指数関数のソースを表示

[[Image:Exp.svg|thumb|240px|right|底が {{math|e}} である指数関数（グラフの 1 マスは {{math|1}}）]] 
[[実解析]]における'''指数関数'''（しすうかんすう、{{lang-en-short|exponential function}}）は、[[冪]]における[[冪指数|指数]] ({{en|exponent}}) を[[変数 (数学)|変数]]として、その定義域を主に[[実数]]の全体へ拡張して定義される[[関数一覧|初等超越関数]]の一種である。[[対数|対数関数]]の[[逆関数]]であるため、'''逆対数''' ({{en|anti-logarithm, inverse logarithm}}) と呼ばれることもある<ref>[http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/cc410227.aspx MSDN の <code>Exp</code> 関数の解説]</ref>{{efn|"Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…"<ref> – p.&nbsp;12 of {{citation|last1=Converse|last2=Durrell| title=Plane and spherical trigonometry| publisher= C.E. Merrill co.|year= 1911}}</ref>}}。[[自然科学]]において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（{{仮リンク|指数関数的増加|en|exponential growth}}や[[指数関数的減衰]]の項を参照）。

一般に、{{math|''a'' &gt; 0}} かつ {{math|''a'' &ne; 1}} なる定数 {{mvar|a}} に関して、（主に実数の上を亙る）変数 {{mvar|x}} を {{mvar|a<sup>x</sup>}} へ送る関数は、「[[底に関する指数函数|{{mvar|a}} を'''底'''とする指数函数]]」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする[[冪関数]]とは対照的である。

しばしば、より狭義の関数を意図して単に「指数関数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数関数（あるいはより明示的に「自然指数関数」）{{efn|[[英語]]で {{en|exponential function}} と {{en|''the'' exponential function}} とを区別することがあるように、[[ドイツ語]]では一般の底に関する指数関数を {{lang|de|exponentiellen Funktionen}}（指数の関数）、自然指数関数を {{lang|de|Exponentialfunktion}} のように区別することもある。}}は[[ネイピア数]] {{math|1=''e'' (= {{val|2.718281828}}…)}} を底とする関数 {{math|''x'' ↦ ''e<sup>x</sup>''}} である。これを {{math|exp ''x''}} のようにも書く。この関数は、導関数が自分自身に一致するなど、他の指数関数と比べて著しく特異な性質を持つ。底 {{mvar|e}} を他の底 {{mvar|a}} に取り換えるには[[自然対数]] {{math|ln ''x''}} を用いて、等式
: <math>a^x = e^{x \cdot \ln a}</math>
を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数関数について記述し、多くの場合「指数関数」は自然指数関数の意味で用いる。

== 歴史と概観 ==
[[File:Animation of exponential function.gif|thumb|赤線（<span style="color:#ff0000">―</span>）は指数関数を表わす。黒い横線（<span style="color:#000000">―</span>）は指数関数の曲線が緑の縦線（<span style="color:#00ff00">―</span>）に交わる点を示している。緑の縦線を一定間隔で配置すると、黒の横線の間隔は急激に広がっていくことが分かる。]]
ある量の変化（増大または減少）率がその量の現在値に[[比例]]するというような状況において、指数関数は生じてくる（[[指数関数的増大]]または指数関数的減少）。

そのような例として、[[利子#連続複利と元利合計|連続的複利計算]]があり、実は[[ヤコブ・ベルヌーイ|ヤコブ・ベルヌイ]]が {{harv|Bernoulli|1683}}<ref name="mactutor">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |author=John J O'Connor; Edmund F Robertson |publisher=University of St Andrews, Scotland |work=School of Mathematics and Statistics |accessdate=2011-06-13}}</ref> においてこのような複利計算から今日 {{mvar|e}} と書かれる数

:<math>\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}</math>

を導いている。後の1697年に[[ヨハン・ベルヌーイ|ヨハン・ベルヌイ]]が指数関数の解析学を研究している<ref name="mactutor" />。元本 {{math|1}} に対して年 {{mvar|x}} の割合で金利を得る複利を考えると、得られる利息は毎月現在値に {{math|''x''/12}} だから、総額は毎月 {{math|(1+''x''/12)}} 倍となり一年で {{math|(1+''x''/12)<sup>12</sup>}} となる。あるいは、毎日金利を得るものとすれば {{math|(1+''x''/365)<sup>365</sup>}} である。さらに間隔を短くして年間に金利を得る回数を限りなく増やした極限として、指数関数の定義 
:<math>\exp(x) = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}</math>
を与えた最初の人は[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]である<ref name="autogenerated156" />。これは数ある指数関数の特徴付けの一つであり、ほかにも[[冪級数]]や[[微分方程式]]を用いた定義などがある。

