平方根のソースを表示

'''平方根'''（へいほうこん、{{lang-en|square root}}）とは、数に対して、[[自乗|平方]]すると元の値に等しくなる数のことである。[[幾何学]]的には、正の[[実数]]の平方根の[[絶対値]]とは、与えられた[[正方形]]の[[面積]]に対するその一辺の長さのことである。

'''二乗根'''（にじょうこん）、'''自乗根'''（じじょうこん）とも言う。

{{math|0}} の平方根は {{math|0}} のみであり、平方根が一意に定まるのはこのときに限られる。

単位長と任意の長さ {{mvar|a}} が与えられたとき、{{mvar|a}} の正の平方根の長さは[[定規とコンパスによる作図|定規とコンパス]]を用いて作図することができる。

== 定義 ==
数 {{mvar|a}} に対して、{{math|''x''{{sup|2}} {{=}} ''a''}} を満たす {{mvar|x}} を {{mvar|a}} の'''平方根'''という。元の数 {{mvar|a}} がどのような数の範囲であるかによって、この概念は、意味を持つかどうかということを含め、さまざまな点で差異が生じるということに注意が必要である。

{{math|[[0]]}} の平方根は {{math|0}} のみである。元の数 {{mvar|a}} が正の数である場合は、その平方根は正と負の2つ存在するが、それらの[[絶対値]]は等しい。そのうち'''正である方'''を'''[[根号]]'''（こんごう、radical symbol）<math>\sqrt{\;}</math> を用いて
:<math>\sqrt{a}</math>
と表す。これは {{mvar|a}} の「'''正の'''（あるいは'''非負の'''）'''平方根'''」（{{lang|en|principal square root}}; 主平方根）である（文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略することもある）。このとき、他方の「負の平方根」は <math>-\sqrt{a}</math> である。また、2つの平方根を併せて <math>\pm\sqrt{a}</math> と表記することもできる。例えば、{{math|9}} の平方根は {{math|±3}}、すなわち {{math|+3}} と {{math|&minus;3}} の2つであり、<math>\sqrt{9}</math> は正である {{math|3}} の方を表す。<math>\sqrt{0}</math> は、{{math|0}} の唯一の平方根 {{math|0}} を意味すると約束する。

{{math|''a''＜0}} のときは、{{mvar|a}} の平方根は[[実数]]にはならず、2つある平方根を数の大小で区別することはできなくなる。

<!--負の数の平方根は、考える数の範囲を[[複素数]]まで拡大すれば定義できる。-->また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある（[[行列の定値性|正定値行列]]など）。

== 基本的な性質 ==
=== 実数の平方根 ===
{{mvar|a}} が正の[[整数]]でも、{{mvar|a}} の平方根は整数とは限らない。元の数が[[平方数]]でない正の整数だと、その平方根は[[無理数]]であることが証明されている。
:（例）：<math>\sqrt{10} = 3.162277660168 \cdots</math>
証明は、例えば[[2の平方根#無理数であることの証明]]を参照。

=== 簡略化 ===
{{math2|''a'' > 0, ''b'' > 0}} のとき、
:<math>\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}</math>
が成り立つ。例えば、
:<math>\sqrt{8}=\sqrt{2^2 \times 2}=2\sqrt{2}</math>
:<math>\sqrt{12}=\sqrt{2^2 \times 3}=2\sqrt{3}</math>
:<math>\sqrt{54}=\sqrt{3^2 \times 6}=3\sqrt{6}</math>
:…
である。

したがって、正の整数 {{mvar|x}} が平方因子を持たなければ、{{math|{{sqrt|''x''}}}} は無理数である。

=== 概数とその求め方 ===
有理数の[[自乗|平方]]でない正の実数の平方根は、その小数部分が循環しない。その小数表示を効率的に求めるには、'''[[開平法]]'''という筆算による方法が知られている。

