外測度のソースを表示

[[数学]]、とくに[[測度]]論における'''外測度'''（がいそくど, {{en|''outer measure, exterior measure''}}）は、与えられた集合の全ての部分集合に対して定義され、[[補完数直線]]に値をとる[[集合函数]]で、特定の技術的条件を満足するものを言う。この概念は[[コンスタンティン・カラテオドリ]]<ref>{{cite book|first=Constantin | last=Carathéodory| title=Vorlesungen über reelle Funktionen|edition=1|location=Berlin|publisher=Leipzig|year=1918}}</ref>によって加算加法的[[測度]]の理論の基礎を与えるため導入された{{sfn|Carathéodory|1968}}{{sfn|Aliprantis|Border|2006|pp=S379}}。その後のカラテオドリの研究による[[カラテオドリの拡張定理]]や、[[フェリックス・ハウスドルフ]]による距離空間の[[ハウスドルフ次元]]などに関する多くの応用が見つかった。

カラテオドリの外測度は任意の部分集合に対して値が定まるが、それらの中には望ましい性質を持つ「可測集合」とそうでない{{ill2|非可測集合|en|non-measurable set}}とが混じっていることに注意すべきである。外測度の構成の目的は、そうして可測集合のクラスだけを取り出せば、それが[[完全加法族]]でありかつその上に定義域を制限した外測度が[[完全加法的集合函数|完全加法性]]を満たし実際にひとつの[[測度]]を与えるという点にある。

== 定義 ==
集合 {{mvar|X}} 上の外測度 {{mvar|μ}} とは、{{mvar|X}} の[[冪集合]] {{math|2{{exp|''X''}}}} 上で定義された[[集合函数]] <math display="inline">\mu\colon 2^X \to [0, \infty]</math>（つまり、非負値であって正の無限大となることも許す）であって次の性質を満たすもののことである：
* 空集合は[[零集合]]: 空集合 {{math|&empty;}} に対し <math display="inline"> \mu(\emptyset) = 0.</math>
* [[単調写像|単調性]]: {{mvar|X}} の任意の部分集合 {{mvar|A, B}} に対し <math display="inline">A\subset B \implies \mu(A) \le \mu(B).</math>
* [[劣加法的集合函数|劣加法性]]: {{mvar|X}} の部分集合からなる任意の（とくにどの二つも互いに素であることを要しない）集合列 {{math|''E''{{sub|1}}, ''E''{{sub|2}}, …}} に対し <math display="block"> \mu\Big(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\Bigr) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).</math>

; 定義 (可測性): 外測度 {{mvar|μ}} に対し、{{mvar|X}} の部分集合 {{mvar|E}} が {{mvar|μ}}-可測あるいは {{mvar|μ}} に関してカラテオドリ可測であるとは、<math display="block"> \mu(A) = \mu(A \cap E) + \mu(A \cap \complement E) \quad (\forall A \subset X)</math> を満たすときに言う。 
; 定理: {{mvar|μ}}-可測集合の全体は[[完全加法族|{{mvar|σ}}-代数]]を成し、可測集合上に制限された {{mvar|μ}} は可算加法的[[完備測度]]となる{{sfn|Halmos|1978|loc=section 11}}。{{efn|この方法はカラテオドリの構成法と呼ばれ、[[測度論]]および[[積分法|積分論]]において重要な[[ルベーグ測度]]の概念を得るために用いられた。}}

; 定義 (計量外測度): 距離空間 {{math|(''X'', ''d'')}} と {{mvar|X}} 上の外測度 {{mvar|φ}} に対し、{{mvar|φ}} は任意の部分集合 {{mvar|E, F}} に対し条件 <math display="block">d(E,F) = \inf\{d(x,y): x \in E, y \in F\} > 0 \implies \varphi(E \cup F) = \varphi(E) + \varphi(F)</math> を満たすとき、{{ill2|計量外測度|en|metric outer measure}}（距離と両立する外測度）であるという。
; 定理: {{mvar|φ}} が {{mvar|X}} 上の計量外測度ならば、{{mvar|X}} の任意の[[ボレル代数|ボレル部分集合]]が {{mvar|φ}}-可測である。

== 外測度の構成 ==
集合上の外測度の構成法はいくつか存在する。古典的な文献 {{harvtxt|Munroe|1953}} では二通りの有用な方法が区別して記載されており、以下の I, II はそれに従った。

