四元数のソースを表示

{{More footnotes|date=October 2009}}
{| class="wikitable" style="text-align: center; margin: 1ex 1em; float: right;"
|+ 四元数の単位の乗積表
|-
! × !! 1 !!i !!j !!k
|-
!1 
| 1 || ''i'' || ''j'' ||''k''
|-
!''i''
|''i'' || −1 ||''k'' || −''j''
|-
!''j''
|''j'' || −''k'' || −1 ||''i''
|-
!''k''
|''k'' ||''j'' || −''i'' || −1
|}

[[数学]]における'''四元数'''（しげんすう、{{lang-en-short|''[[倍数接頭辞|quater]]<nowiki />nion''}}（クォターニオン））は[[複素数]]を拡張した[[数|数体系]]である。四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]によってなされ<ref>{{cite conference | title=On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra (letter to John T. Graves, dated October 17, 1843) | year=1843}}</ref><ref>{{cite book | url=https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&lpg=PA385&ots=Zx5CHBJ9Lk&dq=%22On%20Quaternions;%20or%20on%20a%20new%20System%20of%20Imaginaries%20in%20Algebra%22&pg=PA385#v=onepage&q=%22On%20Quaternions%3B%20or%20on%20a%20new%20System%20of%20Imaginaries%20in%20Algebra%22&f=true | title=The history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space | year=1988 | publisher=Springer | author=Boris Abramovich Rozenfelʹd | page=385}}</ref>、[[三次元空間]]の[[力学]]に応用された。四元数の特徴は、二つの四元数の積が[[非可換]]となることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/?id=TCwPAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=quaternion+quotient+lines+tridimensional+space+time#PPA60,M1|title=Hamilton| page= 60 | year=1853 | publisher=Hodges and Smith}}</ref>。これは二つのベクトルの商と言っても同じである<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/?id=YNE2AAAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=quotient+two+vectors+called+quaternion#PPA32,M1|title=Hardy 1881 pg. 32 | year=1881 | publisher=Ginn, Heath, & co.}}</ref>。四元数を[[スカラー (数学)|スカラー]]と三次元の[[ベクトル]]との和として表すこともできる。

一般に、四元数は
:''a'' + ''b'''i''''' + ''c'''j''''' + ''d'''k'''''
の形に表される。ここで、 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' は実数であり、'''''i''''', '''''j''''', '''''k''''' は基本的な「四元数の単位」である。

四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に[[3Dコンピュータグラフィックス|3Dグラフィクス]]や[[コンピュータビジョン]]において{{仮リンク|四元数と空間における回転|en|quaternions and spatial rotation|label=三次元での回転の計算}}でも用いられる。これは[[オイラー角]]や[[回転行列]]あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。

現代数学的な言い方をすれば、四元数の全体は[[実数]][[可換体|体]]上[[ハメル次元|四次元]]の[[結合法則|結合的]][[ノルム多元体]]を成し、またそれゆえに[[域 (数学)|非可換整域]]となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された[[非可換多元体]]である<ref>{{cite journal|url=http://www.journaloftheoretics.com/articles/3-6/qm-pub.pdf |journal=Journal of Theoretics}}</ref>。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで '''H'''（あるいは[[黒板太文字]]で[[ユニコード]]の Double-Struck Capital H, U+210D, {{Unicode|&#x210d;}}）と書かれる。またこの代数を、[[クリフォード代数]]の分類に従って {{math|''C''ℓ<sub>0,2</sub>('''R''') ≅ ''C''ℓ<sup>0</sup><sub>3,0</sub>('''R''')}} というクリフォード代数として定義することもできる。この代数 {{math|'''H'''}} は解析学において特別な位置を占めている。というのも、[[フロベニウスの定理 (代数学)|フロベニウスの定理]]に従えば {{math|'''H'''}} は実数の全体 {{math|'''R'''}} を真の[[部分環]]として含む有限次元[[可除環]]の二種類しかないうちの一つ（もう一つは[[複素数]]の全体 {{math|'''C'''}}）だからである。

従って、単位四元数は[[三次元球面]] {{math|''S''<sup>3</sup>}} 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 {{math|[[Spin(3)]]}} を与える。これは {{math|[[SU(2)]]}} に同型、あるいはまた {{仮リンク|三次回転群|en|Rotation group SO(3)|label={{math|SO(3)}}}} の[[普遍被覆]]に同型である。
[[Image:Quaternion2.png|thumb|300px|right|四元数数の単位の積を四次元空間の 90°-回転として視覚的に表現したもの。ij&nbsp;=&nbsp;k, ji&nbsp;=&nbsp;&minus;k, ij&nbsp;=&nbsp;&minus;ji]]

== 歴史 ==
<!-- {{main|{{仮リンク|四元数の歴史|en|History of quaternions}}}} -->
[[Image:William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg|right|thumb|[[ダブリン]]の[[ブルーム橋]]にある四元数を記念する盾。碑文には{{quote|Here as he walked by<br>on the 16th of October 1843<br>William Rowan Hamilton<br>in a flash of genius discovered<br>the fundamental formula for<br>quaternion multiplication<br> {{math|1=''i''<sup>2</sup> = ''j''<sup>2</sup> = ''k''<sup>2</sup> = ''ijk'' = −1}}<br>& cut it on a stone of this bridge（1843年の10月16日、ここを通りかかったウィリアム・ローワン・ハミルトンは、天才の閃きを以って四元数の乗法の基本公式（略）を思いつき、この橋の石にそれを刻んだ）}}とある。]]

四元数の成す代数系は1843年にハミルトンによって導入された<ref name="SeeHazewinkel">{{harvtxt|Hazewinkel|et. al.|2004| p=12}}</ref>。これには[[オイラーの四平方恒等式]] (1748年) や {{仮リンク|オリンデ・ロドリゲス|en|Olinde Rodrigues}}の{{仮リンク|オイラー・ロドリゲスパラメータ|label=四つの径数を用いた一般の回転のパラメータ付け|en|Euler–Rodrigues formula}} (1840年) などを含む重要な先駆的研究があったが、何れもその四径数回転を代数として扱ったものではなかった<ref>{{cite book|first1=John Horton|last1= Conway|first2=Derek Alan|last2= Smith|title=On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry|year=2003| isbn =1-56881-134-9|url= https://books.google.com/books?id=E_HCwwxMbfMC&pg=PA9| page= 9}}</ref><ref>{{cite book|author=Robert E. Bradley, Charles Edward Sandifer|title=Leonhard Euler: life, work and legacy|year=2007| isbn= 0-444-52728-1|url=https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA193| page= 193}}. 著者らは[[ヴィイルヘルム・ブラシュケ]]が1959年に唱えた「四元数を初めて同定したのはオイラーで、それは1748年の5月4日のゴールドバッハへ向けた書簡においてである」("the quaternions were first identified by L. Euler in a letter to Goldbach written on May 4, 1748,") という主張に言及し「この書簡においてオイラーが四元数を『同定した』というのは如何にもナンセンスで… この主張は馬鹿げている」("it makes no sense whatsoever to say that Euler "identified" the quaternions in this letter... this claim is absurd.") と評している。</ref>。[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]もまた1819年に四元数を発見していたのだが、そのことが公表されるのは1900年になってからのことである<ref>{{Cite journal| author=Simon L. Altmann|journal=Mathematics Magazine|volume=62| title=Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal|issue=5 |date=December 1989|page= 306|url=https://www.jstor.org/stable/2689481}}</ref>。

ハミルトンは[[複素数]]が[[平面|座標平面]]における[[点 (幾何学)|点]]として解釈できることを知っていて、三次元空間の点に対して同じことができる方法を探していた。空間の点はそれらの座標としての数の三つ組によって表すことができ、ハミルトンはそれらの三つ組に対して加法や減法をどのようにすべきかはずっと前からわかっていたのだが、乗法と除法をどう定めるかという問題については長く行き詰ったままであった。ハミルトンは、空間における二点の座標の商をどのように計算すべきかを形にすることができなかったのである。

