {{gaps|99.999|320|465|3751%}}
| {{gaps|0.000|679|534|6249%}}
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|147159.5358}}<br>3.4&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}} (''on each side of mean'')
|-
| {{val|4.891638}}''σ''
| {{val|99.9999}}%
| {{val|0.0001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}}
|-
| 5''σ''
| {{val|99.9999426697}}%
| {{val|0.0000573303}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1744278}}
|-
| {{val|5.326724}}''σ''
| {{val|99.99999}}%
| {{val|0.00001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000}}
|-
| {{val|5.730729}}''σ''
| {{val|99.999999}}%
| {{val|0.000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000}}
|-
| [[シックス・シグマ#シックス・シグマ|{{val|6}}''σ'']]
| {{val|99.9999998027}}%
| {{val|0.0000001973}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|506797346}}
|-
| {{val|6.109410}}''σ''
| {{val|99.9999999}}%
| {{val|0.0000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000000}}
|-
| {{val|6.466951}}''σ''
| {{val|99.99999999}}%
| {{val|0.00000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000000}}
|-
| {{val|6.806502}}''σ''
| {{val|99.999999999}}%
| {{val|0.000000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000000}}
|-
| 7''σ''
| {{gaps|99.999|999|999|7440%}}
| {{val|0.000000000256}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|390682215445}}
|}

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{refbegin|2}}
*{{Cite journal |first=Richard M |last=Brugger |date=1969-10 |title=A Note on Unbiased Estimation of the Standard Deviation |publisher=American Statistical Association |journal=The American statistician |volume=23 |number=4 |issn=0003-1305 |pages=32 |ref=harv}}
*{{Cite book|和書 |last=吉澤 |first=康和 |title=新しい誤差論 - 実験データ解析法
|publisher=共立出版 |year=1989 |isbn=4320014243 |ref=harv}}
* {{Cite book|和書 |last=稲垣 |first=宣生 |year=1990 |title=数理統計学 |publisher=[[裳華房]] |isbn=4-7853-1406-0 |ref=harv}}
*{{Cite book|和書 |edit=東京大学教養学部統計学教室編 |title=統計学入門 |publisher=[[東京大学出版会]] |year=1991 |isbn=4-13-042065-8 |ref=harv}}
*{{Cite book|和書 |last1=村瀬 |first1=洋一 |last2=高田 |first2=洋 |last3=廣瀬 |first3=毅士 |year=2007 |title=SPSSによる多変量解析 |publisher=オーム社 |isbn=4-27-406626-6 |ref=harv}}
* {{Cite book|和書 |last=栗原 |first=伸一 |year=2011 |title=入門統計学検定から多変量解析・実験計画法まで |url={{google books|r5JIE8QbPbAC|plainurl=yes}} |publisher=[[オーム社]] |isbn=978-4-274-06855-3 |ref=harv}}
* {{Cite book|和書 |last=西岡 |first=康夫 |year=2013 |title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計 |publisher=[[オーム社]] |isbn=9784274214073 |ref=harv}}
* {{Cite book|和書 |last=伏見 |first=康治　|authorlink=伏見康治 |year=1942 |title=確率論及統計論 |publisher=[[河出書房]] |isbn=9784874720127 |url= http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204 |ref=harv}}
* {{Cite book|和書 |editor=[[日本数学会]] |year=2007 |title=数学辞典 |publisher=[[岩波書店]] |isbn=9784000803090 |ref=harv}}
* {{citation |title=JIS Z 8101-1:1999 統計−用語と記号−第1部：確率及び一般統計用語 |author=日本規格協会 |authorlink=日本規格協会 |url=http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html |ref={{sfnref|JIS Z 8101-1:1999}}}}
{{refend}}

== 関連項目 ==
* [[分散 (確率論)]]
* [[二乗平均平方根]] (RMS)
* [[標準誤差]] (SE)
* [[統計学]]
* [[リスク]]
* [[正規分布]]
* [[偏差値]]
* [[四分位偏差]]

== 外部リンク ==
*{{kotobank|2=日本大百科全書(ニッポニカ)}}

{{normdaten}}
{{統計学}}
{{DEFAULTSORT:ひようしゆんへんさ}}
[[Category:統計量]]
[[Category:確率論]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:データ分析]]
[[Category:数学に関する記事]]