ルベーグ積分のソースを表示

{{Calculus |Integral}}
[[File:Integral-area-under-curve.svg|thumb|正値関数の積分は曲線の下部（図の青く塗られた部分）の面積と解釈できる。]]

[[数学]]において、一変数の非負値[[関数 (数学)|関数]]の[[積分]]は、最も単純な場合には、その[[関数のグラフ]]と {{mvar|x}} 軸の間の[[面積]]と見なすことができる。'''ルベーグ積分'''（ルベーグせきぶん、{{lang-en-short|Lebesgue integral}}）は、より多くの関数を積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は[[連続関数|連続]]である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として[[無限大]]をとることがあってもよい。さらに、関数の[[定義域]]も拡張され、[[測度空間]]と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。

数学者は長い間、十分[[滑らかな関数|滑らか]]なグラフを持つ非負値関数、例えば[[有界集合|有界]][[閉集合|閉]][[区間 (数学)|区間]]上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、[[多角形]]によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかしながら、より不規則な関数を考える必要が、例えば[[解析学]]や[[確率論]]において[[関数の極限|極限]]を考えるときに生じたため、より注意深い近似の手法が適切な積分を定義するために必要なことが明らかとなった。また、[[局所コンパクト群]]のような、実数直線よりも一般の空間上で積分をしたいことがある。ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、[[フーリエ級数]]などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかを[[リーマン積分]]で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。

ルベーグ積分は[[実解析]]と呼ばれる数学の分野に属する確率論や、他の多くの数理科学分野において、重要な役割を果たす。ルベーグ積分という名前は、その積分を導入した数学者[[アンリ・ルベーグ]]{{sfn|Lebesgue|1904}}<ref>H. Lebesgue (1902), ''Intégrale, longueur, aire'', Ann. Mat. Pura Appl., (3) '''7''',  231–359.</ref> (Henri Lebesgue, 1875–1941) に由来している。それはまた{{仮リンク|公理的確率論|en|axiomatic theory of probability}}の中枢部でもある。

「ルベーグ積分」(Lebesgue integration) という用語は、[[カラテオドリ]]に始まる一般の[[測度]]に関する関数の積分の一般論を意味することもあるし、[[ルベーグ測度]]に関して[[実数直線]]（あるいは {{mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間]]）の特定の部分集合（特に[[ルベーグ可測集合]]）上定義された[[ルベーグ可測関数]]を積分するという特定の場合を意味することもある{{sfn|伊藤|1963|p=78|ps=&mdash;「なお，初めに述べた一般の測度空間での積分を Lebesgue 式積分または単に Lebesgue 積分ということもある」}}。

== 導入 ==
積分を厳密なものにしようという動きは、[[19世紀]]からである。[[ベルンハルト・リーマン]]が提案したリーマン積分はこの目的に向けて大きな前進であった。リーマンは関数の積分を「簡単に計算できる積分」で近似することによって定義した。この定義による積分は、それまで解答が知られていた問題に対してそのままの結果をもたらしたし、他の問題に対しては新しい結果を与えることになった。しかし、リーマン積分は関数列の極限と相性が悪く、積分と極限が同時に現れるような場面では解析が困難な場合がある。それに対して、ルベーグ積分は、積分記号の下での極限がより扱いやすくなっている。ルベーグ積分は、リーマン積分と異なる形の「簡単に計算できる積分」を考えており、このことがルベーグ積分がリーマン積分よりよく振舞う理由となっている。さらに、ルベーグ積分ではリーマン積分より広い種類の関数に対して積分を定義することが可能になっている。例えば、無理数で 0 を有理数で 1 をとる関数（[[ディリクレの関数]]）を[[閉区間]] [0, 1] 上で考えると、リーマン積分では積分が定義されないが、ルベーグ積分では積分できる。

=== 直感的な解釈 ===
[[Image:RandLintegrals.png|thumb|250px|リーマン積分（青）とルベーグ積分(赤)]]
積分の定義方法の違いを直感的に理解できるように、山の（海抜より上の部分の）体積を計算する例を考えよう。この山の境界ははっきりと定まっているとする（これが積分範囲である）。