四元数についての大きな転換点がついに訪れたのは、1843年10月16日の月曜日、[[ダブリン]]においてハミルトンが理事会の長を務めることになる{{仮リンク|アイルランド王立アカデミー|en|Royal Irish Academy}}への道すがら、妻とともに{{仮リンク|ロイヤル運河|en|Royal Canal}}の引き船道に沿って歩いているときであった。四元数の背景となる概念が頭の中で形になり、答えが明らかになったとき、ハミルトンは衝動を抑えられずに、四元数の基本公式
:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math>
を、渡っていた{{仮リンク|ブルーム橋|en|Broom Bridge}}の石に刻みつけた。

次の日ハミルトンは、友人でフェロー数学者であったジョン・グレイヴスへ宛てて、彼の発見へと至る一連の道筋をしたためた書簡を記している。この書簡は後に ''London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science'', vol. xxv (1844), pp 489–95.<ref>{{Harvtxt|Hamilton|1844|pp=489–495}}</ref> で公表されている。この中でハミルトンは、

{| class="wikitable" 
! style="width:50%" | 原文
! style="width:50%" | 邦訳
|-
| ''And here there dawned on me the notion that we must admit, in some sense, a fourth dimension of space for the purpose of calculating with triples ... An electric circuit seemed to close, and a spark flashed forth.''
| そしてここで、三つ組を計算するという目的のために、空間の四番目の次元を我々はある意味で認めねばならないのだという考えが、私に光をもたらしたのだ… [[電気回路]]が閉じて（つながり）、目の前に火花が散ったかのようだった。
|}
と述べている。ハミルトンは、これらの乗法規則を備えた四つ組を ''quaternion'' と呼び、残りの人生の大半をその研究と教育にささげた。{{仮リンク|古典的なハミルトンの四元数|en|Classical Hamiltonian quaternions|label=ハミルトンによる取り扱い}}は、四元数の代数的性質を強調する現代的なアプローチよりも[[幾何学]]的なものである。ハミルトンは "quaternionists" の学校を設立し、数々の本で四元数の普及を図った。最後にして最長の本が ''Elements of Quaternions''（『四元数原論』）で800ページにも及ぶ（出版されたのは彼の死後すこししてからである）。 

ハミルトンの死後も弟子の[[ピーター・ガスリー・テイト|テイト]]が四元数の振興を続けた。同時に、ダブリンでは四元数が試験の必須題目になっていた。物理学と幾何学の主題においては、今日ではベクトルを用いて記述するような空間の[[運動エネルギー]]や[[マクスウェルの方程式]]などが、まったく四元数の言葉で記述されていた。四元数やほかの[[超複素数系]]を専ら研究するプロの研究機関である{{仮リンク|四元数学会|en|Quaternion Society}}さえ存在した。

1880年代の半ばごろから、[[ウィラード・ギブズ|ギブス]]、[[オリヴァー・ヘヴィサイド|ヘヴィサイド]]、[[ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ|ヘルムホルツ]]らの創始した[[ベクトル解析]]によって四元数は取って代わられるようになる。ベクトル解析は四元数と同じ現象を記述するために、四元数に関する文献から自由に用語法や考え方を拝借していたが、ベクトル解析のほうが概念的に簡単で、記法もすっきりしていたので、遂には[[数学]]と[[物理学]]における四元数の役割は小さく追いやられることとなった。このような変遷の副作用で、現代的な読者にはハミルトンの仕事は難しく複雑なものと化してしまった。ハミルトンのオリジナルの定義は馴染みがなく、その書き振りは冗長で不明瞭である。

四元数は20世紀の後半になって、三次元の自由な回転を記述する能力を買われて、多用されることとなった。四元数による3次元の回転（姿勢）の表現は、三行三列の行列による表現と比べて記憶容量が小さくて演算のスピードも速い。加えて、[[オイラー角]]と違って[[ジンバル#ジンバルロック|ジンバルロック]]が起きない。この特徴は、地上における上下方向のような絶対的な軸の無い、[[宇宙機]]のような三次元の自由度が完全にある場合の[[姿勢制御]]などでの利用に適しており<ref>HAKMEM(1972)のアイテム107に "attitude of the spacecraft" が四元数でストアされている、という表現がある。</ref>、宇宙機以外にも[[コンピュータグラフィックス|CG]]<ref>{{cite journal| doi=10.1145/325165.325242| author=Ken Shoemake|author-link=Ken Shoemake|year=1985|url=https://www.cs.cmu.edu/~kiranb/animation/p245-shoemake.pdf |title=Animating Rotation with Quaternion Curves|journal=Computer Graphics| volume=19|issue=3|pages=245–254}} Presented at [[SIGGRAPH]] '85.  <br />''[[Tomb Raider]]'' (1996) is often cited as the first mass-market computer game to have used quaternions to achieve smooth three-dimensional rotations.  See, for example, Nick Bobick's, "[https://www.gamasutra.com/view/feature/3278/rotating_objects_using_quaternions.php Rotating Objects Using Quaternions]", ''Game Developer'' magazine, July 1998</ref>、[[コンピュータビジョン]]、[[ロボット工学]]、[[制御理論]]、[[信号処理]]、[[物理学]]、[[バイオインフォマティクス|生物情報学]]、[[分子動力学]]、[[計算機シミュレーション]]および[[軌道力学]]など、他にも多くの応用がある。

また、四元数は[[二次形式]]との関係性により、[[数論]]からの後押しも受けている。

1989年以降、[[アイルランド国立大学メイヌース校]]の数学教室は、科学者（2002年には物理学者の[[マレー・ゲルマン]]、2005年に[[スティーヴン・ワインバーグ]]など）や数学者（2003年の[[アンドリュー・ワイルズ]]など）からなる、{{仮リンク|ダンシンク天文台|en|Dunsink Observatory}}からロイヤル運河の橋までを歩く巡礼の旅を開催している。ハミルトンが橋に刻みつけた公式はもはや見ることはできないが。

=== 物理学への歴史的影響 ===
P.R.ジラールのエッセイ ''The quaternion group and modern physics''<ref>Girard, P. R. ''The quaternion group and modern physics'' (1984) Eur. J. Phys. vol 5, p. 25&ndash;32. {{doi|10.1088/0143-0807/5/1/007}}</ref>（「四元数群と現代物理学」）は、四元数の物理学における役割について論じている。それは[[現代代数学]]において "数々の物理的な共変性の群：SO(3)、ローレンツ群、一般相対性群、クリフォード代数 SU(2) および共形群などが容易く{{仮リンク|四元数群|en|Quaternion group}}に関連付けられることを示している"。ジラールは[[群の表現論]]を議論し、[[結晶学]]に関するいくつかの[[空間群]]を表現することから始めて、続いて[[剛体]]運動の[[運動学]]、その後{{仮リンク|トーマス歳差|en|Thomas precession}}を含む特殊相対論の[[ローレンツ群]]の表現に「複四元数」 (complex quaternion)（{{仮リンク|双四元数|en|biquaternion}}）を用いている。ジラールは[[マクスウェルの方程式]]を四元数変数の[[ポテンシャル]]函数を用いて一本の[[微分方程式]]に表した{{仮リンク|ルドヴィク・シルバースタイン|en|Ludwik Silberstein}}を始めとする五人の著者を引いている。一般相対性を考慮して[[ルンゲ・レンツベクトル]]を表し、また[[クリフォード代数]]の例としてクリフォード複四元数（{{仮リンク|分解型双四元数|en|split-biquaternion}}）に言及した。最後にジラールは、複四元数の逆数を使って[[時空]]の[[共形写像]]について述べている。50にも及ぶ参考文献には、{{仮リンク|アレクサンダー・マクファーレン|en|Alexander Macfarlane}}および[[四元数学会]]におけるジラール自身の広報も含まれている。また、1999年にジラールはアインシュタインの一般相対性の方程式が如何にして四元数に直結するクリフォード代数を用いて定式化されるかを示している<ref>[http://clifford-algebras.org/v9/v92/GIRAR92.pdf Einstein's equations and Clifford algebra] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101217224618/http://clifford-algebras.org/v9/v92/GIRAR92.pdf |date=2010年12月17日 }}, Advances in Applied Clifford Algebras 9 No. 2, 225-230 (1999)</ref>。

