弦 (数学)のソースを表示

[[File:Chord in mathematics.svg|thumb|赤い線分 ''BX'' はこの円の'''弦'''である。（線分 AB は円の直径）]]
[[初等幾何学]]における[[円 (数学)|円]]の'''弦'''（げん、{{lang-en-short|''chord''}}{{efn|弓弦を意味する{{lang-la|''chorda''}} に由来}}）は、その円上に両端点を持つ[[線分]]を言う。弦を無限に延長して得られる[[直線]]を、[[割線]]と呼ぶ。より一般に、任意の[[曲線]]（例えば[[楕円]]）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の[[直径]]である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけでない。

[[File:CIRCLE LINES.svg|thumb|直径 (diameter); 半径 (radius); 弦 (chord); 割線 (secant); 接線 (tangent)]]

== 円の弦 ==
{{seealso|:en:Circle#Chord}}
円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:
# 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。
# 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。
# 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。
# 弦 {{math|AB}} および {{math|CD}} を延長して得られる[[割線]]が点 {{math|P}} で交わるならば、それらの長さは {{math|1=''AP·PB'' = ''CP·PD''}} を満足する（[[方冪の定理]]）。

== 楕円の弦 ==
[[楕円]]における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて[[同一直線上にある]]<ref name="Chakerian_1979">{{cite book | first=G. D. | last=Chakerian | title=A Distorted View of Geometry | chapter=7 | work=Mathematical Plums | editor-first=R. | editor-last=Honsberger | location=Washington, DC, USA | publisher=[[Mathematical Association of America]] | date=1979 | page=147}}</ref>。

== 弦をもとにした三角法{{anchors|crd|acrd}} ==
[[三角法]]の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表は[[ヒッパルコス]]の編纂した{{ill2|弦の数表|en|table of chords}}で、それには7.5[[度 (角度)|°]]刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアの[[クラウディオス・プトレマイオス|プトレマイオス]]は、天文学に関する著書『[[アルマゲスト]]』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）<ref name=Maor>{{citation|first=Eli|last=Maor|title=Trigonometric Delights|year=1998|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-15820-4|pages=25-27}}</ref>。

[[File:TrigonometricChord.svg|thumb|中心角 {{mvar|θ}} に対する弦; 弦の半分が正弦]]
弦函数 {{math|crd}} は幾何学的には（図のように）[[中心角]] {{mvar|θ}} の見込む弦の長さが {{math|''r''&sdot;crd(''θ'')}}（{{mvar|r}} は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 {{math|crd(''θ'')}} は、中心角 {{mvar|θ}} によって隔てられた[[単位円]]上の二点間を結ぶ弦の[[長さ]]である。ここでは角度 {{mvar|θ}} は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 {{math|0 < ''θ'' ≤ {{pi}}}} の範囲に入るものと考えている。この元函数 {{math|crd}} をより現代的な[[正弦函数]] {{math|sin}} と関連付けることができる。それには、一点 {{math|(1, 0)}} ともう一つの点 {{math|(cos(''θ''), sin(''θ''))}} を結ぶ弦の長さを[[三平方の定理]]を用いて計算すればよい。すると <math display="block"> \operatorname{crd}\theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} = \sqrt{2-2\cos \theta} =2 \sin\!\Bigl(\frac{\theta }{2}\Bigr)</math> を得る<ref name=Maor />。最後の等号は[[三角関数の公式の一覧#倍角・三倍角・半角の公式|半角公式]]による。

現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:

{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto;"
! 恒等式 !! 正弦版 !! 弦版
|-
| 三平方の定理
|<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
|<math>\operatorname{crd}^2 \theta + \operatorname{crd}^2 (\pi- \theta) = 4</math>
|-
| 半角公式
| <math>\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}</math>
| <math>\operatorname{crd}\ \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{2-\operatorname{crd}(\pi - \theta)}</math>
|-
| [[辺心距離]] {{mvar|a}}
|<math>c=2 \sqrt{r^2- a^2}</math>
|<math>c=\sqrt{D ^2-4 a^2}</math>
|-
| 中心角 {{mvar|θ}}
|<math>c=2 r \sin\!\Big(\frac{\theta }{2}\Bigr)</math>
|<math>c=\frac{D}{2}\operatorname{crd}\theta</math>
|-
| colspan="3" style="background-color: lightgray;" | ただし、半径 {{mvar|r}}（直径 {{mvar|D}}）の円の中心角 {{mvar|θ}} が見込む弦の長さを {{mvar|c}} とする。
|}

