交換法則のソースを表示

{{混同|交替法則|x1=二つの演算が入れ替わる}}
{{出典の明記|date=2018年10月}}
[[初等代数学]]における'''交換法則'''（こうかんほうそく、{{lang-en-short|''commutative law''}}; '''可換則'''、'''交換律'''{{efn|交換性質を満たすことが定理として演繹される場合には「法則」、成り立つことが公理として要請される場合には「律」を使うことが多い。}}）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は'''可換性'''（''commutative property''; '''交換性質'''）を持つと言う。たとえば[[自然数]]に関する[[足し算]]や[[掛け算]]は交換法則を満たしている。
* 4 + 5 = 5 + 4 (両辺とも値は9である)
* 2 × 3 = 3 × 2 (両辺とも値は6である)
しかし引き算や割り算はそうではない。
* <math> 4 - 5 \neq 5 - 4</math>
* <math> 6 \div 3 \neq 3 \div 6</math>

その他に交換法則を満たすものとしては主に次のようなものがある。
* [[有理数]]、[[実数]]、[[複素数]]の加算や乗算
* [[行列]]、[[数ベクトル]]の加算
* [[集合]]の[[共通部分 (数学)|共通部分]]や[[合併 (集合論)|和集合]]
また、交換法則を満たさない主要な演算としては次のようなものがある。
* [[行列]]の乗算、3次元[[数ベクトル]]の[[ベクトル積|ベクトル外積]]
* [[写像]]の合成（例として関数の合成等）
* [[四元数]]の乗算
ただしベクトルの外積のように[[絶対値]]および絶対値に相当する数を考えたときに交換法則は成り立つものも多い。

== 歴史と語源 ==
[[File:Commutative Word Origin.PNG|right|thumb|250px|可換性の語の初出は1814年発行のフランスの雑誌である。]]

可換性質の暗黙的な使用は古代にさかのぼる。古代[[エジプト人]]は積の計算の簡素化に[[乗法]]の可換性を用いている{{sfn|Lumpkin|1997|p=11}}{{sfn|Robins|Shute|1987|p=?}}{{page needed|date=2018年10月}}し、[[エウクレイデス]]が著書『[[ユークリッド原論|原論]]』において乗法の可換性を仮定していたことはよく知られている<ref>O'Conner and Robertson, ''Real Numbers''</ref>。明示的なかたちで交換法則が立ち現れるのは、数学者により函数論が築かれ始める18世紀後半から19世紀初頭にかけてである。こんにちでは可換性は数学の大部分の分野でよく知られた基本性質として扱われている。

記録上 ''commutative'' の語が初めて現れるのは{{ill2|フランソワ゠ジョセフ・セルヴォワ|en|François-Joseph Servois|label=セルヴォワ}}の回顧録(1814年)で{{sfn|Cabillón|Miller|loc= ''Commutative and Distributive''}}{{sfn|O'Conner|Robertson|loc=''Servois''}}、現在では可換性と呼ばれる性質を持つ函数を記述するために ''commutatives'' の語が用いられている。語義はフランス語で「置き換え」や「入れ替え」を意味する ''commuter'' に「傾向がある」ことを意味する接尾辞 ''-ative'' が付いたものだから、字面通りに読めば「入れ替えようとするもの」である。

== 定義と語法 ==
「交換」あるいは「可換」("commutative") という語は（関連はあるが厳密には異なる）いくつかの意味で用いられる<ref>{{PlanetMath|title=Commutative|urlname=Commutative}}</ref><ref>{{MathWorld|title=Commutative|urlname=Commutative}}</ref>。「交換法則」や「可換律」のように言うとき、一般的にはそれは[[二項演算]]（あるいはより一般に[[二項関係]]や{{ill2|二変数写像|en|binary function}}）に結び付けられた性質のことを言うものと理解される。特定の演算を固定して考えるとき、その演算の引数となる二つの元で、交換法則の言う条件式を満足するものに対しては、それらの二元が（与えられた演算のもとで）「交換する」「可換である」(''commute'') と言い表す。

