多項式の根のソースを表示

[[数学]]における[[多項式]] {{math|''P''(''X'')}} の'''根'''（こん、{{lang-en-short|''root''}}）は、{{math|1=''P''(''α'') = 0}} を満たす値 {{mvar|α}} を言う。すなわち、根は未知数 {{mvar|x}} の多項式方程式 {{math|1=''P''(''x'') = 0}} の解であり、また対応する[[多項式函数]]の[[函数の零点|零点]]である。例えば、多項式 {{math|''X''{{exp|2}} &minus; ''X''}} の根は {{math|0}} および {{math|1}} となる。

ある[[可換体|体]]に[[係数]]を持つ非零多項式は、[[拡大体|「より大きい」体]]の中にしか根を持たないこともあるが、根の数はその[[多項式の次数]]より多くなることはない。例えば {{math|''X''{{exp|2}} &minus; 2}} は次数 {{math|2}} で[[有理数]]係数だが、有理根を持たず、二つの根を[[実数]]体 {{math|ℝ}} に（したがって [[複素数]]体 {{math|ℂ}} の中に）おいて持つ。[[代数学の基本定理|ダランベール&ndash;ガウスの定理]]は次数 {{mvar|n}} の任意の複素係数多項式が（必ずしも異ならない）{{mvar|n}} 個の根を持つことを述べるものである。

多項式の根の概念は、[[多変数多項式]]の零点の概念に一般化される{{sfn|Bourbaki|p= {{google books quote|id= Dc-TU2Iub6sC|pg=PA14|14}}}}。
 
== 定義 ==
以下、[[不定元]] {{mvar|X}} に関する多項式 {{math|''P''(''X'')}} は適当な体あるいはより一般に[[可換環]] {{mvar|A}} に係数を持つものとする（実際に現れる係数はしたがってその適当な[[部分環]]に属している）。

; 定義 (多項式の根){{sfn|Bourbaki|p= {{google books quote|id= Dc-TU2Iub6sC|pg=PA14|14}}}}<ref>{{Ouvrage|titre=L'aventure des nombres|éditeur=Odile Jacob|prénom=Gilles|nom=Godefroy|année=1997|url= {{google books |id= mMpT-gG4l7oC |pg= PA211|plainurl=1}}|page=211}}.</ref>: 多項式 {{mvar|P}} の {{mvar|A}} における根とは、{{mvar|A}} の元 {{mvar|α}} であって、不定元 {{mvar|X}} にその値 {{mvar|α}} を代入するとき、{{math|''P''(''α'')}} が {{mvar|A}} において零元となるものを言う。

したがって、多項式 {{math|''X''{{exp|2}} – 2}} は、有理数体 {{math|ℚ}} に（また {{math|ℝ}} または {{math|ℂ}} に）係数を持ち、有理数体 {{math|ℚ}} における根は持たないが {{math|ℝ}} に（したがって {{math|ℂ}} に）二つの根（つまり、[[2の平方根|{{math|{{sqrt|2}}}} と {{math|&minus;{{sqrt|2}}}}]]）を持つ。実際、この多項式の不定元 {{mvar|X}} に {{math|{{sqrt|2}}}} または {{math|–{{sqrt|2}}}} を代入すれば {{math|0}} になる。

;語源: 「根」という語は ''gizr'' の[[チェスターのロバート]]と[[クレモナのジェラルド]]によるラテン翻訳に由来する。用語 ''gizr'' は根を意味し、ラテン語に訳せば ''radix'' である。用語 ''gizr'' は8世紀ペルシアの数学者[[フワーリズミー|アル゠フワーリズミ]]により、はじめて二次方程式の実根の包括的な計算を扱った著作 ''{{ill2|約分と消約の計算の書|label=Kitâb al-jabr wa al-muqâbala|en|The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing}}'' で用いられた<ref>[http://irem.univ-poitiers.fr/irem/publicat/brochure/histoire_des_symboles/HIST_SYMB_p27-30.pdf La première inconnue] par l'[[IREM]] de Poitiers {{p.|27}}.</ref>。

; 別定義 (多項式の根){{sfn|Bourbaki|p= {{google books quote|id= Dc-TU2Iub6sC|pg=PA14|14}}}}
: 多項式 {{mvar|P}} の {{mvar|A}} における根とは、{{mvar|A}} の元 {{mvar|α}} であって、二項式 {{math|''X'' – ''α''}} が {{mvar|P}} を（{{math|''A''[''X'']}} において）{{ill2|整除性|label=割り切る|en|Divisibility (ring theory)}}ものを言う。