比較的小さな数の平方根については、概数を知る必要がしばしばあることから、以下のような小数部分の数桁目までの[[語呂合わせ]]が知られている。
*<math>\sqrt{2} = 1.41421356\cdots</math>  一夜一夜に人見頃（ひとよひとよにひとみごろ）
*<math>\sqrt{3} = 1.7320508075\cdots</math> 人並みに奢れや女子（ひとなみにおごれやおなご）
*<math>\sqrt{5} = 2.2360679\cdots</math> 富士山麓鸚鵡鳴く（ふじさんろくおーむなく）
**「富士山麓'''''に''''' 鸚鵡鳴く」と誤って覚える向きも多い。
**<math>\sqrt{5} = 2.236067977\cdots</math> なので、小数点以下 8 桁ならば、切り捨てた「 2.2360679 」よりは、四捨五入した「 2.2360680 」の方が近い。
*<math>\sqrt{6} = 2.4494897\cdots</math> ツヨシ串焼くな（つよしくしやくな）、煮よ良く弱く（によよくよわく）<br /> {{0|000}}≈ 2.44949 似よ良く良く（によよくよく）、二夜しくしく（によしくしく）
*<math>\sqrt{7} = 2.64575\cdots</math> 菜 (7) に虫来ない（（な）にむしこない）、「菜に虫いない」とも。
*<math>\sqrt{8} = 2\sqrt{2} = 2.828427\cdots</math> ニヤニヤ呼ぶな（にやにやよぶな）
*<math>\sqrt{10} = 3.162277\cdots</math> 父 (10) さん一郎兄さん（とうさんいちろーにーさん）

=== 絶対値 ===
任意の実数 {{math|''x''}} に対して
:<math>\sqrt{x^2} =|x|\left( =\begin{cases}
x &(x \ge 0) \\
-x &(x < 0) 
\end{cases}\right)</math>
が成り立つ。

=== 積・商に関する計算法則 ===
{{math|''a''＞0}}、 {{math|''b''＞0}} のとき、
:<math>\begin{align}
\sqrt{ab} &=\sqrt{a} \sqrt{b},\\
\sqrt{\frac{a}{b}} &=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\end{align}</math>
が成り立つ<ref name="NHK数学2第53回">{{Cite web |url=https://www.nhk.or.jp/kokokoza/radio/r2_math2/archive/2016_suu2_53.pdf |title=NHK高校講座｜数学Ⅱ｜第４章　指数関数と対数関数［指数関数］｜累乗根（１）累乗根とその性質 |accessdate=2019-09-23}}</ref>。

=== 累乗根による表記 ===
{{math|''x'' ≥ 0}} に対して、その[[冪乗]]と[[冪根]]について
:<math>x=\left(\sqrt{x} \right)^2 =\left(\sqrt[4]{x^2} \right)^2 =\left(\sqrt[6]{x^3} \right)^2 =\cdots</math>
が成り立ち、特に
:<math>x^{1/2} :=\sqrt{x}</math>
と定めることは（指数の表示 {{math2|1={{sfrac|1|2}} = {{sfrac|2|4}} = {{sfrac|3|6}} = …}} に依らずに一定という意味で）[[well-defined]] で、[[指数関数#定義|指数法則]]とも整合する。

== 平方根関数 ==<!--
実解析的な話-->
入力 {{mvar|x}} に対してその非負の平方根 <math>\sqrt{x}</math> を返す[[函数]]  <math>f(x)=\sqrt{x}</math> を非負実数全体の集合 {{math|'''R'''{{sup|+}} ∪ {0{{)}}}} 上で定義されていると考えた'''正の平方根函数'''
:<math>\sqrt{\bullet}\colon \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\} \ni x\ \xrightarrow{\text{1-1,onto}}\ \sqrt{x} \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}</math>
は（函数として [[well-defined]] で）、それ自身への[[全単射]]になる。正の平方根函数の[[グラフ (関数)|グラフ]]と負の平方根函数
:<math>{-\sqrt{\bullet}}\colon \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\} \ni x\ \xrightarrow{\text{1-1,onto}}\ {-\sqrt{x}} \in \mathbb{R}^- \cup \{ 0\}</math>
のグラフの[[合併 (集合論)|和集合]]は、二次函数 {{math2|''y'' {{=}} ''x''{{sup|2}}}} のグラフと直線 {{math2|''y'' {{=}} ''x''}} に関して線対称な放物線に等しい。
[[画像:Graph of square roots.png|400px|thumb|正の平方根函数のグラフ。これは放物線の半分になっている。]]
正の平方根函数 √ は[[連続 (数学)|連続]]かつ {{math|''x'' > 0}} で[[微分可能]]であり、[[導関数]]は
:<math>\frac{d}{dx} \sqrt{x} =\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
[[不定積分]]は
:<math>\int \sqrt{x} \, dx=\frac{2}{3} ( \sqrt{x} )^3+C =\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}+C</math>　（ {{math|''C''}} は積分定数）
で与えられる。また、収束冪級数としての[[二項展開]]
:<math>\sqrt{1+x} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/2}{n} x^n =1+\frac{x}{2} -\frac{x^2}{8} +\cdots=
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n</math>
が {{math|{{abs|''x''}} < 1}} で成り立つ。