以下、[[集合]] {{mvar|E}} 上に[[二項演算]] {{math|∗}} が定められているものとして:
* {{mvar|E}} の二つの元 {{mvar|x, y}} が演算 {{math|∗}} のもと（互いに）'''交換する'''または'''可換である'''とは <math display="block"> x * y = y * x </math> を満たすときに言う。
* {{mvar|E}} の任意の二元 {{mvar|x, y}} が演算 {{math|∗}} のもと交換するとき、すなわち <math display="block">x * y = y * x\qquad(\forall x,y\in E)</math> が成り立つとき、演算 {{math|∗}} は'''交換法則'''を満足する、または'''可換である'''と言う。可換でない演算は'''非可換''' (''non-commutative'') であると言う。
より一般に、
* {{mvar|E}} の二つの部分集合 {{mvar|S, T}} が <math display="block">x * y = y * x\qquad(\forall x\in S, y\in T)</math> を満足するとき、{{mvar|S, T}} は'''元ごとに可換''' (''element-wise commute'') であるという。
* {{mvar|E}} の二つの部分集合 {{mvar|S, T}} が <math display="block">x * y = y' * x'\land y * x = x'' * y''\qquad(\forall x\in S, y\in T;\;\exists x',x''\in S, y',y''\in T)</math> を満足するとき、{{mvar|S, T}} は'''集合として可換''' (''commute as set'') であるという。{{efn|元 {{mvar|x}} と部分集合 {{mvar|S}} との積や、部分集合 {{mvar|S, T}} の積（{{ill2|部分集合の積|en|Product of group subsets|label=「積集合」}}）を <math display="block">\begin{align}x*S &:= \{x*s\mid s\in S\},& S*x &:=\{s*x\mid s\in S\},\\ S*T &= \{s*t\mid s\in S,t\in T\},& T*S &:=\{t*s\mid t\in T, s\in S\}\end{align}</math> と書くならば、{{mvar|S, T}} が集合として可換であることを <math display="block">x * y \in T * S \land y * x \in S * T\quad (\forall x\in S, y\in T)</math> や {{math|1=''S'' ∗ ''T'' = ''T'' ∗ ''S''}} と書くことができる。元と集合の可換性 {{math|1=''x'' ∗ ''S'' = ''S'' ∗ ''x''}} も元ごとなのか集合としてなのかで意味が異なる。}}

あるいはまた、
* {{ill2|二変数写像|en|binary function}} {{math|''f'': ''A'' × ''A'' → ''X''}} は、どの二元 {{mvar|x, y}} も交換するとき、すなわち <math display="block">f(x, y) = f(y, x)\qquad(\forall x,y\in A)</math> が成り立つとき、'''可換'''あるいは{{ill2|対称写像|en|symmetry function|label=対称}}であると言う。
* [[二項関係]] {{math|''R'' &sub; ''A'' × ''B''}} は、どの二元 {{mvar|x, y}} も交換するとき、すなわち <math display="block">x\mathrel{R}y = y\mathrel{R}x \qquad(\forall x\in A,y\in B)</math> が成り立つとき、交換可能あるいは'''[[対称関係|対称]]'''であると言う。

== 交換法則の遍在 ==
[[群論]]や[[集合論]]において、（複数の演算を持つ）さまざまな代数系が、それが持つ特定の演算が交換法則を満足するとき「可換」と呼ばれる。
* {{ill2|可換半群|en|commutative semigroup}}は可換で[[結合法則|結合的]]な全域的演算を持つ。
* 可換半群がさらに[[単位元]]を持つという性質を持てば{{ill2|可換モノイド|en|commutative monoid}}と言う。
* [[アーベル群]]または'''可換群'''はその群演算が可換であるような[[群 (数学)|群]]を言う{{sfn|Gallian|2006|p=34}}。
* [[可換環]]はその乗法が可換となる[[環 (数学)|環]]を言う（環の加法は常に可換である）{{sfn|Gallian|2006|p=236}}。
* [[可換体]]は加法と乗法がともに可換{{sfn|Gallian|2006|p=250}}。
それらの分野の結果を利用する他の分野、例えば[[解析学]]や[[線型代数学]]ではよくわかっている演算（例えば、実数や複素数に対する[[加法]]や[[乗法]]）は、いちいち断らなくても暗黙の仮定として証明等の中で縦横に用いられる{{sfn|Axler|1997|p=2}}{{sfn|Gallian|2006|pp=26,34,87}}

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}
== 参考文献 ==
*{{Cite book| first=Sheldon | last=Axler | title=Linear Algebra Done Right, 2e | publisher=Springer | year=1997 | isbn=0-387-98258-2}}
*{{Cite book|first=Joseph|last=Gallian|title=Contemporary Abstract Algebra, 6e|year=2006|isbn=0-618-51471-6|publisher=Houghton Mifflin|location=Boston, Mass.}}

* {{citation|url=https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf|last=Lumpkin|first=B.|year=1997|title= The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. |publisher=Unpublished manuscript.}}
* {{citation|first1=R. Gay |last1=Robins|first2= Charles C. D. |last2=Shute|year=1987| ''The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text''. London: British Museum Publications Limited. |isbn=0-7141-0944-4}}:''Translation and interpretation of the [[Rhind Mathematical Papyrus]].''

== 関連項目 ==
*[[結合法則]]
*[[分配法則]]
*[[加法]]
*[[乗法]]
*[[かけ算の順序問題]]

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|title=Commutative|urlname=Commutative}}
* {{MathWorld|title=Commutative|urlname=Commutative}}
* {{citation|last1=O'Conner|first1= J. J. |last2=Robertson|first2= E. F.|url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html |series=MacTutor history |chapter= real numbers}}: [[マックチューター数学史アーカイブ]]の実数の項
* {{citation|last1=Cabillón|first1= Julio |last2= Miller |first2= Jeff. |url=http://jeff560.tripod.com/c.html|title= Earliest Known Uses Of Mathematical Terms}}
* {{citation|last1=O'Conner|first1= J. J. |last2=Robertson|first2= E. F.|url= http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html |series=MacTutor biography |chapter=François Servois}}: マックチューターにあるサヴォワの文献集

{{デフォルトソート:こうかんほうそく}}
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[[Category:数学の法則]]
[[Category:数学に関する記事]]