二次方程式の解の公式のソースを表示

[[File:Quadratic formula.svg|thumbnail|二次方程式の解の公式]]
[[初等代数学]]において、二次方程式にはその解を求める一般的な公式（'''二次方程式の解の公式'''、{{lang-en-short|''Quadratic formula''}}; 二次の公式）が存在する。[[因数分解]]や[[平方完成]]、[[グラフ (関数)|グラフを書く]]など解の公式を使う以外にも二次方程式を解くためには方法があるが、しばしば二次方程式の解の公式を使うことが最も便利な方法である。

二次方程式の一般形は
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
である。ここで {{mvar|x}} は未知数であり、{{mvar|a, b, c}} は定数である（ただし {{mvar|a}} は 0 ではない）。解の公式が実際に解を与えることを、方程式に代入することで確かめることができる。二次方程式の解の公式によって与えられるそれぞれの解は[[多項式の根|根]]と呼ばれる。

== 解の公式の導出 ==
[[平方完成]]を理解していれば、二次方程式の解の公式を導出することができる<ref>{{citation | title= Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra | first1= Barnett | last1= Rich | first2= Philip | last2= Schmidt | publisher= The McGraw–Hill Companies | year= 2004 | isbn=0-07-141083-X | url= {{google books|id=8PRU9cTKprsC|plainurl=1}}}}</ref>{{rp|at= {{google books quote|id=8PRU9cTKprsC|pg=PA291|p. 291,  Chapter 13 §4.4}}}}<ref>{{citation|last=Li |first= Xuhui |title= An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving| publisher= ProQuest |year= 2007 | quote= The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square.}}</ref>{{rp|56}}。このため、二次方程式の解の公式の導出は学生に課題として与えられることがあり、この課題を行うことで学生はこの重要な公式を再発見することが可能なのである<ref>{{citation|last= Rockswold |first= Gary |title= College algebra and trigonometry and precalculus | publisher= Addison Wesley |year=2002}}</ref>{{rp|178}}<ref>{{citation| first1= Edwin F. |last1= Beckenbach | fisrt2= Irving | last2= Drooyan | fisrt3= Michael D. |last3= Grady |title= Modern college algebra and trigonometry |publisher= Wadsworth Pub. |year= 1986}}</ref>{{rp|81}}。陽に導出すれば次の通り。  

''a'' が0でないことから、 ''a'' で割ることが可能である。二次方程式を ''a'' で割る。
:<math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0.</math>
''c''/''a'' を等式の両辺から引く。すると次のようになる。
:<math>x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}.</math>
この二次方程式は[[平方完成]]が適用可能な形となっている。よって、等式の両辺に定数を足し、等式の左辺を平方完成とする。
:<math>x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2,</math>
これを変形する。
:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}</math>.

最後に、右辺の項を変形し公分母を得ることで、次の式を得る。
:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.</math>
等式が平方完成された。等式の両辺の[[平方根]]を取ることで次の式を得る。 
:<math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
''x'' イコールの形に直すことで二次方程式の解の公式を得る。
:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
この[[プラスマイナス記号]] "±" は次の2つを示している。
:<math> x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{and}\quad x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
これらは二次方程式の解である<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url={{google books|id=2toggaqJMzEC|plainurl=1}}}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=2toggaqJMzEC|pg=PA219|text=quadratic formula|219}}}}。この導出以外にも様々な導出方法があり、それぞれ多少の違いがあるが、ほとんどのものが<math>a</math>の操作に関するものである。

一部の文献、特に古いものでは 
<math>ax^2-2bx+c=0</math><ref name="kahan">{{Citation |first=Willian |last=Kahan |title=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic |url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf |date=November 20, 2004 |accessdate=2012-12-25}}</ref>や <math>ax^2+2bx+c=0</math><ref>{{ProofWiki|urlname=Quadratic_Equation#Also_defined_as |title=Quadratic Equation}}</ref>のような異なるパラメータ表示をしていることがあるが、この場合bはより一般的な表示の 1/2 の大きさである。このような表示では解を多少異なる形で導くが、その他の点では同じである。

なお、日本の高校数学の教科書では、xの係数が偶数の場合の解の公式として、
:<math>x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac\ }}{a}. (b=2b')</math>

が紹介されている。

== 発展の歴史 ==
[[File:Scuola di atene 07.jpg|thumb|upright|[[ラファエロ・サンティ|ラファエロ]]の[[アテナイの学堂]]の中の[[ユークリッド]]。]]
二次方程式に解を与える最初期の方法は幾何学的であった。バビロニアの[[楔形文字|くさび形文字]]で書かれた文字板には二次方程式を解くことに単純化可能な問題が含まれていた<ref>{{Cite book|last=Irving|first=Ron|title=Beyond the Quadratic Formula|url={{google books|id=CV_UInCRO38C|plainurl=1}}|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|ref=harv}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=CV_UInCRO38C|pg=PA|text=reduce to solving quadratic|34}}}}。エジプト中王国の時代 (2050 [[紀元前|BC]] to 1650 BC) にまで遡る、エジプトの{{ill2|ベルリン・パピルス6619|en|Berlin Papyrus 6619|label=ベルリンパピルス}}には二項の二次方程式の解が含まれていた<ref>{{Cite book|first= I. E. S. | last1= Edwards | first2= C. J. | last2= Gadd | first3= N. G. L. | last3= Hammond |title=The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East|url= {{google books|id=slR7SFScEnwC|plainurl=1}}|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=slR7SFScEnwC|pg=PA530|530}}}}。