四元数についてのより個人的な見解を{{仮リンク|ジョアキム・ランベック|en|Joachim Lambek}}が1995年に書いている。エッセイ ''If Hamilton had prevailed: quaternions in physics''（「もしハミルトンが勝利していたら：物理学における四元数」）には "My own interest as a graduate student was raised by the inspiring book by Silberstein"（院生としての私の興味はシルバースタインの本に刺激を受けて生じた）とある。ランベックは He concluded by stating "I firmly believe that quaternions can supply a shortcut for pure mathematicians who wish to familiarize themselves with certain aspects of theoretical physics."<ref>Lambek, J. ''If Hamilton had prevailed: quaternions in physics'' (1995) Math. Intelligencer, vol. 17, #4, p. 7—15. {{doi|10.1007/BF03024783}}</ref>（「私は四元数が、理論物理学のある種の側面に習熟しようと望む純粋数学者へ、近道を与えるものと堅く信じる」）と述べることによって結論を下している。

2007年、[[アレキサンダー・エフレモフ]]とその共同研究者は、四元数空間幾何が[[ヤン・ミルズ場]]と近しい関係にあることを示し、{{仮リンク|ダフィン・ケマー・ペティアウ方程式|en| Duffin–Kemmer–Petiau equation}}と[[クライン・ゴルドン方程式]]への関連性を指摘した<ref>A. Yefremov, F. Smarandache, V. Christianto: [http://fs.gallup.unm.edu//PP-03-2007.pdf#page=43 ''Yang-Mills field from quaternion space geometry, and its Klein-Gordon representation''], Progress in Physics, vol.&nbsp;3, July 2007, pp. 42–50. Also in Florentin Smarandache (ed.): Hadron Models and Related New Energy Issues, InfoLearnQuest, 2007, ISBN 978-1-59973-042-4, [https://books.google.com/books?hl=de&lr=&id=AJPKXd2rkBQC&oi=fnd&pg=PA208 p. 208–219]</ref>。

== 定義 ==
集合としては、四元数の全体 {{math|'''H'''}} は[[実数]]体上四次元の[[数ベクトル空間]] {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} に等しい。{{math|'''H'''}} には三種類の演算（加法、スカラー乗法、四元数の乗法）が入る。 {{math|'''H'''}} の二元の和は、{{math|'''R'''<sup>4</sup>}} の元としての和で定義され、同様に {{math|'''H'''}} の元の実数倍も {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} におけるスカラー倍として定義される。{{math|'''H'''}} の二元の積を定めるには、まず {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} の[[基底 (線型代数学)|基底]]を決めなければならないが、それを通例 {{math|1, ''i'', ''j'', ''k''}} と記す。{{math|'''H'''}} の各元はこれら基底元の[[線型結合]]として、つまり適当な[[実数]] {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} に対する {{math|''a''1 + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} の形で一意的に書き表される。基底元 {{math|1}} は {{math|'''H'''}} の[[乗法単位元]]（つまり {{math|1}} を掛けることは何もしないことと同じ）であり、それを以って {{math|'''H'''}} は基底元 {{math|1}} を伏せて {{math|''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} の形に書くのが普通である。この基底が与えられたところで、四元数の[[結合法則|結合的]]乗法は、初めに基底元同士の積を定義して、一般の積はそれを分配律を用いて拡張することで定義される。

=== 基底間の乗法 ===
{|class="wikitable" style="text-align: center; margin: 1ex 1em; float: left;"
|+ 単位の乗積表
|-
! × !! 1 !!i !!j !!k
|-
!1
| 1 || ''i'' || ''j'' ||''k''
|-
!''i''
|''i'' || −1 ||''k'' || −''j''
|-
!''j''
|''j'' || −''k'' || −1 ||''i''
|-
!''k''
|''k'' ||''j'' || −''i'' || −1
|}

{{math|'''H'''}} の基底元 {{mvar|i, j, k}} に対して等式
:<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1,</math>
は {{mvar|i, j, k}} の間の可能なすべての積を決定する。例えば <math>-1 = i j k</math> の両辺に {{mvar|k}} を右から掛ければ
:<math>\begin{align}
-k & = i j k k = i j (k^2) = i j (-1), \\
 k & = i j. 
\end{align}</math>
を得る。他の積も同じようにして得られて、結局
:<math>\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j, 
\end{alignat}</math>
が可能なすべての積を列挙したものとなる。これは左側の因子を列に、右側の因子を行にそれぞれ充てて、表の形にまとめることができる（[[積表|乗積表]]）。

=== ハミルトン積 ===
二つの四元数 {{math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>''i'' + ''c''<sub>1</sub>''j'' + ''d''<sub>1</sub>''k''}} と {{math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>''i'' + ''c''<sub>2</sub>''j'' + ''d''<sub>2</sub>''k''}} に対し、それらの'''ハミルトン積''' {{math|(''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>''i'' + ''c''<sub>1</sub>''j'' + ''d''<sub>1</sub>''k'')(''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>''i'' + ''c''<sub>2</sub>''j'' + ''d''<sub>2</sub>''k'')}} は、基底間の積と[[分配法則|分配律]]に従って与えられる。具体的には、この積は分配律に従うと基底元の積和の形に展開することができて、
:<math>\begin{align}
 & a_1a_2 + a_1b_2\,i + a_1c_2\,j + a_1d_2\,k\\
 & \quad {}+ b_1a_2\,i + b_1b_2\,i^2 + b_1c_2\,ij + b_1d_2\,ik\\
 & \quad {}+ c_1a_2\,j + c_1b_2\,ji + c_1c_2\,j^2 + c_1d_2\,jk\\
 & \quad {}+ d_1a_2\,k + d_1b_2\,ki + d_1c_2\,kj + d_1d_2\,k^2
\end{align}</math>
という形になるので、ここで先の基底元の間の乗法規則を適用して
:<math>\begin{align}
 & a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2\\
 & \quad {}+ (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)\,i\\
 & \quad {}+ (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)\,j\\
 & \quad {}+ (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)\,k
\end{align}</math>
を得る<ref name="SeeHazewinkel" />。

=== 順序組として ===
{{math|'''H'''}} の基底 {{math|1, ''i'', ''j'', ''k''}} を用いて {{math|'''H'''}} を[[タプル|四つ組]]の集合
: <math>\mathbb{H} = \{(a, b, c, d) \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}\}</math>
として表すことができる。このとき基底元は
: <math>
\begin{align}
1 & = (1, 0, 0, 0), \\
i & = (0, 1, 0, 0), \\
j & = (0, 0, 1, 0), \\
k & = (0, 0, 0, 1)
\end{align}
</math>
であり、加法及び乗法の定義式は
: <math>
\begin{align}
 & (a_1,\, b_1,\, c_1,\, d_1) + (a_2,\, b_2,\, c_2,\, d_2) \\
 &\quad = (a_1 + a_2,\, b_1 + b_2,\, c_1 + c_2,\, d_1 + d_2)
\end{align}
</math>
および
: <math>\begin{align}
(a_1,\, b_1&,\, c_1,\, d_1)(a_2,\, b_2,\, c_2,\, d_2)\\
{}={}(&a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2, \\
  &a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2, \\
  &a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2, \\
  &a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)
\end{align}
</math>
で与えられる。

=== スカラー部とベクトル部 ===
実数 {{mvar|a}} に対して {{math|''a'' + 0''i'' + 0''j'' + 0''k''}} の形の四元数は'''実''' (''real'') または'''スカラー''' (''scalar'') であるといい、実数 {{mvar|b, c, d}} で少なくとも一つが {{math|0}} でないようなものについて {{math|0 + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} なる形に書ける四元数は'''純虚''' (''pure imaginary'') であるという。任意の四元数 {{math|''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} に対し、{{mvar|a}} をその'''実部''' (''real part'') または'''スカラー成分''' (''scalar part'') といい、{{math|''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} をその'''虚部''' (''imagenary part'') または '''ベクトル成分''' (''vector part'') と呼ぶ。四元数のスカラー部は常に実であり、またベクトル部は常に {{math|0}} または純虚である。任意の四元数は四次元ベクトル空間のベクトルではあるけれども、ここではベクトルあるいはベクトル元という言葉を、専ら純虚四元数を指すのに用いる。この規約の下、ベクトル元ということはベクトル空間 {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} の元ということと同じ意味になる。