{{math|''x'' > 0}}, [[自然数]] {{mvar|n}} に対して帰納的に
:<math>f_n (x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x + ...}}}}</math>
（{{mvar|x}} および根号の個数は {{mvar|n}}）と定めると、函数列 {{math|(''f{{sub|n}}'')}} は漸化式
:<math>f_{n+1}(x)^2 =x+f_n (x)</math>
に従い、{{math|(''f{{sub|n}}'')}} は {{math|''α''(''x'') > 0}} に収束するならば {{math|''α''(''x''){{sup|2}} &minus; ''α''(''x'') &minus; ''x'' {{=}} 0}} でなければならないから、
:<math>\lim_{n \to \infin} f_n (x)=\sqrt{x+\frac{1}{4}} +\frac{1}{2}</math>
が成り立つ。

== 負の数の平方根 ==
[[虚数単位]] {{math|''i''}} （ {{math|''i''{{sup|2}} {{=}} &minus;1}} ）を用いることで、負の数の平方根を求めることができる。 {{math|''a''＞0}} のとき、 {{math|&minus;''a''}} の平方根は {{math|{{sqrt|''a''}}''i''}} と {{math|&minus;{{sqrt|''a''}}''i''}} で、 {{math|''x''{{sup|2}} {{=}} &minus;''a''}} の解は {{math|''x'' {{=}} &plusmn;{{sqrt|''a''}}''i''}} である<ref name="NHK数学2第7回">{{Cite web |url=https://www.nhk.or.jp/kokokoza/radio/r2_math2/archive/2016_suu2_07.pdf |title=NHK高校講座｜数学Ⅱ｜第１章　方程式・式と証明［２次方程式］｜複素数１　&#x301C;負の数の平方根&#x301C; |accessdate=2019-09-23}}</ref>。 {{math|''a''＞0}} のとき、 {{math|{{sqrt|&minus;''a''}}}} は
:{{math|{{sqrt|&minus;''a''}} {{=}} {{sqrt|''a''}}''i''}}
と定義される。例えば、 {{math|&minus;''3''}} の平方根は {{math|{{sqrt|''3''}}''i''}} と {{math|&minus;{{sqrt|''3''}}''i''}} で、 {{math|''x''{{sup|2}} {{=}} &minus;''3''}} の解は {{math|''x'' {{=}} &plusmn;{{sqrt|''3''}}''i''}} である<ref name="NHK数学2第7回"/>。また、 {{math|{{sqrt|&minus;''3''}} {{=}} {{sqrt|''3''}}''i''}} である。

== 二次体 ==<!--
代数的な話-->
有理数[[可換体|体]] {{math|'''Q'''}}（有理数全体（負の数も含む））上で定義される函数
:<math>\mathbb{Q} \ni x\mapsto \sqrt{x} \in \mathbb{A}</math>
において、その値域は（虚数も含めた）[[代数的数]]（の一部）からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は（有理数の範囲での）平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数 {{mvar|d}} に対して {{math|{{sqrt|''d''}}}} は二次の無理数であって、{{math|'''Q'''}} に {{math|{{sqrt|''d''}}}} を付け加えて得られる体（たい）は'''[[二次体]]'''と総称される。