上と同じ例では等式 <math display="block">X^2 - 2 = (X - \sqrt 2)(X - (- \sqrt 2))</math> が実際 {{math|{{sqrt|2}}, –{{sqrt|2}}}} がこの意味での二根であることを示す式になっている。

この二種類の定義の同値性は[[因数定理]]によって正当化できるが、次の節の帰結としても出る。

=== 関連する定義 ===
{{main|重根 (多項式)|分解体}}
多項式 {{math|''X'' – ''α''}} が[[モニック多項式|モニック]] であるという単純な事実により—{{mvar|A}} が[[整域]]でなくとも—以下の概念が定義できる:
; 定義 (根の重複度, 重根){{sfn|Bourbaki|p= {{google books quote|id= Dc-TU2Iub6sC|pg=PA14|14}}}}
: 非零多項式 {{mvar|P}} と任意の {{math|''α'' ∈ ''A''}} に対し
:* {{math|''P''(''X'')}} を {{math|(''X'' – ''α''){{exp|''m''}}}} が割り切るような最大の整数 {{mvar|m}} を {{mvar|P}} に関する {{mvar|α}} の'''位数'''または'''重複度'''と呼ぶ。
:* この整数 {{mvar|m}} は {{math|1=''P''(''X'') = (''X'' – ''α''){{exp|''m''}}''Q''(''X'')}} かつ {{math|''Q''(''α'') ≠ 0}} なる多項式 {{mvar|Q}} の存在によって特徴付けられる。
:* {{math|1=''m'' = 1}} となるとき {{mvar|α}} を {{mvar|P}} の'''単根'''と言い、{{math|''m'' > 1}} のとき'''重根'''という。

多項式 {{math|''X''{{exp|2}} – 2}} は[[分離多項式]]（つまり重根を持たない）であり、以下に述べる意味で {{math|ℝ}} において分解する:

; 定義 (多項式の分解)
: 多項式 {{mvar|P}} が[[可換体|体]] {{mvar|L}} に係数を持つ一次式の積に表されるとき、多項式 {{mvar|P}} は {{mvar|L}} において分解すると言う。

このとき最高次係数もこれら一次式の最高次係数に因数分解できるから、したがって分解の定義を「{{math|''L''[''X'']}} において {{mvar|P}} が定数と一次のモニック多項式からなる積に表されるとき」と言っても同じことである。このような分解は一意である: これら一次モニック多項式の各定数項は {{mvar|P}} の {{mvar|L}} における根の[[反数]]に等しく、またその根の位数が {{mvar|m}} ならその一次因子は {{mvar|m}} 回繰り返し現れる。したがって、それら因子の数は {{mvar|P}} の次数に等しい。

== 根の存在 ==
; 命題 ([[中間値の定理]]の系): 奇数次の実係数多項式は少なくとも一つ実根を持つ
{{main|分解体|根体}}
以下、{{mvar|K}} は可換体、{{mvar|P}} は {{mvar|K}} に係数を持つ一不定元多項式とする。体 {{mvar|K}} の[[拡大体]]とは {{mvar|K}} を部分体として含む体をいう（例えば {{math|ℝ}} および {{math|ℂ}} は {{math|ℚ}} の拡大である）。

さて {{math|''L''{{ind|1}}}} および {{math|''L''{{ind|2}}}} が {{mvar|P}} を分解する {{mvar|K}} の二つの拡大であるとき、{{math|''L''{{ind|1}}}} の元としての {{mvar|P}} の根と {{math|''L''{{ind|2}}}} の元としての {{mvar|P}} の根は「同じ」ものなのかという問いが自然に生じてくる。これには以下のような同値性が存在する: {{mvar|P}} の根をすべて含む {{math|''L''{{ind|1}}}} の部分拡大（{{mvar|P}} の[[分解体|（最小）分解体]]と呼ばれる）および {{math|''L''{{ind|2}}}} の同様の部分拡大が存在して、これら二つの {{mvar|K}} の部分拡大は一致する。例として、{{math|1=''K'' = ℚ, ''P'' = ''X''{{exp|2}} – 2}} とすれば、{{mvar|P}} の分解体は {{math|''a'' + ''b''{{sqrt|2}}}} ({{mvar|a, b}} は有理数) なる形の数全体の成す集合である。この集合は（[[ガロワ群|一意でない]][[体の同型]]により）実数体 {{math|ℝ}} および[[代数的数]]体 {{math|{{overline|ℚ}}}} の一意な部分体として同一視できる。したがって、根の対 {{math|{{mset|{{sqrt|2}}, –{{sqrt|2}}}}}} を {{math|ℝ}} に埋め込んだものは {{math|{{overline|ℚ}}}} に埋め込んだものと同じものと考えることができる。