ハミルトンは純虚四元数を '''right quaternion'''（「正しい四元数」）と呼び<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/?id=fIRAAAAAIAAJ&pg=PA117&dq=quaternion#PPA310,M1 |title=Hamilton Elements of Quaternions article 285|page=310|author1=Hamilton, Sir William Rowan|year=1866}}</ref><ref>{{cite book|url=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=math;cc=math;q1=right%20quaternion;rgn=full%20text;idno=05140001;didno=05140001;view=image;seq=81|title= Hardy Elements of quaternions|page= 65|publisher= library.cornell.edu}}</ref>、実（四元）数を '''scalar quaternion'''（「スカラー四元数」）と呼んだ。

四元数をスカラー成分とベクトル成分に分解して
: <math>q = (r,\vec{v})\quad (q\in\mathbb{H},\,r\in\mathbb{R},\,\vec{v}\in\mathbb{R}^3)</math>
と書くならば、加法と乗法の定義式は
: <math>(r_1,\vec{v}_1) + (r_2,\vec{v}_2) = (r_1 + r_2,\; \vec{v}_1+\vec{v}_2)</math>
および
: <math>(r_1,\vec{v}_1) (r_2,\vec{v}_2) = (r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\; r_1\vec{v}_2+r_2\vec{v}_1 + \vec{v}_1\times\vec{v}_2)
</math>
と書くことができる。ここで "'''{{math|&sdot;}}'''" はベクトルの[[点乗積]]、"'''{{math|×}}'''" はベクトルの[[交叉積]]である。とくに、実部が {{math|0}} の四元数に対しては
: <math>(0,\vec{v}_1) (0,\vec{v}_2) = ( - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\;\vec{v}_1\times\vec{v}_2)
</math>
が成り立つ。

== 共軛、ノルムおよび逆数 ==
四元数の[[共役|共軛]]（きょうやく）は[[複素共役|複素数の共軛]]および[[クリフォード代数]]の元の転置 (transposition) あるいは逆転 (reversal) の類似物である。定義は、四元数 {{math|1=''q'' = ''a'' +''bi'' +''cj'' + ''dk''}} に対して、{{mvar|q}} の共軛を {{math|''a'' &minus; ''bi'' &minus; ''cj'' &minus; ''dk''}} とするものである。これを {{math|''q''<sup>&lowast;</sup>, {{overline|''q''}}<ref name="SeeHazewinkel" />, ''q''<sup>''t''</sup>, {{tilde|''q''}}}} などで表す。共軛をとる操作は[[対合]]、つまり自身を自身の逆とする変換であり、一つの元の共軛を二度とればもとの元に戻る。二つの四元数の積の共軛は、それぞれの四元数の共軛を「順番を逆にして」掛けたものになる。つまり {{mvar|p, q}} を四元数とすれば {{math|1=(''pq'')<sup>&lowast;</sup> = ''q''<sup>&lowast;</sup>''p''<sup>&lowast;</sup>}} であって {{math|''p''<sup>&lowast;</sup>''q''<sup>&lowast;</sup>}} でない。

複素数平面における状況と異なり、四元数の共軛は乗法と加法を用いて完全に書き表すことができ、
:<math>q^* = - \frac 1 2 (q + iqi + jqj + kqk)</math>
が成立する。共軛を用いると、四元数 {{mvar|p}} の実部および虚部はそれぞれ {{math|(''p'' + ''p''*)/2}} および {{math|(''p'' &minus; ''p''*)/2}} で表すことができる。

四元数とその共軛との積の平方根は[[ノルム]]と呼ばれ、{{math|{{norm|''q''}}}} で表される（ハミルトンはこれを四元数のテンソルと呼んだが、この用語は現代的な意味での[[テンソル]]と衝突する）。式で書けば
:<math>\lVert q \rVert = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}</math>
となり、これは常に非負の実数で、{{math|'''H'''}} を数ベクトル空間 {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} と見做した時の[[ユークリッドノルム]]と同じものである。四元数を実数倍したもののノルムは、ノルムを実数の絶対値倍したものに等しい。即ち {{mvar|α}} が実数のとき
:<math>\lVert\alpha q\rVert = |\alpha|\lVert q\rVert</math>
が成り立つ。これはノルムが'''乗法的'''であること、つまり任意の二つの四元数 {{mvar|p, q}} に対して
:<math>\lVert pq \rVert = \lVert p \rVert\lVert q \rVert</math>
が満たされることの特別の場合である。この乗法性は、積の共軛に関する式からの帰結である。あるいは、正方行列の[[行列式]]の乗法性と公式
:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \det
\begin{pmatrix} a+ib & id+c \\ id-c & a-ib \end{pmatrix}</math>
（''i'' は通常の[[虚数単位]]）から乗法性を示すこともできる。

このノルムを使って、四元数 {{mvar|p}} と {{mvar|q}} の間の'''距離''' {{math|''d''(''p'', ''q'')}} を、それらの差のノルム ({{math|1=''d''(''p'', ''q'') = {{norm|''p'' &minus; ''q''}}}}) として定義することができる。これにより {{math|'''H'''}} は[[距離空間]]となり、加法と乗法はこの距離位相に関して連続になる。

=== 単位四元数 ===
{{main|{{仮リンク|ベルソル|en|versor}}}}
'''単位四元数'''はノルムが {{math|1}} の四元数を言う。零でない四元数 {{mvar|q}} をそのノルムで割ると、{{mvar|q}} の{{仮リンク|ベルソル|en|versor}}と呼ばれる単位四元数
:<math>\mathbf{U}q = \frac{q}{\lVert q\rVert}</math>
が得られる。任意の四元数 {{mvar|q}} は、その{{仮リンク|極分解|en|Polar decomposition}} {{math|1=''q'' = {{norm|''q''}}&thinsp;'''U'''''q''}} を持つ。

共軛とノルムを用いれば、四元数の[[乗法逆元|逆数]]が求められる。四元数とその逆数との積は {{math|1}} でなければならないが、既に見たことから {{mvar|q}} と {{math|''q''<sup>&lowast;</sup>/{{norm|''q''}}<sup>2</sup>}} との（この順での）積は {{math|1}} となるから、{{mvar|q}} の'''逆数'''は
:<math>q^{-1} = \frac{q^*}{\lVert q\rVert^2}</math>
で定められる。これにより、二つの四元数 {{mvar|p, q}} に対して、二種類の除法を定めることができる。即ち、それらの商は {{math|''pq''<sup>&minus;1</sup>}} または {{math|''q''<sup>&minus;1</sup>''p''}} のどちらかであり、 {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} と書くことは {{mvar|q}} で左から割っているのか右から割っているのか特定できないため紛らわしい。

== 代数的性質 ==
[[Image:Cayley graph Q8.svg|right|thumb|四元数群 {{math|''Q''<sub>8</sub>}} の[[ケイリーグラフ]]: 赤矢印は {{mvar|i}} の右からの積を表し、緑矢印は {{mvar|j}} の右からの積を表す。]]
四元数全体の成す集合 {{math|'''H'''}} は[[実数]]体上の[[ハメル次元|次元]]が {{math|4}} の[[ベクトル空間]]を成す（実数の全体は次元が {{math|1}}, [[複素数]]の全体は次元 {{math|2}}, [[八元数]]の全体は次元 {{math|8}} である）。四元数は結合的で加法の上に分配的な乗法を持つが、その乗法は可換でない。従って四元数の全体 {{math|'''H'''}} は実数体上の非可換[[結合多元環]]である。{{math|'''H'''}} には複素数体 {{math|'''C'''}} の複製が含まれるけれども、{{math|'''H'''}} は {{math|'''C'''}} 上の結合多元環にはならない。