ギリシャの数学者ユークリッド（およそ 300 BC）は[[ユークリッド原論|原論]]という自身の著作のなかで二次方程式を解くのに幾何学的方法を使った。原論は非常に大きな影響を与えた数学の学術文献である{{sfn|Irving|2013|p={{google books quote|id=CV_UInCRO38C|pg=PA39|39}}}}。およそ200 BCの中国の[[九章算術]]には二次方程式に対する解法が登場する<ref name=Aitken>{{Cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=A Chinese Classic: The Nine Chapters|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|accessdate=28 April 2013}}</ref><ref>{{Cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=History of Mathematics|url={{google books|id=uTytJGnTf1kC|plainurl=1}}|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=uTytJGnTf1kC|pg=PA380|380}}}}。ギリシャの数学者[[ディオファントス]]（およそ 250 BC）は、自身の著作[[算術 (書物)|算術]]において二次方程式を解いたが、彼の手法はユークリッドの幾何学的手法と比較してより代数学的であったとされる{{sfn|Irving|2013|p={{google books quote|id=CV_UInCRO38C|pg=PA39|39}}}}。ディオファントスの解は、たとえ2つの根が共に正であってもひとつの根のみを与える{{sfn|Smith|1958|p={{google books quote|id=12qdOZ0gsWoC|pg=PA134|134}}}}。 

[[インドの数学|インドの数学者]]である[[ブラーマグプタ]] (597–668 AD)は自身の学術文献 ''{{ill2|Brāhmasphuṭasiddhānta|en|Brāhmasphuṭasiddhānta}}'' の中で明示的に二次方程式の解の公式を示した。Brāhmasphuṭasiddhāntaは628 ADに出版されたが<ref name=Bradley>{{citation|last= Bradley |first= Michael |title= The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300 | publisher= Infobase Publishing |year= 2006}}</ref>{{rp|86}}、記号（symbol）ではなく言葉を使って書かれていた<ref>{{citation| last= Mackenzie |first= Dana |title= The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations | publisher= Princeton University Press |year= 2012}}</ref>{{rp|61}}。ブラーマグプタによる二次方程式 <math>ax^2+bx=c</math> の解法は「絶対数に平方{{interp|の係数}}の四倍を掛け、中間項{{interp|の係数}}の平方を加え、同平方根をとって中間項{{interp|の係数}}を引いてから、平方{{interp|の係数}}の二倍で割ったものが、その値である」<ref name=Stillwell2004>{{Cite book |last=Stillwell |first=John |title=Mathematics and Its History (2nd ed.) |year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1|quote=To the absolute number multiplied by four times the [coefficient of the] square, add the square of the {{interp|coefficient of the}} middle term; the square root of the same, less the [coefficient of the] middle term, being divided by twice the {{interp|coefficient of the}} square is the value.}}</ref>{{rp|87}}というもので、これは式で書けば
:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}</math>
ということである。初期のギリシャおよびインドの数学者に影響を受けた9世紀のペルシャの数学者[[フワーリズミー]]は、二次方程式を代数的に解いた{{sfn|Irving|2013|p={{google books quote|id=CV_UInCRO38C|pg=PA42|42}}}}。すべてのケースに対して有効な二次方程式の解の公式は[[1594年]]に[[シモン・ステヴィン]]によって最初に得られた<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref>{{rp|470}}。[[1637年]]には[[ルネ・デカルト]]によって "{{ill2|La Géométrie|en|La Géométrie}}" が出版されたが、この本には今日私たちが知っている形式で二次方程式の解の公式が収録されている。一般解が現代的な数学の学術文献に初めて登場したのは論文 {{harvtxt|Heaton|1896}} のなかで言及されたものである<ref name="heaton-1896">{{citation|first=Henry|last=Heaton|year=1896 |url= http://www.jstor.org/stable/info/2971099 | title= A Method of Solving Quadratic Equations | journal= American Mathematical Monthly | volume= 3 | issue= 10 |pages= 236–237 |doi=10.2307/2971099 |ref=harv}}</ref>。

== 参考文献 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|30em}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=QuadraticFormula|title=Quadratic Formula}}
* {{PlanetMath|urlname=QuadraticFormula|title=quadratic formula}}
* {{nlab|urlname=quadratic+formula|title=quadratic formula}}
* {{ProofWiki|urlname=Quadratic_Formula|title=Solution to Quadratic Equation}}

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[[category:代数学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]