; 定理 (根の存在)
: {{mvar|P}} が {{mvar|L}} において分解する最小の {{mvar|K}} の拡大体 {{mvar|L}} は、[[同型を除いて]]一意に存在する。この拡大体 {{mvar|L}} を {{mvar|P}} に対する {{mvar|K}} 上の[[分解体]]と呼ぶ。

多項式 {{mvar|P}} を分解する体 {{mvar|L}} に対し、ほかの {{mvar|K}}-係数多項式が {{mvar|L}} において分解するとは限らないし、より強く {{mvar|L}}-係数多項式は {{mvar|L}} において分解するとは限らない。体 {{mvar|L}} が[[代数閉体|代数閉]]とは、任意の {{mvar|L}}-係数多項式が {{mvar|L}} において分解するときに言う。

; 定理 (代数閉包の存在)
: {{mvar|K}} の最小の代数閉拡大体 {{mvar|L}} は、同型を除き一意に存在する。この体 {{mvar|L}} を {{mvar|K}} の[[代数閉包]]と呼ぶ。

体 {{math|ℂ}} は代数閉である（これを[[代数学の基本定理|ダランベール&ndash;ガウスの定理]]という）。{{math|ℝ}} の代数閉包は {{math|ℂ}} であり、また {{math|ℚ}} の代数閉包は {{math|ℂ}} の部分体 {{math|{{overline|ℚ}}}} である。

== 根の重複度の微分による判定 ==
; 定理{{sfn|Bourbaki|p= {{google books quote|id= Dc-TU2Iub6sC|pg=PA16|16}}}}{{sfn|Szpirglas|loc=Proposition 10.25.}}
: {{mvar|A}} を可換環、{{mvar|P}} を {{mvar|A}}-係数多項式とし、{{mvar|α}} は {{mvar|P}} の{{nowrap|位数 {{mvar|m}}}} の根とする:
:* {{mvar|α}} は {{mvar|P}} の[[形式微分|導多項式]] {{mvar|P&prime;}} の位数が少なくとも {{math|''m'' – 1}} の根で、{{mvar|m}} が {{mvar|A}} において[[可逆元|消約可能]]ならば位数はちょうど {{math|''m'' &minus; 1}} になる。
:* {{mvar|α}} は {{math|''P'', ''P&prime;'', ''P&Prime;'', …, ''P''{{exp|(''m''–1)}}}} の根になる。
:* [[階乗]] {{math|''m''!}} が {{mvar|A}} で消約可能ならば {{mvar|α}} は {{math|''P''{{exp|(''m'')}}}} の根にはならない。

{{math proof|drop=yes|continue=
仮定により {{math|''P''(''X'')}} は適当な {{mvar|''m'' > 0}} と {{math|''Q''(''α'') ≠ 0}} なる多項式 {{mvar|Q}} を用いて {{math|(''X'' – ''α''){{exp|''m''}}''Q''(''X'')}} なる形に書ける。微分して、{{math|1=''P&prime;''(''X'') = (''X'' – ''α''){{exp|''m''–1}}''R''(''X'')}} ({{math|1=''R''(''X'') = ''mQ''(''X'') + (''X'' – ''α'')''Q&prime;''(''X'')}} かつ {{math|1=''R''(''α'') = ''mQ''(''α'')}} となり最初の主張は示された。あとの二つは[[数学的帰納法|帰納法]]で出る。

別な方法として、[[積の微分法則|ライプニッツの法則]]（これは{{ill2|導分|en|Derivation (differential algebra)|label=形式微分}}に対しても成立する）を用いても同じようにできる。
}}

特に:
* {{mvar|P}} の根が重根となるための必要十分条件は {{mvar|P&prime;}} の根にもなることである。
* {{mvar|A}} が{{nowrap|[[標数]] {{math|0}}}} の体ならば、{{mvar|α}} が {{mvar|P}} の {{mvar|m}}-位の根となるための必要十分条件は {{math|1=''P''(''α'') = ''P&prime;''(''α'') = ''P&Prime;''(''α'') = ⋯ = ''P''{{exp|(''r''–1)}}(''α'') = 0}} かつ {{math|''P''{{exp|(''r'')}}(''α'') ≠ 0}} となることである。
正標数 {{mvar|p}} の場合には、この最後の判定法は適用できない。実際、例えば {{mvar|''X{{exp|p}}''}} の導多項式は零多項式となる。

