分散 (確率論)のソースを表示

'''分散'''（ぶんさん、{{lang-en-short|variance}}）とは、[[確率論]]では、[[確率変数]] {{mvar|X}} からその[[期待値]] {{math|''E''(''X'')}} を引いた2乗の期待値 {{math|1=''σ''<sup>2</sup> = ''V''(''X'') = ''E''[(''X'' &minus; ''E''(''X''))<sup>2</sup>]}} のこと{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=1.13 分散}}。[[確率変数]]の2次の[[モーメント (確率論)|中心化モーメント]]である。確率変数の[[確率分布|分布]]が[[期待値]]からどれだけ散らばっているかを示す非負の値である{{sfn|西岡|2013|loc={{google books quote|id=AUY2AgAAQBAJ|page=16|1.8  分散}}}}。

[[統計学]]では、[[記述統計学]]においては[[標本 (統計学)|標本]]が[[平均|標本平均]]からどれだけ散らばっているかを示す[[指標]]として'''標本分散'''（ひょうほんぶんさん、{{lang-en-short|sample variance}}）を、[[推測統計学]]においては'''不偏分散'''（ふへんぶんさん、{{lang-en-short|unbiased variance}}）・'''不偏標本分散'''（ふへんひょうほんぶんさん、{{lang-en-short|unbiased sample variance}}）を用いる。{{math|0}} に近いほど散らばりは小さい。

== 言葉の由来 ==
英語の {{lang|en|variance}}（バリアンス）という語は[[ロナルド・フィッシャー]]が1918年に導入した<ref>{{cite web
|url= http://jeff560.tripod.com/v.html
|title= Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (V)
|accessdate= 2016-01-24
}}</ref>。

== 確率変数の分散 ==
[[自乗可積分函数|2乗可積分]][[確率変数]] {{mvar|X}} の分散は[[期待値]]を {{math|''E''(&middot;)}} で表すと
:<math>V(X)=E\big((X-E(X))^{2}\big)</math>
で[[定義]]される。また式変形をして
:<math>V(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}</math>
とも書ける。また確率変数 {{mvar|X}} の[[特性関数]]を {{math|1=''&phi;''<sub>''X''</sub>(''t'') = ''E''(e<sup>''itX''</sup>)}} とおくと（{{mvar|i}} は[[虚数単位]]）、これは 2 階[[連続的微分可能]]で
:<math>V(X) = -\varphi_X''(0) + (\varphi_X'(0))^2</math>
と表示することもできる。

[[チェビシェフの不等式]]から、任意の[[正の数]] {{mvar|&epsilon;}} に対して、
:<math>P(|X-E(X)|>\varepsilon)\leq\frac{V(X)}{\varepsilon^{2}}</math>
が[[成立|成り立つ]]。これは分散が小さくなる程に[[期待値]]の近くに[[変数 (数学)|変数]]が[[分布]]することを示す大まかな[[評価]]である。

===性質===
{{math|''X'', ''X''<sub>1</sub>, &hellip;, ''X<sub>n</sub>''}} を[[確率変数]]、{{math|''a'', ''b'', ''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a<sub>n</sub>''}} を[[定数]]とし、[[共分散]]を {{math|Cov( &middot; ,  &middot; )}} で表すと
*<math>V(X) \ge 0 </math>（非負性）
*<math>V(X + b) = V(X) </math>（{{仮リンク|位置母数|en|location parameter}}に対する不変性）
*<math>V(aX) = a^2 V(X) </math>（[[斉次函数|斉次性]]）
*<math>\textstyle V(\sum_i a_i X_i) = \sum_{i, j} a_i a_j \operatorname{Cov}(X_i, X_j)</math>
を満たす。したがって、特に {{math|''X''<sub>1</sub>, &hellip;, ''X<sub>n</sub>''}} が[[独立 (確率論)|独立]]ならば、
:<math>
\operatorname{Cov}(X_i, X_j) = \begin{cases} 
  V(X_i) & i = j \\ 
  0      & \text{otherwise}
\end{cases}
</math>
より
:<math>V(X_1 + \dotsb + X_n) = V(X_1) + \dotsb + V(X_n)</math>
が成り立つ。

=== 例 ===
* {{mvar|X}} を[[一様分布]] {{math|''U''(''a'', ''b'')}} に従う[[確率変数]]とすると {{math|1=''V''(''X'') = {{sfrac|(''b'' &minus; ''a'')<sup>2</sup>|12}}}}
* {{mvar|X}} を[[正規分布]] {{math|''N''(''&mu;'', ''&sigma;''<sup>2</sup>)}} に従う確率変数とすると {{math|1=''V''(''X'') = ''&sigma;''<sup>2</sup>}}
* {{mvar|X}} を[[二項分布]] {{math|''B''(''n'', ''p'')}} に従う確率変数とすると {{math|1=''V''(''X'') = ''np''(1 &minus; ''p'')}}
* {{mvar|X}} を[[ポアソン分布]] {{math|Po(''&lambda;'')}} に従う確率変数とすると {{math|1=''V''(''X'') = ''&lambda;''}}