== 複素数の平方根 ==<!--
複素解析、複素関数論的な話-->
{{mvar|a}} が {{math|0}} でない[[複素数]]のとき、{{math|''z''{{sup|2}} {{=}} ''a''}} を満たす複素数 {{mvar|z}} は2個存在する。{{mvar|a}} の[[極形式]]を
:<math>a=re^{i\theta} \ (r>0,\, -\pi <\theta \le \pi)</math>
とすると、{{mvar|z}} の動径の2乗が {{mvar|r}}、{{mvar|z}} の偏角の2倍が {{mvar|θ}} であるから、
:<math>\sqrt{a} =\sqrt{r} \, e^{i\theta/2}</math>
と定義すると、これは {{mvar|a}} に対して一意に定まり、{{math|({{sqrt|''a''}}){{sup|2}} {{=}} ''a''}} を満たす。これを {{mvar|a}} の平方根の'''[[主値]]'''（しゅち、principal value）という。この主値により定義される平方根函数
:<math>\mathbb{C} \ni z\mapsto \sqrt{z} \in \mathbb{C}</math>
は、実軸の負の部分を除く[[ガウス平面]] {{math|'''C'''}} の全域で至る所[[正則]]である。しかし実軸の負の部分上では[[連続]]でさえない。これを2枚のガウス平面を実軸の負の部分で張り合わせた平方根函数の[[リーマン面]]上で考えるならば、[[至る所解析的]]である。
<gallery>
Complex sqrt leaf1.jpg|ガウス平面上の平方根函数を色で示したもの。原点の周りを偏角が正の方向（反時計回り）に回って、実軸の負の部分を跨ぐときもう一枚のガウス平面へ跳ぶ（緑→緑）。
Complex sqrt leaf2.jpg|もう一枚のガウス平面上の平方根函数。こちらもやはり原点を正の方向に回ると、実軸の負の部分を境に最初のガウス平面に帰る（紫→紫）。
Riemann surface_sqrt.jpg|原点付近での平方根函数のリーマン面（2つのガウス平面を張り合わせたときの様子）<br />平方根関数 Re ''z''{{sup|1/2}}<br />ここで、{{mvar|z}} は複素数。
</gallery>

== 数以外の平方根 ==
=== 行列の平方根 ===
{{Main|行列の平方根}}
一般に、[[正方行列]] {{mvar|A}} に対して、{{mvar|1=X{{exp|2}} =A}} を満たす正方行列 {{mvar|X}} を {{mvar|A}} の'''平方根行列'''と呼び<ref name="Higham">{{Cite journal
|last = Higham
|first = Nicholas J.
|authorlink = :en:Nicholas Higham
|month = April
|year = 1986
|title = Newton's Method for the Matrix Square Root
|journal = [[:en:Mathematics of Computation]]
|volume = 46
|number = 174
|pages = 537–549
|doi = 10.2307/2007992
|url = http://www.ams.org/journals/mcom/1986-46-174/S0025-5718-1986-0829624-5/S0025-5718-1986-0829624-5.pdf
}}</ref>、記号で {{math|{{sqrt|''A''}}}} あるいは {{math|''A''{{exp|{{fraction|1|2}}}}}} と表す。平方根行列は存在するとは限らず、存在しても1つだけの場合や複数個の場合、無限個存在する場合がある。例えば、二次単位行列 {{math|''I''{{sub|2}}}} は無数の平方根を持つ<ref>Mitchell, Douglas W., "Using Pythagorean triples to generate square roots of I{{sub|2}}", ''Mathematical Gazette'' 87, November 2003, 499–500.</ref>。ただしその中で正定値となるのはただ一つ {{math|''I''{{sub|2}}}} 自身である。

