外微分のソースを表示

{{参照方法|date=2017年10月}}
{{Calculus |Multivariable}}
[[可微分多様体]]上、'''外微分'''（がいびぶん、{{lang-en-short|exterior derivative}}）は[[関数の微分]]の概念を高次の[[微分形式]]に拡張する。外微分は[[エリ・カルタン]]によって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析の[[ケルビン・ストークスの定理|ストークスの定理]]、[[ガウスの定理]]、[[グリーンの定理]]の自然な、距離に依存しない一般化ができる。

{{mvar|k}} 形式を無限小 {{mvar|k}} 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を {{math|(''k'' + 1)}}-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。

== 定義 ==
{{mvar|k}} 次[[微分形式]]の外微分は {{math|''k'' + 1}} 次微分形式である。

{{mvar|f}} が滑らかな関数（{{math|0}} 形式）であれば、{{mvar|f}} の外微分 {{math|d''f''}} は {{mvar|f}} の[[函数の全微分|全微分]] {{mvar|df}} である。つまり、{{mvar|df}} は
: 任意の滑らかな[[ベクトル場]] {{mvar|X}} に対して、{{math|1=''df''(''X'') = ''d{{sub|X}}f''}}（ただし {{mvar|d{{sub|X}}f}} は {{mvar|X}} 方向への {{mvar|f}} の[[方向微分]]）。
を満たす一意的な [[1 形式]]である。

一般の {{mvar|k}} 形式の外微分には様々な同値な定義が存在する。

=== 公理による定義 ===
外微分 {{math|d}} は以下の性質を満たす {{mvar|k}}-形式から {{math|(''k'' + 1)}}-形式への一意的な {{math|'''R'''}}-線型写像として定義される：

# 滑らかな関数 {{mvar|f}} に対して {{math|d(''f'') {{coloneqq}} ''df''}} は [[函数の全微分|{{mvar|f}} の微分]]である。
# 任意の滑らかな関数 {{mvar|f}} に対して {{math|1=d(''df'') = 0}} である。
# {{math|1=d(''α'' ∧ ''β'') = ''dα'' ∧ ''β'' + (−1){{sup|''p''}}(''α'' ∧ ''dβ'')}} である、ただし {{mvar|α}} は {{mvar|p}}-形式とする。つまり、{{math|d}} は微分形式のなす[[外積代数]]上次数 {{math|1}} の[[次数付き微分環|反微分]]である。

二番目の定義性質はより一般性を持って成り立つ： 実は、任意の {{mvar|k}}-形式 {{mvar|α}} に対して {{math|1=d(''dα'') = 0}}（より簡潔には、{{math|1=d{{sup|2}} = 0}}）である。三番目の定義性質は特別な場合として {{mvar|f}} が関数で {{mvar|α}} が {{mvar|k}}-形式であれば {{math|1=d(''fα'') = d(''f'' ∧ ''α'') = ''df'' ∧ ''α'' + ''f'' ∧ ''dα''}} であるということを含んでいる。なぜならば、関数は {{math|0}} 形式であり、スカラー乗法と外積は引数の一方がスカラーであるとき同値であるからである。

=== 局所座標系による定義 ===
代わりに、完全に[[局所座標系]] {{math|(''x''{{sup|1}}, …, ''x{{sup|n}}'')}} の言葉で定義することもできる。まず、座標（微分）形式 {{math|''dx''{{sup|1}}, …, ''dx{{sup|n}}''}} は[[座標チャート]]の範囲内で 1-形式の基底をなす。{{math|1 ≤ ''p'' ≤ ''k''}} なる各 {{mvar|p}} に対して {{math|1 ≤ ''i<sub>p</sub>'' ≤ ''n''}} とし、[[多重指数|多重添字]] {{math|1=''I'' = (''i''{{sub|1}}, …, ''i{{sub|k}}'')}} （および[[記号の濫用|表記の濫用]]で {{math|''dx''{{sup|''i''{{sub|1}}}} ∧ ⋯ ∧ ''dx{{sup|i{{sub|k}}}}''}} を {{mvar|dx{{sup|I}}}} と書く）が与えられたとき、{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} 上の'''単純''' {{math|''k''}}-形式 {{math|1=''φ'' = ''f''&thinsp;''dx{{sup|I}}''}} の外微分は
: <math> d\varphi := \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i \wedge dx^I</math>
で与えられる。一般の {{math|''k''}}-形式は {{mvar|I}} が {{math|{{mset|1, …, ''n''}}}} の {{mvar|k}}-元部分集合全てを渡る単純 {{mvar|k}}-形式の和