;リーマン積分による方法
:ケーキを切るときのように、山を縦方向に切り分けて細分する。このとき、各パーツの底面は長方形になるようにする。次に、各パーツで最も標高が高いところを調べ、底面の面積とその標高を掛け合わせる。各パーツごとに計算したその値を足したものを、上リーマン和と呼ぶことにする。同様のことを、最も標高が低いところに対して行い、下リーマン和と呼ぶことにする。分割を細かくしていったときに、上・下のリーマン和が同じ値に収束するときに、リーマン積分可能であるといい、その極限値が山の体積になる。
;ルベーグ積分による方法
:山の等高線を地図にする。等高線にそって地図を裁断して、地図をいくつかのパーツに分解する。各パーツは面積を計算できる平面図形なので（測度が分かっているので）、パーツの面積とそのパーツの最も低い点の標高を掛け合わせる。各パーツのこの値を足したものを「ルベーグ和」と呼ぶことにする。この「ルベーグ和」はルベーグ積分の構成にあった、単関数の積分に相当する。等高線の間隔を半分にしていったときの「ルベーグ和」の極限値が山の体積になる。

=== 例 ===
有理数体 '''Q''' の定義関数 1<sub>'''Q'''</sub>（[[ディリクレの関数]]）を考える。この関数は至るところ不連続である。

* 1<sub>'''Q'''</sub> '''は''' [0, 1] '''上でリーマン可積分ではない''': [0, 1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
* 1<sub>'''Q'''</sub> '''は''' [0, 1] '''上でルベーグ可積分である''': 集合の定義関数の積分は定義より
*:<math> \int_{[0,1]} 1_{\mathbf{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbf{Q} \cap [0,1]) = 0</math>

=== 定義のための準備 ===
ルベーグ積分を定義するためには、きちんとした[[測度 (数学)|測度]]の概念が必要になる（これは言ってみれば、実数からなる集合 {{mvar|A}} に対し、集合 {{mvar|A}} の「大きさ」となる非負の実数 {{math|''μ''(''A'')}} を割り当てるものである）。ここでいう「大きさ」というのは、区間や区間の非交和に対してはそれらの通常の意味での「長さ」に一致するべきものである。さて函数 {{math|''f'': '''ℝ''' → '''ℝ'''{{sup|+}}}} は非負実数値函数であるものとして、「{{mvar|f}} の値域を分割する」という哲学のもと、{{mvar|f}} の積分は {{math|''y'' {{=}} ''t''}} と {{math|''y'' {{=}} ''dt'' + ''t''}} の間にある水平な細い帯状領域が占める基本面積を {{mvar|t}} に関して加えた総和となるものである。このような基本面積はちょうど <math display="block">\mu(\{x\mid f(x)>t\})\mathit{dt}</math> に等しい。ここに <math display="block">f^*(t) := \mu(\{x\mid f(x)>t\})</math> と置けば、{{mvar|f}} のルベーグ積分は <math display="block">\int f\,d\mu = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math> と定義される{{sfn|Lieb|Loss|2001}}（ただし、右辺の積分は[[広義リーマン積分]]の意味でとる。{{mvar|f*}} が非負の単調増大函数であり、したがって区間 {{closed-closed|0, ∞}} に値をとる広義リーマン積分が定まることに注意する）。適当なクラスに属する函数（[[可測函数]]）に対して、これはルベーグ積分を定義する。

一般の（非負とは限らない）可測函数 {{mvar|f}} がルベーグ可積分となるのは、{{mvar|f}} のグラフと {{mvar|x}}-軸に囲まれた領域の面積が有限、つまり <math display="block">\int |f|\,d\mu < + \infty</math> となるときである。この場合の積分の値は（リーマン積分のときと同様に）{{mvar|x}}-軸より上にある面積から {{mvar|x}}-軸より下にある面積を引いた　<math display="block">\int f \,d\mu = \int f^+ \,d\mu - \int f^- \,d\mu</math> で与えられる。ここで、<math display="inline">f=f^+ - f^-</math> は {{mvar|f}} の二つの非負値函数への分解であり、各々は <math display="block">\begin{align}
 f^+(x)&=\max\{f(x),0\} & &{}=\begin{cases}
               f(x), & \text{if } f(x) > 0, \\
               0, & \text{otherwise}
             \end{cases}\\
 f^-(x)&=\max\{-f(x),0\} & &{}=\begin{cases}
               -f(x), & \text{if } f(x) < 0, \\
               0, & \text{otherwise.}
             \end{cases}
\end{align}</math> と与えられる（[[正成分と負成分]]の項を参照）。