また、半正定値複素（resp. 実）正方行列 {{mvar|A}} に対して、{{math|1=''A'' = ''BB''*}}（あるいは {{math|1=''A'' = ''B''*''B''.}} ここに {{math|&lowast;}} は[[共軛転置|エルミート共軛]]）を満たす（正方とは限らない）任意の行列 {{mvar|B}} をしばしば、 {{mvar|A}} の'''非エルミート''' (resp. '''非対称''') '''平方根''' (''non-Hermitian (resp. symmetric) square root'')<ref>{{Citation |title=Inequalities |first1=Albert W. |last1= Marshall |first2=Ingram |last2= Olkin |first3=Barry |last3=Arnold |page=773 |url={{google books |id= I9wfajyOrooC |page=773 |text=asymmetric+square+root |plainurl=1}}}}</ref> と呼ぶ（とくに適当な三角行列となるときコレスキー因子 (Cholesky factor)<ref>{{Citation |title=Matrix Algebra |first=James E. |last=Gentle |page=194 |url={{google books |id=PDjIV0iWa2cC |page=194 |text=Cholesky factor |plainurl=1}}}}</ref>とも呼ぶ）。{{mvar|B}} がそれ自身エルミート（実係数の場合は対称）ならば、これは上で述べた平方根の概念と一致する。任意の正定値エルミート行列 {{mvar|P}} に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを'''主平方根''' (unique square root, principal square root)<ref>{{Citation |title=Functions of Matrices |first1=Nicholas J. |last1= Higham |page=20 |url={{google books |id=2Wz_zVUEwPkC |page= 20 |text=unique+square+root |plainurl=1}}}}</ref>と呼ぶが、しばしば記号 {{math|{{sqrt|''P''}}}} や {{math|''P''{{sup|1/2}}}} は専ら主平方根を表すために予約される<ref>{{Citation |title=Matrix Algebra |first=James E. |last=Gentle |page=125 |url={{google books |id=PDjIV0iWa2cC |page=125 |text=Cholesky factor |plainurl=1}}}}</ref>ことに注意すべきである。また、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、[[ユニタリ行列]]を掛ける分の不定性を持つ<ref>{{Citation |title=Practical Optimization |first1=Andreas |last1=Antoniou |first2=Wu-Sheng |last=Lu |page=601 |url={{google books |id=6_2RhaMFPLcC |page=601 |text=non-hermitian+square+root |plainurl=1}}}}</ref>が、これは正実数の場合に、（正値の主平方根が一意に決まること、および）主平方根に {{math|&plusmn;1}} を掛けたものがその平方根のすべてであることと対応している。

このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関する[[スペクトル論]]（固有値分解）や[[特異値分解]]あるいは[[コレスキー分解]]などが利用できる<ref>{{Citation |title=Functions of Matrices |first=Nicholas J. |last=Higham |page=20 |url={{google books |id=2Wz_zVUEwPkC |page=20 |text=spectral+decomposition |plainurl=1}}}}</ref><ref>{{Citation |title=Matrix Algebra |first=James E. |last=Gentle |page=193 |url={{google books |id=PDjIV0iWa2cC |page=193 |text=nonnegative+definite |plainurl=1}}}}</ref><ref>{{Citation |title=Numerical Analysis for Statisticians |first= Kenneth |last=Lange |page=99 |url={{google books |id=va4_AAAAQBAJ |page=99 |text=unique |plainurl=1}}}}</ref>。

=== 可換整域および可換体の場合 ===
（[[可換環|可換]]）[[整域]]の各元が二つより多くの平方根を持つことはない。実際、乗法の[[交換法則|可換性]]により{{仮リンク|二平方数の差の公式|en|difference of two squares}} {{math|1=''u''<sup>2</sup> − ''v''<sup>2</sup> = (''u'' − ''v'')(''u'' + ''v'')}} が成り立つことに注意すれば、{{mvar|u, v}} が同じ元の平方根であるとき {{math|1=''u''<sup>2</sup> − ''v''<sup>2</sup> = 0}}, ゆえに[[零因子]]を持たないことから {{math|1=''u'' = ''v''}} または {{math|1=''u'' + ''v'' = 0}} であることが従う。後者は、二つの平方根が互いに[[加法逆元]]の関係にあることを言っているのだから、すなわち一つの元の平方根は（存在すれば）符号の[[違いを除いて]]一意である。特に、整域において[[加法単位元|零元]] {{math|0}} の平方根は {{math|0}} 自身のみである。