== 母分散 ==
{{mvar|n}} 個の[[データ]] {{math|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, ..., ''x{{sub|n}}''}} からなる[[母集団]]があって、{{mvar|&mu;}} をそのデータの[[平均#相加平均|相加平均]]とした時に、{{math|(''x{{sub|i}}'' − ''&mu;''){{sup|2}}}} の[[平均#相加平均|相加平均]]
:<math>{\sigma}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - \mu)^2</math>
で[[表現|表され]]る {{math|''&sigma;''{{sup|2}}}} を'''母分散'''（ぼぶんさん、{{lang-en-short|population variance}}）と言う<ref name="K">{{harvnb|栗原|2011|p={{google books quote|id=r5JIE8QbPbAC|page=47|47}}}}.</ref>。[[標本 (統計学)|標本]]ではなく[[母集団]]に対して適用したときに母分散という。標本と母集団の違いはそれぞれの項目を参照。

== 標本分散 ==
{{mvar|n}} 個の[[データ]] {{math|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, ..., ''x{{sub|n}}''}} からなる[[標本 (統計学)|標本]]があって、{{math|{{overline|''x''}}}} をそのデータの[[平均#相加平均|相加平均]]とした時に、{{math|(''x{{sub|i}}'' − {{overline|''x''}}){{sup|2}}}} の[[平均#相加平均|相加平均]]
:<math>s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - \bar{x})^2</math>
で定義される {{math|''s''{{sup|2}}}} を'''標本分散'''（ひょうほんぶんさん、{{lang-en-short|sample variance}}）と言う。{{mvar|s}} は[[標準偏差]]と呼ばれる<ref name="K" />。なお、[[#不偏分散・不偏標本分散|不偏標本分散]]を単に標本分散と呼ぶ文献もある。不偏でないことを強調する場合は'''偏りのある標本分散'''（{{lang-en-short|biased sample variance}}）と言う。日本工業規格では、「各観測値の平均値からの偏差の二乗の和を観測個数から1を引いた数で割ったばらつきの尺度」と定義している{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=2.19 標本分散}}。

[[定義]]より、
:<math>s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-(\bar{x})^{2}=\overline{x^{2}}-(\bar{x})^{2}</math>
となるから、標本分散は、2乗の[[平均#相加平均|相加平均]]と[[平均#相加平均|相加平均]]の2乗との差に[[等価|等しい]]。従って、この[[式]]を用いて分散の[[計算]]を容易にすることができる。ただし、概して求める分散に対して二乗平均が巨大になるため、[[浮動小数点数]]による[[近似]]計算を行う場合には大きな[[丸め誤差]]が生じる可能性がある（[[桁落ち]]）。このため、浮動小数点数を扱う場合には定義に従って偏差の二乗和を計算することが一般的である（あるいは一般の[[総和]]計算と同じく[[カハンの加算アルゴリズム]]や{{仮リンク|pairwise summation|en|pairwise summation}}のような手法により、誤差を小さくする工夫が為されることもある）。

=== 不偏分散・不偏標本分散 ===
{{see also|偏り}}
[[偏り]]のある[[#標本分散|標本分散]]は、一般にその[[期待値]]が[[#母分散|母分散]]よりも若干小さくなる。より正確には、平均と分散を持つ同一分布からの[[無作為標本]]に対して
:<math> E(s^2) = \left(1 - \frac{1}{n}\right) \sigma^2 </math>
が成り立つ。そこで[[推定量]]として
:<math>\hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^{2} - \frac{n}{n-1}\bar{x}^{2}</math>
を用いると、[[期待値]]が母分散に等しくなる推定量が得られる。
これを母分散の[[不偏推定量]]であるとの意味で'''不偏分散'''（ふへんぶんさん、{{lang-en-short|unbiased variance}}）や'''不偏標本分散'''（ふへんひょうほんぶんさん、{{lang-en-short|unbiased sample variance}}）と呼ぶ<ref name="K" />。定義から明らかに、標本数が大きくなるにつれて偏りのある標本分散は不偏標本分散に近づく。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=栗原伸一 |year=2011 |title=入門統計学検定から多変量解析・実験計画法まで |url={{google books|r5JIE8QbPbAC|plainurl=yes}} |publisher=[[オーム社]] |isbn=978-4-274-06855-3 |ref=harv
}}
* {{Cite book|和書 |author=西岡康夫 |year=2013 |title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計 |publisher=[[オーム社]] |url={{google books |AUY2AgAAQBAJ |plainurl=yes |isbn=978-4-274-21407-3 |ref=harv}}}}
* {{Cite book|和書 |author=[[日本数学会]] |year=2007 |title=数学辞典 |publisher=[[岩波書店]] |isbn=9784000803090}}
* {{Citation |year=1999 |title=JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 |publisher=[[日本規格協会]] |publisherlink=kikakurui.com |url=http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html |ref={{sfnref|JIS Z 8101-1 : 1999}}}}
* {{Cite book|和書 |author=[[伏見康治]] |year=1942 |title=確率論及統計論 |publisher=[[河出書房]] |isbn=9784874720127 |url=http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204 |ref={{sfnref|伏見}}}}

== 関連項目 ==
*[[標準偏差]]
*{{仮リンク|確率母関数|en|Probability-generating function}}
*[[分散分析]]
*[[推計統計学]]
*[[正規分布]]
*[[中心極限定理]]
*[[ブラウン運動]]

{{統計学}}

{{DEFAULTSORT:ふんさん}}
[[Category:確率論]]
[[Category:統計量]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:データ分析]]
[[Category:数学に関する記事]]