== 構成法 ==
ルベーグ積分論は、可測集合とその上の測度に関する理論（測度論）と可測函数とその積分に関する理論（積分論）の二段構えになっている。 

=== 測度論 ===
{{main|測度論}}
当初、測度論は[[線分]]、[[平面図形]]、[[立体]]などの[[長さ]]、[[面積]]、[[体積]]などの精密な解析のために考え出されたものである {{harv|Lubesgue|1902}}。特に 実数全体の集合 '''R''' の部分集合について、その部分集合の長さとは何か、という問いに対して整然とした解答を与えるものであった。

[[集合論]]の発展によって、自然な加法性を持ち、平行移動不変になるように、実数体 '''R''' のすべての部分集合に長さを定義することが不可能であることがわかった。このことにより、可測集合と呼ばれる種類の部分集合にのみ長さを定義する必要が生まれた。測度が満たすべき適当な条件については[[測度論]]を参照されたい。

現代では測度と積分は公理的に定義される。測度というのは、集合 ''X'' の適当な条件を満たす部分集合の[[族 (数学)|族]] Σ 上で定義された適当な条件を満たす関数 ''μ'' であれば何でもよく、''X'' が[[ユークリッド空間]]であったり、Σ の[[元 (数学)|元]]が面積を計算したい[[図形]]であったりする必要はないし、''μ'' の値が面積とかけ離れたものでもよい。そこで、ユークリッド空間の図形の面積を与える測度は特別に[[ルベーグ測度]]という名前がついている。

リーマン積分では長方形 [''a'', ''b''] &times; [''c'', ''d''] の面積が (''b'' − ''a'')(''d'' − ''c'') で計算できることを基礎としている。リーマン積分は積分を近似するための「簡単に計算できる積分」として、長方形を並べたものを使っており、測度に関するより深い議論を必要としなかったのである。

=== 可測函数 ===
{{main|可測函数}}
[[測度空間]]として (''X'', ''M'', ''μ'') が与えられたとする。例えば、''X'' として[[ユークリッド空間]]、''M'' をルベーグ可測集合全体、''μ'' としてルベーグ[[測度]]などが考えられる。[[確率論]]においては測度空間として ''μ''(''X'') = 1 であるような測度空間（[[確率空間]]）を使う。

ルベーグ積分において、被積分関数になる関数は可測関数と呼ばれる関数である。''X'' 上で定義された[[実数]]または±∞に値をとる関数 ''f'' が可測関数あるいは ''M''-可測関数であるとは、[[任意]]の実数 ''a'' について (''a'', +∞] = (''a'', +∞) ∪ {+∞} の ''f'' による逆像が ''M'' に属すること：
:<math>f^{-1}((a,\infty]) \in M</math>
が成り立つことである。[[複素数]]値関数は、その[[実部]]と[[虚部]]が共に可測関数のとき、可測関数あるいは ''M''-可測関数であるという。このように関数の可測性を定めれば、可測関数の全体からなる集合は代数的な操作（和、差、積、商、実数倍または複素数倍）に関して閉じていることが分かる。可測関数の全体の集合は、実数体または複素数体の上の[[線型空間]]を成すことも分かる。また、[[完全加法族]] ''M'' の性質から、'''R''' ∪ {+∞, −∞} の任意の部分集合 ''I'' の可測関数 ''f'' による逆像 ''f''<sup>−1</sup>(''I'') も ''M'' に属することも分かる。重要なことは、多くの関数列の極限に関して閉じていることである。例えば、可測関数の列 ''f''<sub>''k''</sub> に対して
:<math>\varliminf_{k\in\mathbb{N}}f_k,\quad\varlimsup_{k\in\mathbb{N}}f_k</math>
で与えられる関数もまた可測関数になる。従って、可測関数列が各点収束していれば極限関数もまた可測関数である。