== 根と係数の関係 ==
{{main|根と係数の関係}}

== 根の計算 ==
多項式の根の計算に{{ill2|ミューラー法|fr|méthode de Muller}}が利用できる。多項式 {{mvar|P}} を[[ラグランジュ補間]]により二次多項式 <math display="inline">a_2 x^2 + b_2 x + c_2</math> で補間する。{{mvar|P}} の補間式の係数を、三点 {{math|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, ''x''{{sub|3}}}} で評価して求めれば:
* <math>a_2 = \frac{P[x_0, x_1] - P[x_1, x_2]}{x_0 - x_2} = P[x_0, x_1, x_2]</math>
* <math>b_2 = P[x_1, x_2] - a_2\times (x_1  + x_2) </math>
* <math>c_2 = P(x_2) - a_2\times x_2^2 - b_2\times x_2</math>
となる。ただし、<math display="inline">f[u, v] = \frac{f(u) - f(v)}{u - v}</math> は[[差商]]である。

しかし、この近似多項式を使うことは、この多項式の根の選択に問題を生じる。そこでミュラーは同じ多項式を、根に収束する {{mvar|x{{sub|n}}}} に対する <math display="inline">a_n (x - x_n)^2 + b_n (x - x_n) + c_n</math> の形で用いることを考えた。このアルゴリズムを詳しく書けば、{{mvar|x{{sub|n}}}} を複素数として、各係数は
* <math>a_n = P[x_{n-2}, x_{n-1}, x_n]</math>
* <math>b_n = P[x_{n-1}, x_n] - a_n\times (x_{n-1} - x_n)</math>
* <math>c_n = P(x_n)</math>
で与えられる。この方法は自己収束的、すなわち根の計算は徐々に精度を上げる。そこで {{math|1=''n'' = 2}}, {{math|1=''x''{{sub|0}} = -1, ''x''{{sub|1}} = 0, ''x''{{sub|2}} = 1}} を初期値とすると、考えてる多項式が {{mvar|x{{sub|n}}}} で消えていない限り、{{math|''n'' + 1}} 回目の反復で
* <math>r = \sqrt{b_n^2 - 4 a_n c_n}</math> または <math display="inline">b_n^2 - 4 a_n c_n</math> が負または複素数
** <math>d = \begin{cases}
  \frac{-2 c_n}{b_n - r} & (|b_n+r| < |b_n-r|)\\[5pt]
  \frac{-2 c_n}{b_n + r} & \text{otherwise}
\end{cases}</math>
* <math>x_{n+1} = x_n + d</math>
となる。最終的に {{mvar|x{{sub|n}}}} は零点に到達する。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Ouvrage|lien auteur=Nicolas Bourbaki|prénom=N.|nom=Bourbaki|lien titre=Éléments de mathématique|titre=Algèbre|numéro chapitre=IV|url= {{google books |id= Dc-TU2Iub6sC|plainurl=1}}|id=Bourbaki}},
* {{Ouvrage|prénom1=Aviva|nom1=Szpirglas|titre=Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés|référence simplifiée=Référence:Algèbre L3 (Szpirglas)|id=Szpirglas}}

== 関連項目  ==
{{div col|2}}
* {{ill2|多項式の根の性質|fr|Racine d'un polynôme réel ou complexe|en|Properties of polynomial roots}}
* {{ill2|未知数|fr|Inconnue (mathématiques)|redirect=1}}
* {{ill2|実係数多項式方程式の複素根|fr|Solutions complexes d'équations polynomiales à coefficients réels}}
* [[多項式方程式]]
** [[二次方程式]]
* [[多項式函数]]
* {{ill2|ミューラーの求根アルゴリズム|en|Muller's method}}
* [[ルーシェの定理]]
{{div col end}}

{{Portal|数学}}
== 外部リンク ==
* [http://www.gecif.net/articles/mathematiques/polynome.html Racines entières d'un polynôme à coefficients entiers] sur gecif.net
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Root_of_Polynomial|title=Definition:Root of Polynomial}}

{{polynomials}}

{{DEFAULTSORT:たこうしきのこん}}
[[Category:代数方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]