:<math>\omega = \sum_I f_I \mathit{dx}^I</math> 

に書かれるから、その外微分の定義は単純形式の場合を[[線型]]に拡張することによって与えられる。{{mvar|i}} が多重添え字 {{mvar|I}} の成分の 1 つであるときにはいつでも {{math|1=''dx{{sup|i}}'' ∧ ''dx{{sup|I}}'' = 0}} であることに注意しよう（[[ウェッジ積]]を参照）。

この局所座標系による定義は前節の公理による定義から従う。実際、単純形式 {{math|1=''φ'' {{coloneqq}} ''f&thinsp;dx{{sup|I}}''}} に対し、前節で述べた性質を適用すれば {{math|1=d(''f''&thinsp;''dx{{sup|I}}'') = ''df'' ∧ ''dx{{sup|I}}'' + ''f''&thinsp;d(''dx{{sup|I}}'')}} で{{math|1=第二項 = 0}} だから {{math|1=''dφ'' = ''df'' ∧ ''dx{{sup|I}}'' = {{sum|b=''i''=1|p=''n''}}{{sfrac|&part;''f''|&part;''x{{sup|i}}''}}''dx{{sup|i}}'' ∧ ''dx{{sup|I}}''}} を得る。

結果を一般の場合に直截に書けば、{{mvar|k}}-形式 {{mvar|ω}} の外微分は
:<math>d\omega := \sum_I\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}{\partial x^i} \mathit{dx}^i \wedge \mathit{dx}^I</math>

と定義される。

=== 不変公式による定義 ===
代わりに、明示的な式を {{mvar|k}}-形式 {{mvar|ω}} の外微分に対して、{{math|''k'' + 1}} 個の任意の滑らかな[[ベクトル場]] {{math|''V''<sub>0</sub>, ''V''<sub>1</sub>, ..., ''V<sub>k</sub>''}} とペアにされたとき、与えることができる<ref>{{PlanetMath|urlname=coboundarydefinitionofexteriorderivative|title=coboundary definition of exterior derivative}}</ref>：

:<math>d\omega(V_0,...,V_k) = \sum_i(-1)^{i} V_i ( \omega(V_0, \ldots, \overset{\wedge}{V_i}, \ldots,V_k)) +\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i, V_j], V_0, \ldots, \overset{\wedge}{V_i}, \ldots, \overset{\wedge}{V_j}, \ldots, V_k),</math>

ただし {{math|[''V<sub>i</sub>'', ''V<sub>j</sub>'']}} は{{仮リンク|ベクトル場のリー括弧|label=括弧積|en|Lie bracket of vector fields}}を表し、ハットはその元を取り除くことを表す：

:<math>\omega(V_0, \ldots, \overset{\wedge}{V_i}, \ldots,V_k) := \omega(V_0, \ldots, V_{i-1}, V_{i+1}, \ldots, V_k).</math>

特に、{{math|1}} 形式に対して次が成り立つ： {{math|1=''dω''(''X'', ''Y'') = ''Xω''(''Y'') − ''Yω''(''X'') − ''ω''([''X'', ''Y''])}}, ただし {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} はベクトル場である。