{{mvar|X}} の部分集合 {{mvar|E}} 上定義された実数値可測函数 {{mvar|f}} に対する積分 <math display="block">\int_E f\,d\mu = \int_E f(x)d\mu(x)</math> を定義するにはいくつか方法がある。

=== 積分の構成 ===
[[File:Lebesgueintegralsimplefunctions.svg|right|thumb|単函数による近似]]
ルベーグ積分の定式化の一つの方法として、[[単函数]]（有限個の[[指示函数]]の実係数線型結合）を用いるものがある。単函数は、可測函数の値域を帯状に分割することにより、可測函数を近似することができる。単函数の積分は各帯状領域の測度にその高さを掛けたものに等しい。非負値をとる一般の可測函数の積分はその函数の単函数による近似の[[上限]]として定義され、非負と限らない場合には函数を[[正成分と負成分]]の二つの非負値函数の差に分解してそれらの積分の差として可測函数の積分を定義する。

==== 集合の定義関数の場合 ====
与えられた測度 {{mvar|μ}} に関する可測集合 {{mvar|S}} に対して、{{mvar|S}} の[[指示関数|定義関数]] <math> 1_S</math> の積分を <math display="block">\int_X 1_S\,d\mu := \mu(S)</math> とする。測度 {{mvar|μ}} が[[有限測度]]でない限り、この積分値が {{math|+∞}} となる場合があることに注意する。以下積分が {{math|+∞}} となる場合も許して、「積分が存在する」と言うことにする。

==== 単関数の場合 ====
実数の[[定数]]列 {{mvar|a{{sub|k}}}} と {{mvar|μ}}-可測集合列 {{mvar|S{{sub|k}}}} から作られる、[[有限]][[線型結合]] <math display="block">\sum_k a_k1_{S_k}</math> を可測単函数と呼ぶ。可測単函数の積分は、指示函数の積分を線型に拡張したもので与えられる。より詳しく書けば、非負値可測単函数（すなわち {{math|''a{{sub|k}}'' > 0 (∀''k'')}} の場合）に対する積分は <math display="block">\int_X \Bigl(\sum_k a_k1_{S_k}\Bigr)\,d\mu := \sum_k a_k \int_X 1_{S_k}\,d\mu = \sum_k a_k\mu(S_k)</math> で定める。ここで、{{math|0 × ∞}} の不定形が生じる場合が想定できるが、規約として {{math|1=0 × ∞ = 0}} を用いるものとする。また前目と同じく積分は {{math|∞}} となり得る。

与えられた単函数を指示函数の線型結合として表す方法が複数あったとしても、上記のように[[well-defined|定義した積分が常に同じ値となる]]ことに留意する。これは測度の加法性からくるものである。

非負とは限らない一般の実数値単函数の場合も同様なのであるが、不定形 {{math|∞ − ∞}} の値は「定義しない」（あるいは「無意味」）として扱うので、それが現れることは避けなければならない。よって、非負とは限らない {{mvar|f}} であってもそれを <math display="block">f=\sum _k a_k 1_{S_k}</math> と表したとき「{{math|''a{{sub|k}}'' ≠ 0}} となる場合には必ず {{math|''μ''(''S{{sub|k}}'') < ∞}}」とできるという仮定を満たすものであれば、上で述べた積分の定義式は意味を為し、非負値の場合と同様に表し方に依らず定まる。

{{mvar|X}} の可測部分集合 {{mvar|B}} と可測単函数 {{mvar|s}} に対して、積分領域 {{mvar|B}} 上の {{mvar|s}} の積分は <math display="block">\int _{B}s\,d\mu =\int 1_{B}\,s\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B)</math> で与えられる。