[[標数]] {{math|2}} の[[可換体]]において、各元の平方根は一つ持つ（各元が自身を加法逆元にもつことに注意せよ）か、全く持たないかの何れかとなる（標数 {{math|2}} の[[有限体]]においては任意の元が一意な平方根を持つ）。それ以外の任意の標数の体においては、先の段落のとおり任意の非零元が二つの平方根を持つか全く持たないかの何れかとなる。

[[奇素数]] {{mvar|p}} と適当な正整数 {{mvar|e}} に対し {{math|1=''q'' = ''p''<sup>''e''</sup>}} と置く。[[有限体|{{mvar|q}}-元体 {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}}]] の非零元が[[平方剰余]]であるとは、その平方根が {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} に属することを言い、さもなくば平方非剰余であるという。この体において {{math|(''q'' − 1)/2}} 個の元が平方剰余であり、{{math|(''q'' − 1)/2}} 個が非剰余である（零元はいずれのクラスにも属さないことに注意）。平方剰余元の全体は乗法に関して[[群 (数学)|群]]を成す。この性質は[[代数的整数論]]において広く用いられる。

=== 非可換または零因子を持つ環の場合 ===
一般の[[環 (数学)|環]]において、{{mvar|a}} の平方根 {{mvar|b}} を {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''a''}} のことと定めるならば、一般には平方根は符号を除いて一意とは限らない。

たとえば[[合同類環]] {{math|'''Z'''/8'''Z'''}} を考えれば、この環において単位元 {{math|1}} は相異なる四つの平方根を持つ（具体的には {{math|±1, ±3}}）。他方、元 {{math|2}} は平方根を持たない。詳細は[[平方剰余]]の項を参照されたい。

他の例として[[四元数]]体 {{math|'''H'''}} において、{{math|&minus;1}} は {{math|±''i'', ±''j'', ±''k''}} を含む無数の平方根を持つ。実は {{math|&minus;1}} の平方根の全体はちょうど集合
: <math>\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\}</math>
であり、したがって各平方根は絶対値が等しく、この集合は三次元空間内の二次元[[単位球面]]を描く。[[四元数#−1 の平方根]]も参照。

零元 {{math|0}} の平方根は、定義により、{{math|0}} 自身または[[零因子]]である。四元数体のような[[可除環]]では零因子が存在しないから、一般に {{math|0}} の平方根は {{math|0}} のみである。しかし、零因子が存在しうる一般の環では必ずしもそうでないことは、反例として任意の自然数 {{mvar|n}} に対する[[合同類環|{{math|'''Z'''/''n''<sup>2</sup>'''Z'''}}]] を考えればよい（この場合、{{mvar|n}} は零因子であり、実際に {{math|1=''n''{{exp|2}} = 0}} を満たす）。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*[[一松信]]『<math>\sqrt{2}</math>の数学―無理数を見直す』海鳴社 ISBN 4875250568

== 関連項目 ==
*[[2の平方根]]
*[[3の平方根]]
*[[5の平方根]]
*[[平方数]]
*[[素因数分解]]
*[[冪根]]
*[[多重根号]]
*[[二次体]]
*[[リーマン面]]
*[[ド・モアブルの定理]]

== 外部リンク ==
*{{Wayback |url=http://members2.jcom.home.ne.jp/seroron/kazunoizumi/index.htm |title=数の泉 |date=20161019024845 }}（<math>\sqrt{2}</math>や<math>\sqrt{3}</math>などを小数点以下100万桁まで掲載しているサイト）
*[http://www.geocities.jp/fukuharaorenji/shiryoko_square_root.html 資料庫（平方根）]（<math>\sqrt{1}</math>から<math>\sqrt{100}</math>までを小数点以下30桁まで掲載している）
*[http://webhome.idirect.com/~totton/soroban/katoSq/ Japanese soroban techniques] - 加藤福太郎教授が考案した計算法（英語）
*[http://www.kk62526.server-shared.com/root2/ 2の平方根の求め方をまとめたサイト]
{{DEFAULTSORT:へいほうこん}}
[[Category:算術]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:代数的数]]
[[Category:数学に関する記事]]