四元数は除法が可能であるから、{{math|'''H'''}} は[[多元体]]（乗法が可換でないことを除けば[[可換体]]と同様の構造）である。実数体上の有限次元結合的多元体は非常に少なく、[[フロベニウスの定理 (代数学)|フロベニウスの定理]]はそれが {{math|'''R''', '''C''', '''H'''}} のちょうど三種類であることを述べるものである。また、四元数のノルムにより四元数の全体は[[合成代数|ノルム多元環]]となるが、実数体上のノルム多元体もまた非常に限られ、{{仮リンク|フルヴィッツの定理 (合成代数)|label=フルヴィッツの定理|en|Hurwitz's theorem (composition algebras)}}はそれが {{math|'''R''', '''C''', '''H''', '''O'''}} の四種類（{{math|'''O'''}} は[[八元数]]の全体）であることを述べる。四元数の全体はまた、[[合成代数]]や単位的[[バナッハ代数]]の一例でもある。

{|class="wikitable" style="margin: auto; text-align: center; float: right; clear: both;"
|+ ''Q''<sub>8</sub> の乗積表
! &times; !! 1 !! ''i'' !! ''j'' !! ''k'' !! &minus;1 !! &minus;''i'' !! &minus;''j'' !! &minus;''k''
|-
! 1
| 1 || ''i'' || ''j'' || ''k'' || &minus;1 || &minus;''i'' || &minus;''j'' || &minus;''k''
|-
! ''i''
| ''i'' || &minus;1 || ''k'' || &minus;''j'' || &minus;''i'' || 1 || &minus;''k'' || ''j''
|-
! ''j''
| ''j'' || &minus;''k'' || &minus;1 || ''i'' || &minus;''j'' || ''k'' || 1 || &minus;''i''
|-
! ''k''
| ''k'' || ''j'' || &minus;''i'' || &minus;1 || &minus;''k'' || &minus;''j'' || ''i'' || 1
|-
! &minus;1
| &minus;1 || &minus;''i'' || &minus;''j'' || &minus;''k'' || 1 || ''i'' || ''j'' || ''k'' 
|-
! &minus;''i''
| &minus;''i'' || 1 || &minus;''k'' || ''j'' || ''i'' || &minus;1 || ''k'' || &minus;''j''
|-
! &minus;''j''
| &minus;''j'' || ''k'' || 1 || &minus;''i'' || ''j'' || &minus;''k'' || &minus;1 || ''i''
|-
! &minus;''k''
| &minus;''k'' || &minus;''j'' || ''i'' || 1 || ''k'' || ''j'' || &minus;''i'' || &minus;1
|}
基底元の積は別の基底元に符号をつけたものになるから、集合 {{math|{{mset|±1, ±''i'', ±''j'', ±''k''}}}} はその乗法に関して[[群 (数学)|群]]を成す。この群は{{仮リンク|四元数群|en|quaternion group}}と呼ばれ、{{math|''Q''<sub>8</sub>}} で表される<ref>{{cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=quaternion+group |title=quaternion group|work=Wolframalpha.com|accessdate=26 February 2011}}</ref>。{{math|''Q''<sub>8</sub>}} の実係数[[群環]] {{math|'''R'''''Q''<sub>8</sub>}} は環であり、また {{math|'''R'''}} 上八次元のベクトル空間でもあり、{{math|''Q''<sub>8</sub>}} の各元を基底ベクトルに持つ。四元数体 {{math|'''H'''}} は {{math|'''R'''''Q''<sub>8</sub>}} を {{math|1 + (&minus;1), ''i'' + (&minus;''i''), ''j'' + (&minus;''j''), ''k'' + (&minus;''k'')}} で生成する[[イデアル (環論)|イデアル]]で割った[[剰余環]]になっている。ここで、生成元となっている各差の第一項は基底元 {{math|1, ''i'', ''j'', ''k''}} のそれぞれ一つであり、第二項は残りの基底元 {{math|&minus;1, &minus;''i'', &minus;''j'', &minus;''k''}} のそれぞれ一つであって、これらは {{math|1, ''i'', ''j'', ''k''}} の（群環の加法に関する）加法的逆元でないことに注意（剰余環、つまり {{math|'''H'''}} の中では加法逆元になる）。
{{clear}}

== 四元数と {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} の幾何 ==
四元数のベクトル部は {{math|'''R'''&sup3;}} のベクトルゆえ、{{math|'''R'''&sup3;}} の幾何は四元数の代数構造に反映される。ベクトルに対する多くの演算は四元数を用いて定義することができるし、それによって四元数的な手法を空間ベクトルから生じる様々なものに適用することができる。例えば、[[電磁気学]]や[[3Dコンピュータグラフィックス|3DCG]]などにこの方法論が使える。

本節では {{math|''i'', ''j'', ''k''}} を {{math|'''H'''}} の虚基底ベクトル<ref>{{Cite book
|url = https://books.google.com/?id=RC8PAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=right+tensor+dyadic#PPA428,M1
|title = Vector Analysis
|publisher = Gibbs-Wilson
|year = 1901
|page = 428
}}</ref>と {{math|'''R'''&sup3;}} の基底の両方の意味で用いる。{{mvar|i, j, k}} を一斉にそれぞれ {{math|&minus;''i'', &minus;''j'', &minus;''k''}} に取り換えることはベクトルを[[パリティ (物理学)|加法的逆元（マイナス）へ写す]]ので、ベクトルの加法的逆元をとることと四元数の共軛をとることとは同じ意味になることに注目しよう。これを以って、四元数の共軛を「空間反転」(''spatial inverse'') と呼ぶことがある。

二つの純虚四元数 {{math|1=''p'' = ''b''{{sub|1}}''i'' + ''c''{{sub|1}}''j'' + ''d''{{sub|1}}''k''}} と {{math|1=''q'' = ''b''{{sub|2}}''i'' + ''c''{{sub|2}}''j'' + ''d''{{sub|2}}''k''}} に対して、それらの[[点乗積]]は
:<math>p \cdot q = b_1b_2 + c_1c_2 + d_1d_2</math>
で与えられる。これは {{math|''p''{{sup|&lowast;}}''q'', ''qp''<sup>&lowast;</sup>, ''pq''{{sup|&lowast;}}, ''q''{{sup|&lowast;}}''p''}} のどのスカラー部にも等しい（これらのベクトル部は何れもことなることに注意）。それゆえ点乗積については
:<math>p \cdot q = \frac{1}{2}(p^*q + q^*p) = \frac{1}{2}(pq^* + qp^*)</math>
という等式も成り立つ。また、{{mvar|p}} と {{mvar|q}} との[[交叉積]]は順序づけられた基底 {{mvar|i, j, k}} から定まる向きに依存して
:<math>p \times q = (c_1d_2 - d_1c_2)i + (d_1b_2 - b_1d_2)j + (b_1c_2 - c_1b_2)k</math>
と定義される（符号を決めるために向きが必要であることを想起せよ）。これは四元数としての積 {{mvar|pq}} のベクトル部に等しく、{{math|&minus;''q''{{sup|&lowast;}}''p''{{sup|&lowast;}}}} のベクトル部とも同じく等しい。ゆえに、これについても
:<math>p \times q = \frac{1}{2}(pq - q^*p^*)</math>
なる等式が成り立つ。一般に {{mvar|p, q}} が四元数（純虚でなくてよい）のとき、これをスカラー部とベクトル部との和
:<math>p = p_s + \vec{p}_v,</math>
:<math>q = q_s + \vec{q}_v</math>
に分解すれば、等式
:<math>pq = p_sq_s - \vec{p}_v\cdot\vec{q}_v + p_s\vec{q}_v + \vec{p}_vq_s + \vec{p}_v \times \vec{q}_v</math>
が成り立つ。これを見ると、四元数の乗法の非可換性が純虚四元数の乗法からくるものであることが分かり、また2つの四元数が可換となるための必要十分条件がそれらのベクトル部が共線となることなども知れる。<!--
四元数を用いた三次元ベクトルのより綿密なモデル化は{{仮リンク|四元数と空間的回転|en|quaternions and spatial rotation}}を参照。-->