==== 非負値の場合 ====
:非負値可測関数（+&infin; も値として許す） ''f'' の積分を
::<math>\int_X f\,d\mu = \sup_{s\uparrow f}\{\int_X s\,d\mu \mid s\colon\text{ simple, non-negative}\}</math>
:で定める。
==== 不定符号の場合 ====
{{seealso|正成分と負成分}}
拡張実数値（実数以外に {{math|&plusmn;&infin;}} も値として許す）可測函数 {{mvar|f}} の積分は {{mvar|f}} を正成分　{{mvar|f{{sup|+}}}} と負成分 {{mvar|f{{sup|&minus;}}}} の差 <math display="block">f = f^+ - f^-</math> に分解する（ここに {{math|1=''f''{{sup|+}}(''x'') = max{{mset|''f''(''x''), 0}}, ''f''{{sup|&minus;}}(''x'') = &minus;min{{mset|0, ''f''(''x'')}}}} であり、これらおよび <math display="inline">|f| = f^+ + f^-</math> が非負可測函数となることに注意する）ことで<math display="block">\int_X f\,d\mu := \int_X f^+d\mu - \int_X f^-d\mu</math>と定義される。左辺の積分が（{{math|&plusmn;∞}} の場合も許して）存在するためには、右辺の二つの積分のうちいずれか一つでも有限値でありさえすればよいことに留意すべきである。しかし、{{mvar|f}} が'''{{vanc|ルベーグ可積分}}'''であるというときには、左辺が（存在するだけでなく）有限確定値であることを要求する。非負とは限らない（拡張）実数値可測函数 {{mvar|f}} がルベーグ可積分となるための必要十分条件は <math display="block">\int_X f^+\,d\mu < \infty \land \int_X f^-\,d\mu < \infty \qquad(\iff \int_X \mathopen|f\mathclose|d\mu < \infty)</math>となることである。絶対値の積分が有限確定であるという意味で{{ill2|絶対可積分函数|label=絶対可積分|en|absolute integrable}}ともいう。

==== 複素数値の場合 ====
複素数値可測函数の場合も同様で、積分は函数を実部と虚部の和に分解することで定義できる。複素数値可測函数 {{mvar|h}} が実数値ルベーグ可積分函数 {{mvar|f, g}} を用いて {{math|1=''h'' = ''f'' + ''ig''}} と書けるならば、{{mvar|h}} の積分は <math display="block"> \int_X h \, d\mu = \int f \, d\mu + i \int g \, d\mu</math> で定義される。

複素数値可測函数がルベーグ可積分となるための必要十分条件は、その絶対値がルベーグ可積分となることである。

=== 積分領域 ===
ルベーグ積分における技術的な目的のために、その積分領域は（可測空間の適当な部分集合という）「集合」であり、そのために積分領域は[[向き]]を持たないことに留意すべきである。初等的な微分積分学では、積分する向きを反映して <math display="block">\int_b^a f := - \int_a^b f</math> と定義するし、さらにこれを高階の[[微分形式]]の積分の場合にまで一般化するのであった。これと対照に、ルベーグ積分は「部分集合を測度に関して積分する」という別な方向への一般化を与えるのである。一次元で積分区間が {{math|1=''A'' = {{closed-closed|''a'', ''b''}}}} であるとき、<math display="block">\int_A f\,d\mu = \int_{[a,b]} f\,d\mu</math> のように書くことで、それが部分集合 {{closed-closed|''a'', ''b''}} での積分であるということを示唆することは可能である。{{math|''a'' > ''b''}} のとき閉区間 {{mvar|A}} は空集合であるから、その場合の積分値は {{math|0}} である。

== ルベーグ積分における定理 ==
ルベーグ積分においては[[零集合]]の上でのみ異なる値をとる関数を区別しない。
正確に言うと、関数 ''f'' と ''g'' が[[ほとんど至るところ]]等しいとは
:<math> \mu(\{x : f(x) \neq g(x)\}) = 0 </math>
をみたすことであり、
:<math> f = g \quad\text{a.e.}</math>
と書く。

* 非負値可測関数 (+&infin; を関数値として許す) ''f'' と ''g'' がほとんど至るところ等しいならば
*:<math> \int_E f\, d \mu =  \int_E g\, d \mu. </math>
* 可測関数 (&plusmn;&infin; を関数値として許す) ''f'' と ''g'' がほとんど至るところ等しいならば、''f'' が可積分であることと ''g'' が可積分であることは同値であり、積分の値は等しい。

