平行移動のソースを表示

{{otheruses||リーマン幾何学における平行移動 (parallel transport)|{{仮リンク|平行移動 (リーマン幾何学)|en|Parallel transport}}}}
[[File:Traslazione OK.svg|right|thumb|平行移動は図形あるいは空間の各点を決まった方向に同じだけ移動させる。]]
[[File:Simx2=transl OK.svg|right|thumb|ある軸に対する[[鏡映]]とその軸に平行な別の軸に関する鏡映との合成は全体として平行移動を行ったのと同じになる。]]
[[ユークリッド幾何学]]における'''平行移動'''（へいこういどう、{{lang-en-short|''translation''}}）は全ての
点を決まった方向に一定の距離だけ動かす写像である。

[[物理学]]における平行移動は[[並進運動]] (translational motion) と呼ばれる。

== 概観 ==
平行移動は各点に定[[ベクトル]]を加える操作として解釈することや、[[座標系]]の[[原点 (数学)|原点]]をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル {{mvar|'''v'''}} に対して、{{mvar|'''v'''}} に対応する平行移動 {{math|''T''<sub>'''v'''</sub>}} は、点 {{math|P('''p''')}} を {{mvar|'''v'''}} だけ動かす写像
: {{math|1= ''T''<sub>'''v'''</sub>('''p''') = '''p''' + '''v'''}}
として働く。

平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる{{sfn|Osgood|Graustein|1921|p= [{{google books |id= mxOBAAAAMAAJ | page= 330 |plainurl=1}} 330]}}。{{mvar|T}} が平行移動であるとき、部分集合 {{mvar|A}} の写像 {{mvar|T}} による[[像 (数学)|像]]を、{{mvar|A}} の {{mvar|T}} による平行移動と呼ぶ。{{mvar|T}} が定ベクトル {{mvar|'''v'''}} に対応する平行移動 {{math|''T''<sub>'''v'''</sub>}} であるとき、{{mvar|A}} の {{math|''T''<sub>'''v'''</sub>}} による平行移動はしばしば {{math|''A'' + '''v'''}} と書かれる。

平行移動を[[ユークリッド群|剛体運動]]として記述することもできる（平行移動の他には[[回転 (数学)|回転]]と[[鏡映]]）。{{mvar|''n''}}-次元[[ユークリッド空間]]において任意の平行移動は[[等距変換]]である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 {{mvar|''T''(''n'')}} を成す。この群はもとの空間（の加法群）と同型であり、[[ユークリッド群]] {{math|''E''(''n'')}} の[[正規部分群]]である。{{math|''E''(''n'')}} の {{math|''T''(''n'')}} による[[剰余群]]は[[直交群]] {{math|''O''(''n'')}} に同型:
: {{math|''E''(''n'')/''T''(''n'') ≅ ''O''(''n'')}}
である。

ベクトル変数の写像 {{math|''f''('''v''')}} に作用する、定ベクトル {{mvar|&delta;}} に対応する'''平行移動作用素''' {{math|''T''{{msub|&delta;}}}} は
: <math>T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta})</math>
で定義される[[作用素]]を言う。

== 行列表現 ==
平行移動は[[不動点]]を持たない[[アフィン変換]]である。一方、[[行列の積]]は必ず[[原点 (数学)|原点]]を固定する。 にも拘らず、[[ベクトル空間]]の平行移動を[[行列]]で表すことが、{{仮リンク|斉次座標系|en|homogeneous coordinates}}を用いた回避方法によって一般に行われる。

例えば三次元の場合において、ベクトル {{math|1= '''w''' = (''w''<sub>''x''</sub>, ''w''<sub>''y''</sub>, ''w''<sub>''z''</sub>)}} は四成分の斉次座標 {{math|1= '''w''' = (''w''<sub>''x''</sub>, ''w''<sub>''y''</sub>, ''w''<sub>''z''</sub>, 1)}}で表せる{{sfn|Paul|1981}}。

