導来圏のソースを表示

{{要改訳}}{{正確性|date=2015年4月}}
[[数学]]において[[アーベル圏]] <math>\mathcal{A}</math> の'''導来圏'''(どうらいけん、{{lang-en-short|Derived category}}、{{lang-fr-short|Catégorie dérivée}}) <math>D(\mathcal{A})</math> は[[ホモロジー代数]]から構成されるもので、 <math>\mathcal{A}</math> 上に定義された[[導来函手]]の理論を精密化するとともに、ある意味で単純化するべく導入された。その構成は基本的には次の様に進む：まず[[圏 (数学)|圏]] <math>D(\mathcal{A})</math> の[[圏 (数学)|対象]]は <math>\mathcal{A}</math> の双対[[鎖複体]]であり、次に2つのその様な双対鎖複体の間に[[鎖複体#チェイン写像|チェイン写像]]が存在してコホモロジーを取った段階で同型を誘導する場合に同型であると考えるのである。このとき、[[導来函手]]は双対鎖複体に対して定義され、{{仮リンク|超ホモロジー|label=超コホモロジー|en|hyperhomology}}の考えを精密化したものとなる。これらの定義により、煩雑な{{仮リンク|スペクトル系列|en|spectral sequence}}を用いて（完全に忠実ではなく）記述されるよりほか無かった式は劇的に簡素化される。

導来圏の発展は、[[アレクサンドル・グロタンディーク]]と彼の学生の{{仮リンク|ジャン・ルイ・ヴェルディエ|en|Jean-Louis Verdier}}により1960年代初頭になされ、ホモロジー代数が長足の進歩を遂げた1950年代における爆発的な展開の一つの到達点であると現在ではみなされている。ヴェルディエによる理論の基本部分は博士論文に纏められたが、1996年になってようやくAstérisque（要約はずっと早くに{{仮リンク|Grothendieck's Séminaire de géométrie algébrique|label=SGA 4½|en|Grothendieck's Séminaire de géométrie algébrique}}に収録されていた）に出版された{{sfn|Verdier|1996}}。その定式化には革新的な発想である{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}}の概念が必要であり、その構成は[[環の局所化]]を一般化した{{仮リンク|圏の局所化|en|localization of a category}}に基づく。"導来"形式の展開への原動力となった欲求は、グロタンディークによる{{仮リンク|連接双対|en|coherent duality}}の理論のなんらかの意味での定式化を行うことであった。導来圏は以後、[[代数幾何学]]以外の領域に於いてさえ、たとえば、[[D-加群]]や[[超局所解析]]でも不可欠な概念となっている。さらに、近年は、[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]や[[D-ブレーン]]の定式化という物理学に近い領域でも、導来圏が重要な役割を果たすようになっている。

==動機==
[[非特異]][[スキーム]]であるという前提のない[[連接層]]の理論で、[[セール双対性|セール双対]]の結果を通して出現する極限をとると、単純に'''双対化する'''層の部分に沿っての双対鎖複体をとる必要が出てくる。事実、非特異性を弱めることとなる[[コーエン・マコーレー環]]の条件は、単純に双対化された層が存在することに対応する。しかし、これは、一般的議論であるとはとてもいえない。いつもそうであるが、高い位置からトップダウンでグロタンディークが想定していることを、再定式化することが非常に重要となる。（たとえば、）このことは、実[[テンソル積]]や[[Hom函手]]が導来圏のレベルで存在するはずであるというアイデアもそうであり、[[Tor函手]]と [[Ext函手]]もこれを通してより計算し易い道具立てとなった。

抽象度が高いにもかかわらず、特に[[層コホモロジー]]の設定での利便性により、導来圏は続く10年で受け入れられるようになった。おそらく、1980年頃、導来圏のことばで 1 よりも大きな次元での{{仮リンク|リーマン・ヒルベルト対応|en|Riemann-Hilbert correspondence}}の定式化が、最も大きな前進であっただろう。[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤]]スクールでは、導来圏の言葉を使い、[[D-加群]]をこの言葉で表現した。

平行して発展した理論は、[[ホモトピー|ホモトピー論]]での{{仮リンク|スペクトル (ホモトピー論)|label=スペクトル|en|spectrum (homotopy theory)}}の圏の理論である。スペクトルのホモトピーの圏と環の導来圏は、双方とも{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}}の例である。