== 行列表現 ==
複素数が行列で表されたのとまったく同様に、四元数も行列で表すことができる。四元数を行列として表現して、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは {{math|{{gaps|2|&times;|2}}}} [[複素数|複素]]行列を用いるもの、いま一つは {{math|{{gaps|4|&times;|4}}}} [[実数|実]]行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、[[抽象代数学]]の言葉でいえば、{{math|'''H'''}} からそれぞれ[[全行列環]] {{math|M<sub>2</sub>('''C''')}} および {{math|M<sub>4</sub>('''R''')}} への[[単射]][[環準同型]]である。

{{math|{{gaps|2|&times;|2}}}} 複素行列を用いて、四元数 {{math|''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} は
: <math>\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}</math>
と表現される。この表現は以下のような性質を持つ：
* [[複素数]] ({{math|1=''c'' = ''d'' = 0}}) は対角行列に対応する。
* 四元数のノルム（複素数のノルム同様に、自身とその共軛との積の平方根）は対応する行列の[[行列式]]の平方根に一致する<ref>[https://www.wolframalpha.com/input/?i=det+{{a%2Bb*i%2C+c%2Bd*i}%2C+{-c%2Bd*i%2C+a-b*i}} Wolframalpha.com]</ref>。
* 四元数の共軛は、対応する行列の[[随伴行列|エルミート共軛]]に対応する。
* 単位四元数に制限すれば、この表現は [[三次元球面|{{math|''S''<sup>3</sup>}}]] と {{math|[[SU(2)]]}} との間の[[群同型|同型]]を与える。後者の群は[[量子力学]]において[[スピン (物理学)|スピン]]を記述するのに重要である（[[パウリ行列]]を参照）。

{{math|{{gaps|4|&times;|4}}}} 実行列を用いれば、同じ四元数は

: <math>\begin{pmatrix}
 a & b & c & d \\ 
 -b & a & -d & c \\
 -c & d & a & -b \\
 -d & -c & b & a 
\end{pmatrix}</math>

: <math>= a
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
+ b
\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0 & 0 \\ 
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0 
\end{pmatrix}
+ c
\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
+ d
\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 -1 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
</math>

で表される。この表現では、四元数の共軛は対応する行列の[[転置行列|転置]]に対応する。また、四元数のノルムの四乗は対応する行列の[[行列式]]に等しい。複素数は、行列を {{math|2 &times; 2}} のブロックに分けたときの区分対角行列に対応する。

== 四平方和定理 ==
{{main|ラグランジュの四平方定理}}
四元数を、[[数論]]におけるラグランジュの四平方和定理（任意の非負整数が四つの整数の平方の和で表せること）の証明に用いることもできる。ラグランジュの四平方和定理は定理それ自体が美しいだけでなく、{{仮リンク|組合せデザイン|en|Combinatorial design}}のような数論以外の数学の分野においても有意な応用を持つ。四元数に基づく証明では四元数全体ではなくその部分環で[[ユークリッドの互除法]]が使える{{仮リンク|フルヴィッツの四元数|label=フルヴィッツ整数環|en|Hurwitz quaternion}}が用いられる。

== 複素数の対として ==
{{Main|ケイリー・ディクソン構成}}
四元数は複素数の対として表現することができる。この側面からは、四元数は複素数の全体に[[ケイリー・ディクソン構成]]を適用して得られたものということになる。これは、複素数の実数の対として構成を一般化したものである。

{{math|'''C'''<sup>2</sup>}} を複素数体上の二次元ベクトル空間とし、{{math|1}} と {{mvar|j}} の二元からなる基底をとる。{{math|'''C'''<sup>2</sup>}} に属するベクトルは基底元 {{math|1}} と {{mvar|j}} によって
:<math>(a + bi)1 + (c + di)j</math>
と書くことができる。ここで {{math|1=''j''<sup>2</sup> = &minus;1}} および {{math|1=''ij'' = &minus;''ji''}} であるものと定めると、分配律を使って二つのベクトルを掛け算することができる。いま、積 {{mvar|ij}} のところを {{mvar|k}} と書くことにすると通常の四元数の乗法規則と同じになるので、従って上記の複素ベクトルは四元数 {{math|''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} に対応するものである。{{math|'''C'''<sup>2</sup>}} の元を順序対として、四元数を四つ組としてそれぞれ書けば、この対応は
:<math>(a + bi,\ c + di) \leftrightarrow (a, b, c, d)</math>
で表される。

== {{math|&minus;1}} の平方根 ==
複素数の場合には、{{mvar|i}} と {{math|&minus;''i''}} という二つの複素数のみが {{math|&minus;1}} の平方根たり得たが、{{math|'''H'''}} においては {{math|&minus;1}} の平方根は無数に存在する。{{math|1=''x''<sup>2</sup> = &minus;1}} の四元数解は三次元空間内の[[単位球面]]を成すのである。これを見るのに {{math|1=''q'' = ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} を四元数とし、その平方が {{math|&minus;1}} に等しいものと仮定する。これは {{mvar|a, b, c, d}} を使って書けば
:<math>a^2 - b^2 - c^2 - d^2 = -1,</math>
:<math>2ab = 0,</math>
:<math>2ac = 0,</math>
:<math>2ad = 0</math>
が成り立つことを意味する。後の三つの方程式を満足するには {{math|1=''a'' = 0}} または {{math|1=''b'' = ''c'' = ''d'' = 0}} であることが必要だが、後者は {{mvar|a}} が実数で残りの方程式から {{math|1=''a''<sup>2</sup> = &minus;1}} を満たすことになるので不可能である。故に {{math|1=''a'' = 0}} かつ {{math|1=''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> = 1}} となる。即ち、四元数の平方が {{math|&minus;1}} に一致する必要十分条件が、その四元数がノルム 1 のベクトル（純虚四元数）となることであることがわかる。定義により、このようなベクトルの全体の成す集合は単位球面を成す。

故に、負の実四元数は無数の平方根を持つこともわかるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ（{{math|0}} についてはただ一つ）である。

{{math|'''H'''}} における {{math|&minus;1}} の平方根のこのような同定はハミルトンが与えている<ref>{{cite book|author=Hamilton |year=1899|title=Elements of Quaternions|edition= 2nd |page= 244|isbn=1-108-00171-8}}</ref>が、他の文献では触れられないことがよくある。1971年にサム・パーリスは &minus;1 の平方根の成す球面について、{{仮リンク|米国数学教師評議会|en|National Council of Teachers of Mathematics}}出版の「代数学における歴史的話題」 (''Historical Topics in Algebra'' p.39) において三ページを割いて触れている。より近くでは、{{仮リンク|イアン・ポーティアス|en|Ian R. Porteous}}の本「クリフォード代数と古典群」(''Clifford Algebras and the Classical Groups'' Cambridge, 1995, proposition 8.13, p.60) にこの球面についての記述があり、また {{harvtxt|Conway|Smith|2003}} のp.40には「任意の虚数単位を ''i'', それに直交する虚数単位のひとつを ''j'', それらの積を ''k''」("any imaginary unit may be called i, and perpendicular one j, and their product k") として、この球面についての別な言明がある。

=== 複素数平面の合併としての {{math|'''H'''}} ===
{{math|&minus;1}} の平方根のどの二つをとっても、四元数の中で複素数の相異なる複製を作ることができる。 {{math|1=''q''<sup>2</sup> = −1}} とすれば、そのような複製は写像
:<math>a + b\sqrt{-1} \mapsto a + bq</math>
によって決定される。[[抽象代数学]]の言葉でいえば、それぞれが {{math|'''C'''}} から {{math|'''H'''}} への[[単射]][[環準同型]]（埋め込み）である。{{math|''q''}} と {{math|−''q''}} に対応する埋め込みの像は集合としては同じになる。