各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル {{math|'''p'''}} を、定ベクトル {{math|'''v'''}} だけ平行移動させるには、'''平行移動行列'''

: <math> T_{\mathbf{v}} = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
</math>
を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果
: <math> T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y\\
0 & 0 & 1 & v_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1
\end{pmatrix}
= \mathbf{p} + \mathbf{v} </math>
は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、
: <math> T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}}</math>
で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動
: <math> T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}}</math>
になる。ベクトルの和は[[交換法則|可換]]であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。

== 物理学における平行移動 ==
[[物理学]]における平行移動は[[並進運動]]とも呼ばれ、物体の[[変位|位置]]を変える運動である（[[回転運動]]に対照する）。例えば {{harvtxt|Whittaker|1988|p= [{{google books|id=epH1hCB7N2MC|page=4|text=rigid+bodies+translation|plainurl=1}} 1]}} によれば、

{{Quotation|If a body is moved from one position to another, and if the lines joining the initial and final points of each of the points of the body are a set of parallel straight lines of length {{mvar|ℓ}}, so that the orientation of the body in space is unaltered, the displacement is called a ''translation parallel to the direction of the lines, through a distance {{mvar|ℓ}}''. （剛体がある位置から別な位置へ動くとき、剛体の各点の始点と終点を結ぶ直線が平行線集合となり、したがって空間における剛体の向きが変わらないならば、この変位を「その直線方向への距離 {{mvar|ℓ}} だけの平行移動」と呼ぶ。）}}

平行移動は物体の各点 {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} を
: <math>(x,y,z) \to (x+\Delta x,y+\Delta y, z+\Delta z)</math>
なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、{{math|(&Delta;''x'', &Delta;''y'', &Delta;''z'')}} は物体の各点に共通の[[ユークリッドベクトル|ベクトル]]とする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル {{math|(&Delta;''x'', &Delta;''y'', &Delta;''z'')}} は、（「角」変位 (''angular'' displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (''linear'' displacement) と呼ばれる特定の種類の[[変位]]を記述するものである。

[[時空]]を考えるとき、[[物理学における時間|時間]]座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、[[ガリレイ変換]]群や[[ポワンカレ群]]は時間に関する平行移動を含む。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite book | last1= Osgood | first1= William F. | last2= Graustein | first2= William C.| title= Plane and solid analytic geometry | publisher= The Macmillan Company | year= 1921}}
* {{citation| firat= Richard | last= Paul | year= 1981 | url= {{google books|id=UzZ3LAYqvRkC|plainurl=1}} | title= Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators | publisher= MIT Press | location= Cambridge, MA}}
* {{cite book | title= A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies | first= Edmund Taylor | last= Whittaker | isbn= 0-521-35883-3 | publisher= Cambridge University Press | year= 1988 | edition= Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea}}

== 関連項目 ==
* [[移流]]
* [[回転行列]]
* [[スケール変換]]
* {{仮リンク|変換行列|en|Transformation matrix}}
* {{仮リンク|軸の移動|en|Translation of axes}}
* [[並進対称性]]
* {{仮リンク|垂直移動|en|Vertical translation}}

== 外部リンク ==
{{Commons category|Translation (geometry)}}
* {{MathWorld|urlname=Translation|title=Translation}}
* {{MathWorld|author=Terr, David|urlname=ComplexTranslation|title= Complex Translation}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Translation.shtml Translation Transform] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.mathsisfun.com/geometry/translation.html Geometric Translation (Interactive Animation)] at Math Is Fun
* [http://demonstrations.wolfram.com/Understanding2DTranslation/ Understanding 2D Translation] and [http://demonstrations.wolfram.com/Understanding3DTranslation/ Understanding 3D Translation] by Roger Germundsson, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

{{DEFAULTSORT:へいこういとう}}
[[Category:ユークリッドの運動]]
[[Category:平行移動|*]]
[[Category:数学に関する記事]]