== 多様体上のストークスの定理 ==
{{mvar|M}} が[[境界を持つ多様体|境界をもつ]]コンパクトで滑らかで向き付け可能な {{mvar|n}} 次元多様体で、{{mvar|ω}} は {{mvar|M}} 上の {{math|(''n'' − 1)}} 形式とするとき、一般の[[ストークスの定理]]は

: <math>\int_M d\omega = \int_{\partial{M}} \omega</math>

なることを述べる。直感的には、{{mvar|M}} が無限小領域に分割されたと考え、すべての領域の境界に渡って流れ (flux) を加えたとき、内部の境界はすべて打ち消し合い、{{mvar|M}} の境界を通る全体の流れが残る。

== 例 ==
;例 1. :{{math|1}}-形式の基底 {{math|''dx''{{sup|1}}, …, ''dx{{sup|n}}''}} 上 {{math|1=''σ'' = ''u''&thinsp;''dx''{{sup|1}} ∧ ''dx''{{sup|2}}}} を考えよう。その外微分は：
::<math>\begin{align} d\sigma
 &= \mathrm{d}(u) \wedge dx^1 \wedge dx^2 \\
 &= \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x^i} dx^i\right)\wedge dx^1\wedge dx^2 \\
 &= \sum_{i=3}^n \frac{\partial u}{\partial x^i} dx^i \wedge dx^1 \wedge dx^2.
\end{align}</math>
:最後の式は[[ウェッジ積]]の性質から容易に従う。すなわち、{{math|1=''dx{{sup|i}}'' ∧ ''dx{{sup|i}}'' = 0}}.
;例 2.: {{math|1=''σ'' = ''u''&thinsp;''dx'' + ''v''&thinsp;''dy''}} を {{math|'''R'''{{sup|2}}}} 上の {{math|1}}-形式とする。各項に上記の公式を適用することによって（{{math|1=''x''{{sup|1}} = ''x''}} および {{math|1=''x''{{sup|2}} = ''y''}} と考える）次が成り立つ。
::<math>\begin{align} d\sigma 
 &= \sum_{i=1}^2 \frac{\partial u}{\partial x^i}dx^i \wedge dx
   +\sum_{i=1}^2 \frac{\partial v}{\partial x^i}dx^i \wedge dy \\
 &= \frac{\partial u}{\partial x}dx\wedge dx +\frac{\partial u}{\partial y}dy\wedge dx +
    \frac{\partial v}{\partial x}dx\wedge dy +\frac{\partial v}{\partial y}dy\wedge dy \\
 &= 0 -\frac{\partial u}{\partial y}dx\wedge dy + \frac{\partial v}{\partial x}dx\wedge dy +0 \\
 &= \left(\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}\right)dx\wedge dy.
\end{align}</math>

== さらなる性質 ==
===閉形式と完全形式===
{{main|{{ill2|閉微分形式と完全微分形式|en|Closed and exact differential forms}}}}
{{mvar|k}}-形式 {{mvar|ω}} は {{math|1=''dω'' = 0}} であるときに'''[[閉微分形式|閉]]''' (closed) であるという（すなわち閉形式は {{math|d}} の[[核 (代数学)|核]]の元のことである）。{{mvar|ω}} はある {{math|(''k'' − 1)}}-形式 {{mvar|α}} に対して {{math|1=''ω'' = ''dα''}} であるときに'''[[完全微分形式|完全]]''' (exact) であるという（すなわち完全形式は {{math|d}} の[[像 (数学)|像]]に属する）。{{math|1=d<sup>2</sup> = 0}} ゆえ、任意の完全形式は閉である。[[ポワンカレの補題]]は、[[可縮]]領域において逆が正しいと述べている。