弦函数 {{math|crd}} の逆函数 {{math|acrd}} もまた存在して、逆正弦函数とは <math display="block">\operatorname{acrd}(y) = 2\arcsin\!\Big(\frac{y}{2}\Bigr)</math> の関係にある<ref name="Simpson_2001">{{cite web | title=AUXTRIG | first=David G. | last=Simpson | publisher=NASA Goddard Space Flight Center | location=Greenbelt, Maryland, USA | date=2001-11-08 | type=FORTRAN-90 source code |url=http://www.davidgsimpson.com/software/auxtrig_f90.txt | access-date=2015-10-26}}</ref>。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
== 参考文献 ==
{{empty section}}

== 関連文献 ==
* {{cite book |editor-last=Hawking |editor-first=Stephen William |editor-link=Stephen William Hawking |date=2002 |title=On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy |publisher=[[Running Press]] |location=Philadelphia, USA |lccn=2002100441 |isbn=0-7624-1698-X |url= {{google books|id=pb6HR4DAEeMC|plainurl=1}}|ref= {{sfnRef|Hawking|2002}}}}
* {{cite journal |author-first=Jiří |author-last=Stávek |location=Prague, CZ |title=On the Hidden Beauty of Trigonometric Functions |date=2017-03-10 |orig-year=2017-02-26 |journal=Applied Physics Research |publisher=Canadian Center of Science and Education |volume=9 |number=2 |issn=1916-9639 |id={{eISSN|1916-9647}} |doi=10.5539/apr.v9n2p57 |pages=57-64 |ref= harv}}

== 関連項目 ==
{{multiple image |align= right |direction= vertical
|footer= 割円八線 
|image1= Circle-trig6.svg
|image2= Unit-circle sin cos tan cot exsec excsc versin cvs.svg
}}
* [[弓形]]: 端点が同じ弦と円弧で囲まれた部分(=扇形から半径と弦が作る三角形を取り除いて残る部分) 
* {{ill2|Scale of chords|en|Scale of chords}}: 弦に打った目盛りで角度を測る尺
* {{ill2|プトレマイオスの弦の数表|en|Ptolemy's table of chords}}
* {{ill2|ホルディッチの定理|en|Holditch's theorem}}: 凸閉曲線内を回転する弦に関する
* {{ill2|円グラフ (グラフ理論)|en|Circle graph}}: 一つの円内の弦の集合に対する{{ill2|交叉グラフ|en|Intersection graph}}
* {{ill2|外正割|en|Exsecant}}: 外正割（剰正割; exsecant）と外余割（剰余割; excosecant）
* {{ill2|正矢|en|Versine}}: 正矢（余正弦、残正弦; versine) と半正矢 (haversine) およびそれらの逆函数. 関連して、余矢 (coversine), 残正矢 (vercosine), 残余矢 (covercosine) / 半余矢 (hacoversine), 半残正矢 (havercosine), 半残余矢 (hacovercosine) など. 
* {{ill2|ジンドラー曲線|en|Zindler curve}}: 任意の弦が、同じ長さを持ち、かつ周長を二等分する単純閉曲線

== 外部リンク ==
{{Commons category}}
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma105/trighist.html History of Trigonometry Outline]
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html Trigonometric functions], focusing on history
*[http://www.mathopenref.com/chord.html Chord (of a circle)] With interactive animation
* {{MathWorld|urlname=Chord|title=Chord}}
* {{PlanetMath|urlname=chord|title=chord}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Chord|title=Definition:Chord}}
* {{SpringerEOM|urlname=Chord|title=Chord|author=BSE-3}}

{{DEFAULTSORT:けん}}
[[Category:平面図形]]
[[Category:曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]