== 定義 ==
<math>\mathcal{A}</math> を[[アーベル圏]]とする{{efn|基本的な例は、[[環上の加群]]の圏や、位相空間上のアーベル群の[[層 (数学)|層]]の圏である}}。導来圏 <math>D(\mathcal{A})</math> はいくつかのステップを踏んで得られる。
* 基本となるのは、<math>\mathcal{A}</math> における双対[[鎖複体]]
::<math>
\dotsb \rightarrow
X^{-1} \xrightarrow{d^{-1}}
X^0 \xrightarrow{d^0}
X^1 \xrightarrow{d^1}
X^2 \rightarrow \dotsb
</math>
の圏 <math>\operatorname{Kom}(\mathcal{A})</math> である。この圏の対象が導来圏の対象となるが、射は異なる。

* {{仮リンク|鎖ホモトピー|label=鎖ホモトピック|en|chain homotopy}}な射を同一視することにより、双対鎖複体の{{仮リンク|ホモトピー圏|en|homotopy category of chain complexes}} <math>K(\mathcal{A})</math> を得る。
* [[擬同型]]の集合での{{仮リンク|圏の局所化|label=局所化|en|localization of a category}}により、導来圏 <math>D(\mathcal{A})</math> を得る。導来圏の射は、経路図式 X ← X'→ Y として明示的に表現される。ここに X' → X は擬同型であり、X' → Y は双対鎖複体の任意の射である。

特に、ホモトピー同値が擬同型となっているので、第二のステップは避けることができる。しかし、射の単純な経路図式の定義は、より複雑な射の別の有限個の矢印により置き換える必要がある（テクニカルには、「分数の計算」を超えたものとなる（容易には計算できないことを意味する））。したがって、第一のステップの構成で十分ではあるのだが、一層、より複雑となってしまう。

[[モデル圏]]の観点からは、導来圏 <math>D(\mathcal{A})</math> は双対鎖複体の真の'''ホモトピー圏'''であり、一方、<math>K(\mathcal{A})</math> は'''ナイーブなホモトピー圏'''と呼ばれる。

== 三角圏から導来圏への注意 ==
双対鎖複体 X が下に有界とは、n << 0 に対し X<sup>n</sup> = 0 であることで、上に有界とは、n >> 0 に対し X<sup>n</sup> = 0 であることで、単に有界とは、|n| >> 0 に対し X<sup>n</sup> = 0 のことである。
（以下に見るように）なんらかの目的のため、有界ではない双対鎖複体の代わりとして、'''下に有界'''、'''上に有界'''、あるいは'''有界'''な双対鎖複体を使う。対応する導来圏は、通常、それぞれに対し、<math>D^+(\mathcal{A}),\ D^-(\mathcal{A}),\ D^b(\mathcal{A})</math> と記す。

（[[クラス (集合論)|クラス]]の考え方ではなく）ある対象から別の対象への射の[[集合]]が存在するという圏の古典的観点を適用するとき、導来圏に変更することを証明するには、議論を追加する必要がある。

アーベル圏 <math>\mathcal{A}</math> が[[小さい圏|小さい]]場合、つまり、対象の集合しか持たない場合は、何も問題がない。<math>\mathcal{A}</math> が{{仮リンク|グロタンディーク圏|label=グロタンディークアーベル圏|en|Grothendieck category}}であったとしても、導来圏 <math>D(\mathcal{A})</math> はホモトピー圏 <math>K(\mathcal{A})</math> の[[充満部分圏]]に同値であるので、ある対象から他への射の集合を持つのみである{{sfn|Kashiwara|Schapira|2006|loc=Theorem 14.3.1(iii)|p={{google books quote|id=K-SjOw_2gXwC|page=355|355}}}}。グロタンディークアーベル圏は、環の上の加群の圏や位相空間上のアーベル群の層の圏や他の例を多く含んでいる。

しかしながら、導来圏での 2つの射の合成は、合成される 2つの射の頂点に、ある第三の射を見つけることで完成する。このことが確認できて始めて、[[well-defined]]で結合的な合成であることが完成する。