=== ド・ラームコホロジー ===
外微分 {{math|d}} は {{math|1=d<sup>2</sup> = 0}} という性質をもつので、それを多様体上の[[ド・ラームコホモロジー]]を定義する[[鎖複体|微分]]（双対境界写像）として使うことができる。{{mvar|k}}-次ド・ラームコホモロジー（群）は完全 {{mvar|k}} 形式を法とした閉 {{mvar|k}}-形式のなすベクトル空間である。直前の節で述べたように、ポワンカレの補題はこれらのベクトル空間が {{math|''k'' > 0}} に対して可縮領域に対して自明であることを述べている。[[滑らかな多様体]]に対して、形式の共通部分はド・ラームコホモロジーから {{math|'''R'''}} 上の特異コホモロジーへの自然な準同型を与える。ド・ラームの定理はこの写像が実は同型であることを示しており、ポワンカレの補題の遠大な一般化である。一般化されたストークスの定理によって示唆されているように、外微分は特異単体上の[[鎖複体#定義|境界写像]]の「双対」である。

=== 自然性 ===
外微分はテクニカルな意味で自然である： {{math|''f'': ''M'' → ''N''}} が滑らかな写像で {{math|Ω{{sup|''k''}}}} が各多様体に多様体上の {{mvar|k}}-形式の空間を割り当てる滑らかな反変[[関手]]であれば、次の図式は交換する

[[Image:Exteriorderivnatural.png|center]]

よって {{math|1=d(''f''*''ω'') = ''f''*''dω''}} である、ただし {{math|''f''*}} は {{mvar|f}} の{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|pullback (differential geometry)}}を表す。このことは、{{math|''f''{{sub|∗}}}} を {{mvar|f}} の[[押し出し (微分幾何学)|押し出し]]（微分）として、{{math|''f''*''ω''(&bull;)}} が定義により {{math|''ω''(''f''{{sub|∗}}(&bull;))}} に等しいことから従う。ゆえに {{math|d}} は {{math|Ω{{sup|''k''}}}} から {{math|Ω{{sup|''k''+1}}}} への[[自然変換]]である。

== ベクトル解析における外微分 ==
たいていの[[ベクトル解析]]の演算子は外微分の概念の特別な場合であるか、あるいは、近い関係である。

=== 勾配 ===
[[滑らかな関数]] {{math|''f'': '''R'''{{sup|''n''}} → '''R'''}} は {{math|0}}-形式である。この {{math|0}}-形式の外微分は {{math|1}}-形式

: <math>df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i = \langle \nabla f,\bullet \rangle</math>
 
である。つまり、形式 {{mvar|df}} は任意のベクトル場 {{mvar|V}} に作用して、各点において {{math|''V''}} と {{mvar|f}} の勾配 {{math|∇''f''}} との[[点乗積|内積]]を返す。

{{math|1}}-形式 {{mvar|df}} は[[余接束]]の断面であり、各点の余接空間において {{mvar|f}} の局所的な線型近似を与える。

=== 発散 ===
{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上のベクトル場 {{math|1=''V'' = (''v''{{sub|1}}, ''v''{{sub|2}}, …, ''v{{sub|n}}'')}} は対応する {{math|(''n'' − 1)}}-形式

: <math>\begin{align} \omega_V 
  &= v_1(dx^2 \wedge dx^3 \wedge\cdots\wedge dx^n) 
    -v_2(dx^1 \wedge dx^3 \wedge\cdots\wedge dx^n) +\cdots
    +(-1)^{n-1}v_n(dx^1 \wedge\cdots\wedge dx^{n-1})\\
  &= \sum_{p=1}^n (-1)^{(p-1)}v_p(dx^1 \wedge\cdots\wedge dx^{p-1}
     \wedge \overset{\wedge}{dx^{p}} \wedge dx^{p+1} \wedge\cdots\wedge dx^n)
\end{align}</math>

をもつ、ただし <math>\overset{\wedge}{dx^{p}}</math> はその元を除くことを意味する。

（例えば、{{math|1=''n'' = 3}} つまり三次元空間のとき、{{math|2}}-形式 {{mvar|ω{{sub|V}}}} は局所的に {{mvar|V}} との[[スカラー三重積]]である。）{{math|''ω<sub>V</sub>''}} のある超曲面上の積分は {{mvar|V}} のその超曲面上の{{仮リンク|流束|en|flux|preserve=1}}である。