任意の実でない四元数が {{math|'''C'''}} に同型な {{math|'''H'''}} の部分空間に載っていることを見よう。四元数 {{mvar|q}} をスカラー部とベクトル部との和として
:<math>q = q_s + \vec{q}_v</math>
とし、さらにベクトル部をノルムとベルソルとの積に分解して、
:<math>q = q_s + \lVert\vec{q}_v\rVert\cdot\mathbf{U}\vec{q}_v</math>
と書く（これは {{math|''q''<sub>''s''</sub> + {{norm|''q''}}'''U'''''q''}} とは異なることに注意）。{{mvar|q}} のベクトル部のベルソル {{math|'''U'''{{vec|''q''}}{{sub|''v''}}}} は純虚な単位四元数ゆえ、その平方は {{math|&minus;1}} である。従ってこれから、写像
:<math>a + b\sqrt{-1} \mapsto a + b\mathbf{U}\vec{q}_v</math>
によって複素数の複製が得られるが、この写像の下で {{mvar|q}} は複素数 {{math|''q''{{sub|''s''}} + {{norm|{{vec|''q''}}{{sub|''v''}}}}''i''}} の像になる。

以上から、{{math|'''H'''}} は[[実数直線]]を共通の交わりとして持つ無数の複素平面の[[合併 (集合論)|合併]]であることがわかる。ただし、この合併は {{math|&minus;1}} の平方根の成す球面全体を（球面の対蹠点が同じ平面に対応することを踏まえたうえで）亙って取ったものである。

=== 可換部分環 ===
各四元数が {{math|'''H'''}} のどの部分複素数平面に含まれるかという関係性は、[[可換部分環]]族の言葉を使っても同定し書き表すことができる。具体的に言えば、二つの四元数 {{mvar|p}} と {{mvar|q}} とが可換 ({{math|1=''pq'' = ''qp''}}) となるのはそれらが {{math|'''H'''}} の同じ部分複素数平面に載るときに限られるのだから、四元数全体の成す[[環 (数学)|環]]の可換部分環を全て求めようと欲すれば、そこに複素数平面の合併として {{math|'''H'''}} の profile が生じる。この可換部分環を求める方法は、{{仮リンク|分解型四元数|en|Split-quaternion}}の全体や[[二次実正方行列]]の全体の性質を知るのにも利用できる。

== 四元数を変数とする函数 ==
{{Main|四元変数}}
[[複素変数]]の函数同様に、四元変数の函数から有効な物理モデルが得られることが示唆される。例えば、マクスウェルによるもともとの電磁場の記述には四元変数函数が用いられていた。

=== 指数・対数・冪函数 ===
四元数
:<math>q=a+bi+cj+dk=a+\mathbf{v}</math>
に対して、指数函数は
:<math>\exp(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{q^n}{n!}=e^{a} \left(\cos \|\mathbf{v}\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \sin \|\mathbf{v}\|\right) </math>
と計算され、その逆函数として対数函数は
:<math>\ln(q) = \ln \|q\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \cos^{-1} \frac{a}{\|q\|}</math>
として与えられる<ref>[https://users.aalto.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf Lce.hut.fi]</ref>。
これを用いて、四元数の極分解を
:<math>q=\|q\|e^{\hat{n}\theta}</math>
の形に書くことができる。ここで角 &theta; および単位ベクトル <math>\hat{n}</math> は
:<math>a=\|q\|\cos(\theta)</math>
および
:<math>\mathbf{v}=\hat{n} \|\mathbf{v}\|=\hat{n}\|q\|\sin(\theta)</math>
で定まるものである。任意の単位四元数は極形式として
: <math>e^{\hat{n}\theta}</math>
と表される。 

任意の実数を冪指数とする四元数の[[冪]]は
:<math>q^\alpha=\|q\|^\alpha e^{\hat{n}\alpha\theta}</math>
で与えられる。

== 三次元および四次元の回転群 ==
{{Main|四元数と空間の回転|回転操作}}
「[[共役|共軛]]（きょうやく）」あるいは「{{仮リンク|共軛変換|en|conjugation}}」という言葉は、上で述べた意味以外にも、適当な非零元 ''r'' によって元 ''a'' を ''rar''<sup>-1</sup> へ写す変換（[[内部自己同型]]）の意味にも使われる。この変換の意味で[[共軛類|与えられた元に共軛な元の全体]]は、実部が等しく、かつベクトル部のノルムも等しい（従って、共軛四元数はこの変換の意味でも共軛元である）。

故に、非零四元数全体の成す乗法群は、純虚四元数全体の成す '''R'''<sup>3</sup> の複製の上に共軛変換によって作用する。このとき、実部が cos(θ) であるような単位四元数による共軛変換は、虚部方向を回転の軸とする回転角 2θ の回転になる。四元数を用いる優位性としては、
# （[[オイラー角]]などの場合と比べて）非特異な表現である。
# [[行列]]を用いるよりも簡潔に記述できて演算のスピードも速くできる。
# 単位四元数の対で、[[四次元空間]]の回転を表せる。
などが挙げられる。

単位四元数（[[ベルソル]]）の全体は[[三次元球面]] ''S''<sup>3</sup> を成し、また乗法に関して[[群 (数学)|群]]を成し、三次[[特殊直交群]]（行列式が 1 の 3 &times; 3 [[直交行列]]全体）''SO''(3,'''R''') の[[被覆空間|二重被覆]]群という[[リー群]]になる（これは上記の対応において各回転に対応する単位四元数がちょうど「ふたつ」あることによる）。

{{details|点群}}
（''S''<sup>3</sup> 自体には標準的な群構造はないが）ベルソルの成す部分群の像は[[点群]]であり、逆に点群の逆像はベルソル全体の成す部分群となる。有限点群の逆像は、それぞれの点群の名前に'''二項''' (''binary'') を付けて呼ぶ。例えば[[二十面体群]]の逆像は[[二項二十面体群]]である。

ベルソル全体の成す群は、行列式 1 の 2 &times; 2 複素[[ユニタリ行列]]全体の成す群 ''SU''(2) に同型である。

''a'', ''b'', ''c'', ''d'' が何れも[[整数]]となるかまたは何れも分母が2の既約分数であるような[[有理数]]となるような四元数 ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' 全体の成す集合を ''A'' とする。集合 ''A'' は[[環 (数学)|環]]（実は[[整域]]）であり、また[[束 (代数学)|束]]であって、[[フルヴィッツ整数]]環と呼ばれる。この環は 24 個の単位四元数を持ち、それらは[[正二十四胞体|正24胞体]]（[[シュレーフリ記号]]で {3,4,3}）の頂点になっている。

== 一般化 ==
{{main|四元数環}}
''F'' が[[標数]]が 2 でない[[可換体|体]]で ''a'', ''b'' を ''F'' の元とするとき、1, ''i'', ''j'' および ''ij'' を基底とし、''i''<sup>2</sup> = ''a'', ''j''<sup>2</sup> = ''b'' 及び ''ij'' = −''ji''（従って (''ij'')<sup>2</sup> = −''ab''）を満たす ''F'' 上の四次元単位的[[結合代数]]が定義できる。これらは'''四元数環'''と呼ばれ、''a'', ''b'' の選び方に依り ''F'' 上の 2 &times; 2 [[正方行列]]に同型であるか、さもなくば ''F'' 上の[[多元体]]を成す。 

== クリフォード代数 Cℓ<sub>3,0</sub>('''R''') の偶部分としての四元数体 ==
幾何学的計算に対する四元数の有用性は、四元数体を[[クリフォード代数]] Cℓ<sub>3,0</sub>('''R''') の偶部分 Cℓ<sup>+</sup><sub>3,0</sub>('''R''') と同一視することによって、他の次元にも一般化することができる。これは基本基底元 σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, σ<sub>3</sub> から構成される結合的多重ベクトル環で、基底元は
:<math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1,</math>
:<math>\sigma_i \sigma_j = - \sigma_j \sigma_i \qquad (j \neq i)</math>
なる積の規則に従う。これらの基本基底元が三次元空間のベクトルを表すものとすれば、ベクトル ''r'' の単位ベクトル ''w'' に直交する平面に関する'''鏡映''' (''reflection'') が
:<math>r' = - wrw</math>
で表され、二つの鏡映の合成はそれぞれの鏡映に対する平面同士のなす角の二倍の回転角をもつ回転を与えることから、
:<math>r'' = \sigma_2 \sigma_1 \, r \, \sigma_1 \sigma_2 </math>
は σ<sub>1</sub> と σ<sub>2</sub> とを含む平面における 180° 回転が対応する。これは四元数の対応する公式
:<math>r'' = -\mathbf{k}r\mathbf{k}</math>
とよく似ているが、実はこの二つは同一視できる。それには
:<math>\mathbf{k} = \sigma_2 \sigma_1, \mathbf{i} = \sigma_3 \sigma_2, \mathbf{j} = \sigma_1 \sigma_3</math>
と同一視して、かつこれがハミルトンの関係式
:<math>\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} = -1</math>
を保つことを確認すればよい。この描像において、四元数はベクトルではなく[[二重ベクトル]] (bivector) に対応する（これは一次元的な「向き」ではなくて、特定の二次元平面に付随する向きと大きさを持った量である）。また、複素数との関係もより明らかになる。つまり、二次元ではそれぞれ σ<sub>1</sub> と σ<sub>2</sub> の方向を持つ二つのベクトルに対して、ただ一つの基底二重ベクトル元 σ<sub>1</sub>σ<sub>2</sub> が存在するから、虚数単位は一つだけしかないが、ベクトルの方向が三つある三次元では、三つの二重ベクトル基底 σ<sub>1</sub>σ<sub>2</sub>, σ<sub>2</sub>σ<sub>3</sub>, σ<sub>3</sub>σ<sub>1</sub> が存在して、三つの虚数単位を持つ。