何れの定義に従ったとしても、指数関数は[[指数法則]]と呼ばれる基本的な関係式
:<math>\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>
を満たすから、指数関数を[[添字記法|冪記法]]を以って {{mvar|e{{exp|x}}}} と書くこともある。

指数関数の変化率、即ち[[導関数]]は指数関数自身に一致する。より一般に、変化率が自分自身と（そのものではなく）比例するという性質を持つ関数は、指数関数を用いて表すことができる。関数のこのような性質は指数関数的増加や指数関数的減少と呼ばれる。

指数関数は[[複素数平面]]上の[[整関数]]に拡張される。[[オイラーの公式]]は指数関数の純虚数における値と[[三角関数]]を関係付ける。同様に、指数関数は[[行列の指数函数|行列変数]]やより一般の[[バナッハ代数|バナハ環]]に値を取る変数などに対しても定義される。あるいは[[リー代数|リー理論]]における[[リー環の指数写像|指数写像]]に一般化される。

== 性質 ==
指数関数 <math>\exp_a(x):=a^x\ (a>0,\ a \neq1)</math> は次の性質を持つ:

* <math>a>1</math> のとき狭義増加: <math>s>t \Rightarrow a^s>a^t.</math>
* <math>0<a<1</math> のとき狭義減少: <math>s>t \Rightarrow a^s<a^t.</math>
* <math>\exp_a \colon \mathbb{R} \to (0,\infty)</math> は各 <math>a</math>  に対し全単射. よって <math>\exp_a</math> は各 <math>a</math>  に対し可逆で, <math>\exp_a^{-1}=\log_a.</math>
* <math>(a^x)=a^x\log a.</math> 特に<math>(a^x)'|_{x=0}=1</math>  となる <math>a</math>  を <math>e</math>  と書くと, <math>(e^x)'=e^x.</math>

== 厳密な定義 ==
{{main|{{仮リンク|指数函数の特徴付け|en|Characterizations of the exponential function}}}}
[[Image:Exp series.gif|right|thumb|指数関数（青線：<span style="color:#0000ff">―</span>）と、原点における指数関数の[[テイラー展開]]の第 {{math|''n'' + 1}} 項までの和（赤線：<span style="color:#ff0000">―</span>）。]]

指数関数 {{mvar|e<sup>x</sup>}} を一意的に定義するための特徴付けは、同値な方法がいくつも知られている。中でも以下の[[冪級数]]
: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
で定義するのが典型的である<ref name="rudin">{{cite book|last1=Rudin|first1=Walter|title=Real and complex analysis|date=1987|publisher=McGraw-Hill|location=New York|isbn=978-0-07-054234-1|page=1|edition=3rd}}</ref>。これは他の方法で指数[[関数 (数学)|関数]]を定義した場合に導くことのできる、指数関数の[[テイラー級数]]そのものである。

あまり典型的ではないが、[[自然対数]]関数の[[逆関数]]という意味で、指数関数 {{mvar|e<sup>x</sup>}} を[[方程式]]
: <math>x = \int_1^y {dt \over t}</math>
の解 {{mvar|y}} と定めることもできる。あるいはまた、以下の極限
: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n</math>
によっても同じものが定まる<ref name="autogenerated156">[[Eli Maor]], ''e: the Story of a Number'', p.156.</ref>。

== 微分 ==
<!--{{expand|{{subst:DATE}}}}-->
底が[[ネイピア数]] {{mvar|e}} である指数関数 {{mvar|e<sup>x</sup>}} の[[導関数]]は {{mvar|e<sup>x</sup>}} 自身となる。
:<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。つまり、指数関数 {{math|exp(''x'')}} とは、
# <math>\exp(0) = 1</math>
# <math>(d / dx - 1) \exp(x) = 0</math>
を満たす関数のことである。この関数は[[#定義|代数的な定義]]で示される性質を満たし、両者は一致することが示される。

一般の指数関数 {{mvar|a<sup>x</sup>}} の導関数は[[自然対数]] {{math|ln}} を用いて、合成関数の微分公式より、
:<math>\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}e^{x \ln a} 
= \frac{{d}(x \ln a)}{{d}x}\frac{{d}{e}^{x \ln a}}{{d}(x \ln a)} = (\ln a)a^x</math>
となる。{{math|''a'' {{=}} ''e''}} とすれば {{math|ln ''e'' {{=}} 1}} なので最初の公式に戻る。
<!--双曲線函数, 連分数展開etc.-->