<math>K(\mathcal{A})</math> は{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}}であるので{{sfn|Kashiwara|Schapira|2006|loc=Theorem 11.3.8|p={{google books quote|id=K-SjOw_2gXwC|page=280|280}}}}、<math>K(\mathcal{A})</math> の局所化 <math>D(\mathcal{A})</math> も三角圏である。整数 n と双対鎖複体 X に対し、X を n シフトした双対鎖複体 X[n] を
:<math>X[n]^{i} = X^{n+i}</math>
と微分
:<math>d_{X[n]} = (-1)^n d_X</math>
により定義する{{sfn|Gelfand|Manin|2003|loc=III.3.2|p={{google books quote|id=pv94ATbagxEC|page=154|154}}}}。

定義から、<math>D(\mathcal{A})</math> の完全三角形は、ある双対鎖複体の射 ''f'': ''X'' → ''Y'' から導かれる三角形 ''X'' → ''Y'' → Cone(''f'') → ''X''[1] と <math>D(\mathcal{A})</math> において同型な三角形である。ここに、Cone(''f'') は ''f'' の{{仮リンク|写像錐|en|mapping cone (homological algebra)}}である。特に、<math>\mathcal{A}</math> 中の短完全系列 {{math|0 → ''X'' → ''Y'' → ''Z'' → 0}} に対し、三角形 {{math|''X'' → ''Y'' → ''Z'' → ''X''[1]}} は、<math>D(\mathcal{A})</math> の完全三角形である。ヴェルディエは、シフト {{math|''X''[1]}} の定義を、射 {{math|''X'' → 0}} の写像錐であることとして説明した{{sfn|Verdier|1996|loc=Appendice to Ch. 1}}。

<math>\mathcal{A}</math> の対象を次数 0 に集中された双対鎖複体とみなすと、導来圏 <math>D(\mathcal{A})</math> は <math>\mathcal{A}</math> を[[充満部分圏]]にもつ。さらに興味深いことに、導来圏の射は、[[Ext函手|Ext群]]の全情報を含んでいる。すべての対象 X, Y とすべての整数 j について、
:<math>\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(X,Y[j]) = \operatorname{Ext}^j_{\mathcal{A}}(X,Y)</math>
を得る。

== 射影分解と単射分解 ==
[[ホモトピー#ホモトピー同値|ホモトピー同値]]は[[擬同型]]であることが容易に示せるので、上の構成の第二段階は省略できる場合がある。標準的函手
:<math>K(\mathcal A) \rightarrow D(\mathcal A)</math>
の存在が明らかであるので、定義は通常この方法で与えられる。

具体的な状況において導来圏の射を直接に扱うことは非常に困難であるか不可能である。そこで導来圏に同値なより扱い易い圏を探すことになる。古典的には、[[射影分解]]と[[単射分解]]による2つの（双対な）アプローチがある。どちらの場合にも、上の標準函手を適当な部分圏へ制限することで[[圏同値]]となる。

以下では導来圏の文脈における単射分解の役割を述べる。これは右[[導来函手]]を定義する基礎となり、[[位相空間]]上の[[層コホモロジー]]や[[エタール・コホモロジー]]や[[群コホモロジー]]のような進んだコホモロジー論へ重要な応用を持つ。

このテクニックを応用するために、問題のアーベル圏が[[十分単射的対象を持つ]]ことを仮定する必要がある。十分単射的対象を持つとは、圏のすべての対象 X がある[[単射対象]] {{mvar|I}} への[[単射]]を持つという意味である。（写像も単射対象も一意である必要はない。）たとえば、{{仮リンク|グロタンディーク圏|label=グロタンディークアーベル圏|en|Grothendieck category}}は十分単射的対象を持つ。{{mvar|X}} を単射対象 {{math|''I''<sup>0</sup>}} へ埋め込み、この射の[[余核]]を単射対象 I<sup>1</sup> へ埋め込みと、繰り返すと X の'''単射分解'''、つまり（一般には無限の）[[完全系列]]
:<math>0 \rightarrow X \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots</math>
が構成できる。ここに、{{mvar|I*}} は単射対象である。このアイデアは一般化され、十分小さな {{mvar|n}} に対し {{math|1=''X<sup>n</sup>'' = 0}} となる下に有界な双対鎖複体 {{mvar|X}} の分解を与える。上で注意したように、単射分解は一意的に定まらないが、任意の2つの分解が互いにホモトピー同値であり、ホモトピー圏では同型であるという事実がある。さらに、双対鎖複体の射は2つの与えられた単射分解の射へ一意的に拡張される。