この {{math|(''n'' − 1)}}-形式の外微分は {{mvar|n}}-形式

:<math>d\omega _V = \operatorname{div}(V)(dx^1 \wedge dx^2 \wedge\cdots\wedge dx^n)</math>

である。

=== 回転 ===
{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上のベクトル場 {{mvar|V}} もまた対応する {{math|1}}-形式

:<math>\eta_V = v_1\,dx^1 + v_2\,dx^2 + \cdots + v_n\,dx^n</math>

をもつ。局所的には、{{mvar|η{{sub|V}}}} は {{mvar|V}} とのドット積である。ある道に沿った {{mvar|η{{sub|V}}}} の積分はその道に沿って {{math|−''V''}} に逆らってされた[[仕事 (物理学)|仕事]]である。

{{math|1=''n'' = 3}} のとき、三次元空間において、{{math|1}}-形式 {{mvar|η{{sub|V}}}} の外微分は {{math|2}}-形式

:<math>d\eta_V = \omega_{\operatorname{curl}(V)}</math>

である。

=== grad, curl, div, およびラプラシアンの不変公式 ===
任意のリーマン多様体上、標準的な[[ベクトル解析]]の演算子は座標によらない (coordinate-free) 表記で次のように書くことができる：

:<math>\begin{alignat}{3}
 \operatorname{grad}(f) &{}= \nabla f        &&{}= (df)^\sharp \\
 \operatorname{div}(F)  &{}= \nabla \cdot F  &&{}= \operatorname{\star}\operatorname{d}\operatorname{\star}(F^\flat) \\
 \operatorname{curl}(F) &{}= \nabla \times F &&{}= [\operatorname{\star}(dF^\flat)]^\sharp, \\
 \Delta f               &{}= \nabla^2 f      &&{}= \operatorname{\star}\operatorname{d}\operatorname{\star}df
\end{alignat}
</math>

ここで <math>\star</math> は[[ホッジ双対|ホッジのスター演算子]]であり、 <math>\flat</math> および <math>\sharp</math> は{{仮リンク|音楽同型|en|musical isomorphism}}、<math>f</math> は[[スカラー場]]、<math>F</math> は[[ベクトル場]]である。

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|共変外微分|en|Exterior covariant derivative}}
*[[ド・ラーム複体]]
*{{仮リンク|離散外積代数|en|Discrete exterior calculus}}
*[[グリーンの定理]]
*[[リー微分]]
*{{仮リンク|ストークスの定理|en|Stokes' theorem|preserve=1}}
*{{仮リンク|フラクタル微分|en|Fractal derivative}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite book |author=Flanders, Harley |title=Differential forms with applications to the physical sciences |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1989 |pages=20 |isbn=0-486-66169-5 |oclc= |doi=}}
* {{cite book |author=Ramanan, S. |title=Global calculus |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, Rhode Island |year=2005 |pages=54 |isbn=0-8218-3702-8 |oclc= |doi=}}
* {{cite book |author=Conlon, Lawrence |title=Differentiable manifolds |publisher=Birkhäuser |location=Basel, Switzerland |year=2001 |pages= 239 |isbn=0-8176-4134-3 |oclc= |doi=}}
* {{cite book |author=Darling, R. W. R. |title=Differential forms and connections |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=1994 |pages=35 |isbn=0-521-46800-0 |oclc= |doi=}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=ExteriorDerivative|title=Exterior Derivative|author=Rowland, Todd.}}
* {{nlab|urlname=exterior+derivative|title=de Rham differential}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Exterior_Derivative|title=Definition:Exterior Derivative}}

{{Tensors}}

{{DEFAULTSORT:かいひふん}}
[[Category:微分形式]]
[[Category:微分作用素]]
[[Category:微分の一般化]]
[[Category:数学に関する記事]]