=== 構成法 I ===
集合 {{mvar|X}} を固定する。
; 定理: {{mvar|X}} の適当な部分集合からなる族 {{mvar|C}} は[[空集合]]を元として含むものとし、{{mvar|p}} は {{mvar|C}} 上の非負拡張実数値集合函数で、空集合における値は零とする。{{mvar|X}} の任意の部分集合 {{mvar|E}} に対し <math display="block"> \varphi(E) := \inf \bigg\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i) : E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}</math> （すなわち、{{mvar|E}} を被覆する {{mvar|C}} の元からなる任意の集合列 {{math|{{mset|''A{{sub|i}}''}}}} にわたる、総和 {{math|{{sum|''i''}} ''p''(''A{{sub|i}}'')}} の[[下限]]、ただしそのような列が取れないときには下限の値は無限大であると約束する）によって定義するとき、{{mvar|φ}} は {{mvar|X}} 上の外測度を与える。

=== 構成法 II ===
いま一つの構成法は距離空間上の外測度の構成により適しており、計量外測度が得られる。距離空間 {{math|(''X'', ''d'')}} において前節の如く {{mvar|X}} の部分集合族 {{mvar|C}} は空集合を含み、{{mvar|C}} 上の非負拡張実数値集合函数 {{mvar|p}} は空集合において消えているとす。任意の {{math|''δ'' > 0}} に対し、<math display="inline">C_\delta := \{A \in C : \operatorname{diam}(A) \leq \delta\}</math> および <math display="block"> \varphi_\delta(E) := \inf \bigg\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i) : E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C_\delta\biggr\}</math> と置けば、明らかに {{math|''δ'' ≤ ''δ&prime;''}} のとき {{math|''φ{{sub|δ}}'' ≥ ''φ{{sub|δ&prime;}}''}} が成り立つ（これは {{mvar|δ}} が小さくなれば、下限をとる集合の範囲も小さくなることによる）。したがって <math display="block"> \lim_{\delta\to 0} \varphi_\delta(E) =: \varphi_0(E) \in [0, \infty]</math> が存在する（ただし、値が無限大となる場合を許すという意味で言う）。
; 定理: このように得られる {{math|''φ''{{sub|0}}}} は {{mvar|X}} 上の計量外測度である。

この構成法は距離空間に対する{{ill2|ハウスドルフ測度|en|Hausdorff measure}}の構成に用いられる。

== 関連項目 ==
* [[内測度]]
* [[ルベーグ外測度]]

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|ref=harv|first1=C.D.|last1=Aliprantis|first2=K.C.|last2=Border|title=Infinite Dimensional Analysis|edition=3rd|publisher=[[Springer Verlag]]|location=Berlin, Heidelberg, New York|year=2006|isbn=3-540-29586-0}}
* {{cite book|ref=harv|authorlink=Constantin Carathéodory|first=C.|last=Carathéodory|title=Vorlesungen über reelle Funktionen|edition=3rd|orig-year=1918|year=1968|language=German|publisher=[[Chelsea Publishing]]|isbn=978-0828400381}}
* {{cite book|ref=harv|authorlink=Paul Halmos|first=P.|last=Halmos|title=Measure theory|publisher=Springer Verlag|location=Berlin, Heidelberg, New York|series=Graduate Texts in Mathematics|year=1978|isbn=978-0387900889|edition=2nd|orig-year=1950}}
* {{cite book|ref=harv|first=M. E.|last=Munroe|title=Introduction to Measure and Integration|publisher=[[Addison Wesley]]|year=1953|isbn=978-1124042978|asin=B004VIH64U|edition=1st}}

== 関連文献 ==
* {{cite book|ref=harv|title=Geometric Measure Theory|series=Classics in Mathematics|edition=1st ed reprint|location=Berlin, Heidelberg, New York|orig-year=1969|year=1996|isbn=978-3540606567|publisher=[[Springer Verlag]]|last=Federer|first=H.|authorlink=Herbert Federer}}
* {{cite book|ref=harv|first1=A. N.|last1=Kolmogorov|authorlink1=Andrey Kolmogorov|first2=S. V.|last2=Fomin|authorlink2=Sergei Fomin|title=Introductory Real Analysis|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|year=1970|isbn=0-486-61226-0|others=Richard A. Silverman transl.}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|urlname=Outer_measure|title= Outer measure|author= Skvortsov, V.A.}}
* {{SpringerEOM|urlname=Caratheodory_measure|title= Caratheodory measure}}
* {{MathWorld|urlname=OuterMeasure|title=Outer Measure|author=Stover, Christopher.}}
* {{PlanetMath|urlname=OuterMeasure|title=outer measure}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Outer_Measure|title=Definition:Outer Measure}}

{{DEFAULTSORT:かいそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]