これがホモトピー圏が再び重要な役割を果たす点である。<math>\mathcal{A}</math> の対象 {{mvar|X}} から <math>\mathcal{A}</math> の（任意の）単射分解　{{mvar|I*}} への射は、[[函手]]
:<math>D^+(\mathcal A) \rightarrow K^+(\operatorname{Inj}(\mathcal A))</math>
へ拡張される。

この函手が実際にはじめに述べた標準的局所化函手の制限の逆であることは、容易に分かる。言い換えると、導来圏における {{math|Hom(''X'', ''Y'')}} は、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の両方を単射分解した後ホモトピー圏で射を計算することにより計算することができ、このほうが理論的にはより容易となる。実際には {{mvar|Y}} の分解だけで十分であり、任意の双対鎖複体 {{mvar|X}} と任意の下に有界な単射的双対鎖複体 {{mvar|Y}} に対し、
:<math>\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{K(\mathcal{A})}(X, Y)</math>
となる。

双対に、<math>\mathcal{A}</math> が[[十分射影対象を持つ]]こと、つまり、すべての対象 X に対し、[[射影対象]] P から X への[[全射]]が存在することを仮定すれば、単射分解の代わりに射影分解を使うこともできる。

この分解のテクニックに加えて、特別な場合に適用し、上に有界や下に有界の制限問題をエレガントに避ける同様な方法がある。{{harvtxt|Spaltenstein|1988}} では、いわゆる K-単射分解や K-射影分解を使っている。{{harvtxt|May|2006}} と（少し用語は異なっているが）{{harvtxt|Keller|1994}} ではいわゆる胞体加群や準自由加群という用語が導入された。

さらに一般的には、定義を注意深い適用すると、{{仮リンク|完全圏|en|exact category}}の導来圏を定義することもできる{{sfn|Keller|1996}}。

== 導来函手との関係 ==
導来圏は[[導来函手]]の研究と定義の自然なフレームワークである。以下では、<math>F \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}</math> をアーベル圏の函手とする。2つの双対な考えがある。
* 右導来函手は、左完全函手からきて、単射分解を通して計算される。
* 左導来函手は、右完全函手からきて、射影分解を通して計算される。

以下では右導来函手について述べるので、F を左完全とする。典型例は、ある固定した対象 A に対し、<math>X \mapsto \operatorname{Hom}(X, A)</math> あるいは、<math>X \mapsto \operatorname{Hom}(A, X)</math> により与えられる <math>F\colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{Ab}</math> や[[層 (数学)|層]]の上の[[層 (数学)#大域切断|大域切断函手]]や[[順像函手]]である。これらの右導来函手は、それぞれ、[[Ext函手]]（<math>\operatorname{Ext}^n(\ \ ,A)</math> )、[[層コホモロジー]]（<math>H^n(X, F)</math> ）、高次[[順像函手]] ({{math|''R{{sup|n}}f''{{sub|*}}(''F'')}}) である。

導来圏によって、すべての導来函手 R<sup>n</sup>F をひとつの函手へ要約することができる。いわゆる'''全導来函手''' <math>RF\colon D^+(\mathcal{A}) \rightarrow D^+(\mathcal{B})</math> である。この函手は合成 <math>D^+(\mathcal{A}) \cong K^+(\operatorname{Inj}(\mathcal{A})) \rightarrow K^+(\mathcal{B}) \rightarrow D^+(\mathcal{B})</math> である。ここに第一の[[圏同値]]は上で述べたものである。古典的な導来函手は、<math>R^nF(X) = H^n(RF(X))</math> を通して、全導来函手へ関連付いている。<math>R^nF</math> は双対鎖複体を忘れコホモロジーのみを保持している一方、<math>RF</math> は双対鎖複体を保持している、ということもできる。