ルベーグ積分は以下の性質を持っている。

[[線型性]]: 可積分関数 ''f'', ''g'' と実数 ''a'', ''b'' に対して、''af'' + ''bg'' も可積分になり
:<math> \int_E (a f + bg) \,d\mu = a \int_E f \,d\mu + b \int_E g \,d\mu\,</math>

[[単調性]]: 0 &le; ''f'' &le; ''g'' ならば
:<math> \int_E f \,d \mu \leq  \int_E g\, d \mu</math>

[[単調収束定理]]: {''f''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''∈'''N'''</sub> を非負値可測関数の増大列とする。つまり
:<math> 0\leq f_k(x) \leq f_{k+1}(x) \quad \forall k\in \mathbb{N}, \text{ a.e. }\ x \in E. </math>
このとき
:<math> \lim_k \int f_k \,d\mu = \int \lim_k f_k \,d\mu. </math>
が成立する。

注意: 左辺または右辺の一方が正の無限大に発散すれば、もう一方の辺も同様である。

[[ファトゥーの補題]]: {''f''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''∈'''N'''</sub> を非負値可測関数の列とする。このとき
:<math> \int \varliminf_k f_k \,d\mu  \leq  \varliminf_k \int f_k \,d\mu</math> 
が成立する。

この定理においては左辺が正の無限大に発散すれば、右辺も正の無限大に発散する。

[[ルベーグの収束定理]]: {''f''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''∈'''N'''</sub> を可測関数の列で ''f'' に[[概収束]]するとし、可積分関数 ''g'' によって、 ''E'' のほとんど至るところで任意の ''k'' に対して |''f''<sub>''k''</sub> | &le; ''g''と上下から押さえられているとする。このとき、極限関数 ''f'' も可積分であり
:<math> \lim_k \int f_k \,d\mu = \int f \,d\mu</math>
が成立する。

== 他の定式化 ==
{{seealso|ダニエル積分}}
[[測度論]]を全く使わない方法としては、リーマン積分は[[コンパクト空間|コンパクト]][[関数の台|台]]を持つ任意の連続関数に対して定まっているので、関数解析の手法を用いることでより一般の関数にこの積分を拡張する方法がある。''C<sub>c</sub>'' を '''R''' 上定義された実数値関数でコンパクト台を持つもの全体とする。ノルムをリーマン積分を用いて
: <math> \|f\| = \int |f(x)| \,dx </math>
により定める。

これにより ''C<sub>c</sub>'' は[[線形ノルム空間]]となる。[[完備距離空間|距離空間の完備化]] (Hausdorff completion) によって[[完備]]な空間に拡張したものを ''L''<sup>1</sup> とする。この空間はルベーグ可積分な関数からなる空間と（ほとんど至るところ等しい関数は同一視したとして）[[同型]]となる。さらに、リーマン積分は ''C<sub>c</sub>'' 上の連続な[[線形]][[汎関数]]であり、''C<sub>c</sub>'' は ''L''<sup>1</sup> の[[稠密]]な部分空間であるから、''L''<sup>1</sup> 上の線形汎関数にただ一通りに拡張できる。この拡張は、ルベーグ積分と一致する。