この理由付けはさらに拡張することができて、クリフォード代数 Cℓ<sub>4,0</sub>('''R''') においては、基本となるベクトルが相異なる四つの方向を持つから、従って平面を張る線型独立な組は六種類であり、二重ベクトル基底元は六つ存在する。このような空間において、[[回転子 (数学)|回転子]] (''rotor'') と呼ばれるそのような四元数の拡張を用いた回転は、[[斉次座標系]]を用いた応用において非常に有効である。しかし、三次元の場合に限っては、基底二重ベクトルの数と基底ベクトルの数が一致し、各二重ベクトルを[[擬ベクトル]]と同一視することができる。

ドルストらはこの広い設定において四元数の占める優位性を以下のように同定した<ref>[http://www.geometricalgebra.net/quaternions.html Quaternions and Geometric Algebra]. Accessed 2008-09-12.  See also: Leo Dorst, Daniel Fontijne, Stephen Mann, (2007), ''[http://www.geometricalgebra.net/index.html Geometric Algebra For Computer Science]'', [[Morgan Kaufmann]].  ISBN 0-12-369465-5</ref>：
* 回転子は幾何代数において自然であり何の不思議もないし、それが含む二重鏡映の情報を容易に理解できる。
* 幾何代数において、回転子とそれが作用する対象は同じ空間に属する。これにより表現を変える必要がなくなり、かつ新しいデータ構造や（四元数に関する線型代数学を要求する）方法を考える必要もなくなる。
* 回転子はベクトル元や他の四元数だけでなく、直線や平面、円、半直線など、この代数の任意の元に普遍的に適用可能である。
* ユークリッド幾何の[[共形幾何|共形]]モデルにおいて、回転子はこの代数の一つの元で回転、平行移動、拡大縮小を行ることができて、任意の元に普遍的に作用する。特にこれは、四元数の場合はその軸が原点を通るものに限られるのに対して、回転子は任意の軸の周りでの回転を表現できることを意味する。
* 回転子の示す変換は、特に直接的に解釈することができる。

クリフォード代数のさらに詳細な幾何学的描像は{{仮リンク|幾何代数|en|Geometric algebra}}の項を参照せよ。

== ブラウアー群 ==
{{see|ブラウアー群}}
四元数体 '''H''' は「本質的に」唯一の（非自明な）[[中心的単純環]]である。これは実数体上の任意の中心的単純環は '''R''' または '''H''' の何れかに[[ブラウアー同値]]（森田同値）であるという意味である。明確に述べれば、'''R''' の[[ブラウアー群]]は、'''R''' および '''H''' をそれぞれの代表元とする二つの同値類からなる。ここで、ブラウアー群というのは中心的単純環全体の成す集合を、一方の中心的単純環が他方の中心的単純環の上の全行列環となるという同値関係で[[違いを除いて|割って]]得られるものであった。[[アルティン・ウェダーバーンの定理]]（のウェダーバーンの部分）によって、任意の中心的単純環は何らかの斜体上の行列環となるから、従って四元数体が実数体上で唯一の非自明な多元体であることがわかる。

中心的単純環（[[体上の多元環|体上の環]]であって、それ自身が体同様に非自明な両側イデアルを持たないという意味で[[単純環]]であり、かつその中心が基礎体に一致するもの）は、[[体の拡大]]の非可換版の類似物であり、一般の環の拡大よりも限定的である。四元数体が実数体上の（同値を除いて）唯一の非自明な中心的単純環であるという事実は、複素数体が実数体上の唯一の非自明な拡大体であることに比肩する。

== 注記 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[オイラー角]]
*[[外積代数]]
*[[回転操作]]
*[[幾何代数]]
*[[球面線型補間]] (Slerp)
*[[クリフォード代数]]
*[[結合多元環]]
*[[三次元球面]]
*[[四元係数行列]]
*[[四元数群]]
*[[四元数とオイラー角との変換]]
*[[四元数と空間回転]]
*[[正八胞体]]
*[[双曲型四元数]]
*[[双四元数]]
*[[多元体]]
*[[超複素数系]]
*[[二重四元数]]
*[[八元数]]
*[[複素数]]
*[[フルヴィッツ四元整環]]
*[[フルヴィッツの四元数]]
*[[分解型四元数]]
*[[ベクトル解析]]
*{{仮リンク|ベルソル|en|Versor_(disambiguation)|}}
*[[四次元ユークリッド空間における回転]]
{{Div col end}}

== 参考文献 ==
=== 出版物 ===
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**{{Cite book|和書|author=H.D.エビングハウス|others=成木勇夫 訳|date=2012-09|title=数|edition=新装版|volume=〈下〉|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06387-3|ref={{Harvid|エビングハウス|2012}}}}
*{{Cite book|和書|author=[[ジョン・ホートン・コンウェイ|J.H.コンウェイ]]|coauthors=[[R.K.ガイ]]|others=[[根上生也]] 訳|date=2001-11|title=数の本|publisher=シュプリンガー・ジャパン|isbn=4-431-70770-0|ref={{Harvid|コンウェイ|ガイ|2001}}}}
**{{Cite book|和書|author=J.H.コンウェイ|coauthors=R.K.ガイ|others=根上生也 訳|date=2012-02|title=数の本|publisher=丸善出版|isbn=978-4-621-06207-4|ref={{Harvid|コンウェイ|ガイ|2012}}}}
*{{Cite book|和書|author=J.H.コンウェイ|coauthors=[[D.A.スミス]]|others=[[山田修司]] 訳|date=2006-11|title=四元数と八元数　幾何，算術，そして対称性|publisher=[[培風館]]|isbn=978-4-563-00369-2|ref={{Harvid|コンウェイ|スミス|2006}}}}
*{{Cite book|和書|author=[[今野紀雄]]|date=2016-11|title=四元数|publisher=[[森北出版]]|isbn=978-4-627-05441-7|ref={{Harvid|今野|2016}}}}
*{{Cite book|和書|author=[[堀源一郎]]|date=2007-11|title=ハミルトンと四元数　人・数の体系・応用|publisher=[[海鳴社]]|isbn=978-4-87525-243-6|ref={{Harvid|堀|2007}}}}
*{{Citation |first=William Rowan |last=Hamilton |author-link=ウィリアム・ローワン・ハミルトン |date=1844 |title=On quaternions; or on a new system of imaginaries in Algebra |journal=London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science |volume=25 |issue=169 |pages=489–495 |doi=10.1080/14786444408645047 |url=http://www.emis.ams.org/classics/Hamilton/OnQuat.pdf |format=PDF}}
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== 外部リンク ==
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*[http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/quaternion/ 四元数] - 物理のかぎしっぽ
*{{高校数学の美しい物語|title=四元数と三次元空間における回転|urlname=quaternion}}
*{{MathWorld|urlname=Quaternion|title=Quaternion}}

{{DEFAULTSORT:しけんすう}}
[[Category:超複素数系]]
[[Category:数学に関する記事]]