導来圏はこれらの函手を研究するための、ある意味で、「適切な」圏である。たとえば、F が <math>\mathcal{A}</math> の[[単射対象]]を G-非輪状（つまり、すべての i > 0 と単射写像 I に対し、<math>R^iG(F(I))=0</math> となるような函手であり、2つの函手の合成
:<math>\mathcal A \ \ \stackrel{F}{\rightarrow} \ \ \mathcal B \ \ \stackrel{G}{\rightarrow} \ \ \mathcal C</math>
の{{仮リンク|グロタンディークスペクトル系列|en|Grothendieck spectral sequence}}は、全導来函手の恒等射を表わす
:<math>R(G\circ F) \cong RG\circ RF</math>
である。ヴェルディエはアーベル圏に付帯する導来関手がどのようにすれば <math>\mathcal{A}</math> の適切な導来圏への埋め込みに沿った[[カン拡張]]としてみることができるかを示した [Mac Lane]。

==脚注==
=== 注釈 ===
{{notelist}}

=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

== 参考文献 ==
* {{citation 
| last1=Keller 
| first1=Bernhard 
| title=Deriving DG categories 
| url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1994_4_27_1_63_0 
| mr=1258406 
| zbl=0799.18007
| year=1994 
| journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série 
| issn=0012-9593 
| volume=27 
| issue=1 
| pages=63–102
}}
*{{citation
| last=Keller
| first=Bernhard
| editor=Hazewinkel, M. 
| title=Handbook of algebra 
| volume=1
| url={{google books|LeGMfJwUK3cC|plainurl=yes}}
| year=1996
| publisher=North Holland 
| location=Amsterdam
| isbn=0-444-82212-7 
| mr=1421815
| zbl=0862.18001
| pages=671–701
| chapter=Derived categories and their uses
| chapterurl=http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/dcu.ps
}}
*{{citation 
| last=May 
| first=J. P. 
| url=http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/DerivedCats.pdf 
| title=Derived categories from a topological point of view 
| year=2006
}}, preprint
* {{citation 
| last1=Spaltenstein 
| first1=N. 
| title=Resolutions of unbounded complexes 
| url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1988__65_2_121_0 
| mr=932640 
| zbl=0636.18006
| year=1988 
| journal=Compositio Mathematica 
| issn=0010-437X 
| volume=65 
| issue=2 
| pages=121–154
}}
* {{citation 
| last1=Verdier 
| first1=Jean-Louis 
| title=Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes 
| publisher=[[Société Mathématique de France]] 
| language = French 
| location=Paris 
| journal=Astérisque 
| issn=0303-1179 
| volume=239 
| mr=1453167 
| zbl=0882.18010
| year=1996
}}

3つの教科書は導来圏について議論している。
* {{citation
| last1=Gelfand 
| first1=Sergei I. 
| last2=Manin 
| first2=Yuri Ivanovich 
| author2-link= Yuri Ivanovich Manin 
| title=Methods of Homological Algebra 
| edition=Second
| url={{google books|pv94ATbagxEC|plainurl=yes}}
| publisher=[[Springer-Verlag]] 
| location=Berlin, New York 
| isbn=978-3-540-43583-9 
| mr=1950475 
| zbl=1006.18001
| year=2003
}}
* {{citation 
| last1=Kashiwara 
| first1=Masaki 
| author1-link= 柏原正樹
| last2=Schapira 
| first2=Pierre 
| title=Categories and Sheaves
| url={{google books|K-SjOw_2gXwC|plainurl=yes}}
| publisher=[[Springer-Verlag]] 
| location=Berlin, New York 
| series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 
| isbn=978-3-540-27949-5 
| mr=2182076 
| zbl=1118.18001 
| year=2006
}}, 数学 [https://doi.org/10.11429/sugaku.0602217 sugaku.0602217]
* {{citation
| last1=Weibel
| first1=Charles A. 
| year=1994
| title=An introduction to homological algebra
| url={{google books|flm-dBXfZ_gC|An introduction to homological algebra|plainurl=yes}}
| publisher=[[Cambridge University Press]]
| series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
| volume=38
| isbn=0-521-43500-5
| mr=1269324
| zbl=0797.18001
}}

== 外部リンク ==
*{{SpringerEOM|id=D/d031280|title=Derived category|last=van Doorn|first=M. G. M.}}

{{DEFAULTSORT:とうらいけん}}
[[Category:ホモロジー代数]]
[[Category:圏 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]