この方法の問題点は関数を空間の点として定めていることであり、この抽象的な点を関数として表現する方法が[[自明]]ではないことである。とりわけ、関数列の各点[[収束]]と積分との関係を示すことは非常に難しい。このアプローチを一般化して[[局所コンパクト空間]]上の[[ラドン測度]]に関する積分の理論を構築することができる。これは {{harvtxt|Bourbaki|2004}} によって採用されたアプローチである。詳細は[[ラドン測度#局所コンパクト空間上のラドン測度|局所コンパクト空間上のラドン測度]]を参照。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book |last= Bourbaki |first= Nicolas |authorlink = Nicolas Bourbaki |title= Integration. I. Chapters 1–6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian |series= Elements of Mathematics (Berlin) |publisher= Springer-Verlag |location= Berlin |year= 2004 |pages= xvi+472 |isbn= 3-540-41129-1 |nopp= true |mr= 2018901 |ref= harv}}
* {{citation |和書 |last=伊藤 |first= 清三 |title= ルベーグ積分入門 |publisher= 裳華房 |year=1963 |ref= harv}}
* {{citation |last= Lebesgue|first= Henri |authorlink= Henri Lebesgue |title= Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives |publisher= Gauthier-Villars |year= 1904 |publication-place= Paris |ref= harv}}
* {{cite book|last1=Lieb|first1=Elliott|authorlink1=Elliott H. Lieb|last2=Loss|first2=Michael|author2-link=Michael Loss|title=Analysis|year=2001|edition=2nd|publisher=[[American Mathematical Society]]|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=14|isbn=978-0821827833| ref= harv}}

== 関連文献 ==
{{参照方法|date=2016年7月|section=1}}
*[[高木貞治]]『定本 解析概論』[[岩波書店]]
* [[寺澤順]]『はじめてのルベーグ積分』[[日本評論社]]
* [[猪狩惺]]『[[実解析]]入門』岩波書店
*「[[数学セミナー]]」2010年8月号、日本評論社（「実解析」とは何か）
* [[新井仁之]]『ルベーグ積分講義』日本評論社, 2003
* [[森真]]『ルベーグ積分超入門』[[共立出版]]
* [[松浦武信]]・[[高橋宣明]]・[[吉田正廣]]『物理・工学のためのルベーグ積分入門』[[東海大学]]出版会
* [[谷島賢二]]『ルベーグ積分と関数解析』[[朝倉書店]]
* [[谷島賢二]]『新版 ルベーグ積分と関数解析』[[朝倉書店]]
* [[黒田成俊]]『関数解析』[[共立出版]]
* [[伊藤清三]], ルベーグ積分入門,[[裳華房]], 1963
* [[竹之内脩]], ルベーグ積分, [[培風館]], 1980
* R. M. Dudley, ''Real Analysis and Probability'', Wadsworth & Brookes/Cole, 1989. <ref group="*">Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.</ref>
* P. R. Halmos, ''Measure Theory'', D. van Nostrand Company, Inc. 1950. <ref group="*">A classic, though somewhat dated presentation.</ref>
* L. H. Loomis, ''An Introduction to Abstract Harmonic Analysis'', D. van Nostrand Company, Inc. 1953.  <ref group="*">Includes a presentation of the Daniell integral.</ref>
* H. Lebesgue, ''Oeuvres Scientifiques'', L'Enseignement Mathématique, 1972
* M. E. Munroe, ''Introduction to Measure and Integration'', Addison Wesley, 1953. <ref group="*">Good treatment of the theory of outer measures.</ref>
* W.  Rudin, ''Principles of Mathematical Analysis'' Third edition, McGraw Hill, 1976. <ref group="*"> Known as ''Little Rudin'', contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as [[Fubini's theorem]].</ref>
* W.  Rudin, ''Real and Complex Analysis'',  McGraw Hill, 1966. <ref group="*">Known as ''Big Rudin''. A complete and careful presentation of the theory.  Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.</ref>
----
{{reflist|group="*"}}

== 関連項目 ==
* [[積分|積分法]]
* [[完全加法族]]
* [[測度]]
* [[ルベーグ測度]]
* [[零集合]]
* [[実解析]]
{{integral}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=LebesgueIntegral|title=Lebesgue Integral}}
* {{nlab|urlname=Lebesgue+integration|title=Lebesgue integration}}
* {{PlanetMath|urlname=LebesgueIntegral|title=Lebesgue integral}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Lebesgue_Integral|title=Definition:Lebesgue Integral}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Integral_of_Integrable_Function|title=Definition:Integral of Integrable Function}}
* {{SpringerEOM|urlname=Lebesgue_integral|title=Lebesgue integral|first=I.A.|last=Vinogradova}}

{{DEFAULTSORT:るへえくせきふん}}
[[Category:測度論]]
[[Category:積分法]]
[[Category:数値積分]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]