== 一般化 ==
===二重指数関数===
{{main|{{仮リンク|二重指数関数|en|Double exponential function}}}}
二重指数関数とは、{{math|1=''f''(''x'') = ''a<sup>b<sup>x</sup></sup>''}} の形で表現される関数のことである。
=== {{anchors|複素指数函数}} 複素指数関数 ===
{{main|複素指数函数}}
実変数の指数函数に対するテイラー級数において、変数をそのまま[[複素数]]に取り換えることによってガウス平面 {{mathbf|C}} 上の複素函数が得られる。すなわち、複素指数函数は、任意の[[複素数]] {{mvar|z}} に対して
: <math>\exp z = \sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{n!}z^n</math>
によって定まる[[整関数]]である。実指数関数について成り立つ性質のいくつかは複素指数関数に対してもそのまま成り立つ。また、実変数 {{mvar|x}} の[[純虚指数函数]]は 
: <math>\operatorname{cis}(x) := \exp(ix) (= \cos x + i\sin x)</math>
で定義される実変数複素数値函数である（[[オイラーの公式]]の項も参照）。 

=== {{anchors|p進指数函数|p進指数関数|p-進指数函数}}{{mvar|p}}-進指数関数 ===
{{main|{{仮リンク|p進指数函数|en|p-adic exponential function}}}}
複素指数函数の場合と同様に、テイラー級数表示における変数を [[p進数|{{mvar|p}}-進数]]とすることにより、{{mvar|p}}-進数の全体 {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} 上の関数として {{mvar|p}}-進指数関数が定義される。

=== 行列の指数関数 ===
{{main|行列の指数関数}}
上記の[[テイラー展開]]の {{mvar|x}} に任意の[[正方行列]] {{mvar|X}} を代入することにより、[[行列の指数関数]] {{math|exp ''X''}} が定義される。

とくに、{{mvar|X}} が {{mvar|n}} 次の[[実数|実]][[一般線型群]] {{math|GL(''n'', '''R''')}} の[[リー代数|リー環]] {{math|gl(''n'', '''R''')}} すなわち {{mvar|n}} 次の実正方行列全体を亘るとすれば、この指数関数
:<math>\exp\colon \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \to {GL}(n, \mathbb{R})</math>
はリー環から[[リー群]]への[[リー環の指数写像|指数写像]]の一つの例を与える。

[[行列の積]]の非可換性ゆえに、行列の指数函数は指数法則 {{math|1=''e''{{sup|''X''+''Y''}} = ''e{{sup|X}}&sdot;e{{sup|Y}}''}} を一般には満たさない（もちろん、{{math|1=''XY'' = ''YX''}} であるような {{mvar|X, Y}} に対しては満たす）。この両辺の誤差については{{ill2|ベイカー–キャンベル–ハウスドルフの公式|en|Baker–Campbell–Hausdorff formula}}を参照せよ。

=== バナッハ環上の指数函数 ===
より一般に、テイラー級数による指数函数の定義は任意の単位的[[バナッハ環]] {{mvar|B}} において意味を為す。この場合、{{mvar|B}} の[[加法単位元|零元]] {{math|0}} に対して {{math|1=''e''{{exp|0}} = 1}} は[[乗法単位元]]であり、任意の {{math|''x'' ∈ ''B''}} に対し {{mvar|e{{exp|x}}}} は可逆元で {{math|1=''e''{{exp|&minus;''x''}} = 1/''e{{exp|x}}''}} を満たすが、指数法則 {{math|1=''e''{{sup|''x''+''y''}} = ''e{{exp|x}}&sdot;e{{exp|y}}''}}（右辺は冪級数の[[コーシー積]]として定義できる）の成立には可換性 ({{math|1=''xy'' = ''yx''}}) が必要である。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}

=== 出典 ===
{{reflist}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Exponential functions}}
{{div col}}
* [[冪乗]]
* [[対数]]
* {{仮リンク|リーマン多様体の指数写像|en|Exponential map (Riemannian geometry)}}
* [[指数関数時間]]
* [[指数積分]]
* [[指数分布]]
* [[0の0乗]]
* [[二重指数関数型数値積分公式]]
{{div col end}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=ExponentialFunction|title=Exponential Function}}
* {{PlanetMath|urlname=exponentialfunction|title=exponential function}}
* {{SpringerEOM|urlname=Exponential_function|title=Exponential function}}
* {{SpringerEOM|urlname=Exponential_function,_real|title=Exponential function, real}}
* {{SpringerEOM|urlname=Antilogarithm|title=Antilogarithm}}
* {{nlab|id=exponential}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しすうかんすう}}
[[Category:初等解析学]]
[[Category:指数関数|*]]
[[Category:初等関数]]
[[Category:ネイピア数]]
[[Category:数学に関する記事]]