リーマン・ロッホの定理のソースを表示

{{要改訳}}
{{正確性|date=2016-08}}
'''リーマン・ロッホの定理'''（リーマン・ロッホのていり、{{lang-en-short|Riemann–Roch theorem}}）とは、[[複素解析学]]や[[代数幾何学]]などで用いられる、閉[[リーマン面]]上の複素解析と曲面の[[種数]]とを結びつける定理である。特定の位数の[[零点]]と[[極 (複素解析)|極]]をもつ[[有理型関数]]空間の次元計算に役立つ。

まず、[[ベルンハルト・リーマン]]が{{harvtxt|Riemann|1857}}で'''リーマンの不等式'''(Riemann's inequality)を証明した。そして短い間ではあったが、リーマンの学生であった[[グスタフ・ロッホ]]が、{{harvtxt|Roch|1865}}で決定的な形に到達した。その後、この定理は[[代数曲線]]上や高次元[[代数多様体]]に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。
<!---The '''Riemann–Roch theorem''' is an important tool in [[mathematics]], specifically in [[complex analysis]] and [[algebraic geometry]], for the computation of the dimension of the space of [[meromorphic function]]s with prescribed zeroes and allowed [[pole (complex analysis)|poles]]. It relates the complex analysis of a connected [[Compact space|compact]] [[Riemann surface]] with the surface's purely topological [[genus (mathematics)|genus]] ''g'', in a way that can be carried over into purely algebraic settings.

Initially proved as '''Riemann's inequality''' by {{harvtxt|Riemann|1857}}, the theorem reached its definitive form for Riemann surfaces after work of [[Bernhard Riemann|Riemann]]'s short-lived student {{harvs|txt|authorlink=Gustav Roch|first=Gustav|last=Roch|year=1865}}. It was later generalized to [[algebraic curve]]s, to higher-dimensional [[algebraic variety|varieties]] and beyond.-->

{{toclimit|limit=3}}

== 準備 ==

===リーマン面===
{{main|リーマン面}}
[[File:Triple torus illustration.png|thumb|種数 3 の閉リーマン面]]
[[リーマン面]] X とは、局所的には複素数の集合 '''C''' の開部分集合と同相である[[位相空間]]を言う；加えて、これらの開集合の間に[[正則]]な[[アトラス (多様体)|変換写像]]があることが要請される。正則性条件により '''C''' 上の[[正則関数]]や[[有理型関数]]を扱う[[複素解析学]]の考え方や方法を曲面 X へ移すことが可能となる。[[コンパクト空間|コンパクト]]なリーマン面を'''閉リーマン面'''という。

閉リーマン面の'''[[種数]]''' g とは、くだけた言い方をするとハンドル（把手）の数のことである。例えば右の図に示した閉リーマン面の種数は 3 である。より正確には、種数は1次[[ベッチ数]]の半分として、つまり、複素係数1次[[特異ホモロジー群]] H<sub>1</sub>(X, '''C''') の '''C'''-次元の半分として定義される。種数は閉リーマン面を[[同相]]の違いを除いて{{仮リンク|分類理論|label=分類|en|Classification theorem}}する。すなわち、閉リーマン面が同相であること（ただし[[微分同相]]である必要はない）と、種数が等しいこととは同値である。したがって、種数は閉リーマン面の基本的な位相不変量である。他方、[[ホッジ理論]]は、X の種数と X 上の正則[[1形式]]がなす空間の('''C'''-)次元とが一致することを示しているので、種数はリーマン面の複素解析的な情報を持っているともいえる{{sfn|Griffiths|Harris|1994|pp=116&ndash;117}}。
<!---A [[Riemann surface]] ''X'' is a [[topological space]] that is locally homeomorphic to an open subset of '''C''', the set of complex numbers. In addition, the [[transition map]]s between these open subsets are required to be [[holomorphic]]. The latter condition allows to transfer the notions and methods of [[complex analysis]] dealing with holo- and [[meromorphic function]]s on '''C''' to the surface ''X''. For the purposes of the Riemann–Roch theorem, the surface ''X'' is always assumed to be [[compact topological space|compact]]. Colloquially speaking, the [[Genus_(mathematics)|genus]] ''g'' of a Riemann surface is its number of handles; for example the genus of the Riemann surface shown at the right is three. More precisely, the genus defined as half of the first [[Betti number]], i.e., half of the '''C'''-dimension of the first [[singular homology]] group H<sub>1</sub>(''X'', '''C''') with complex coefficients. The genus [[Classification theorem|classifies]] compact Riemann surfaces [[up to]] [[homeomorphism]], i.e., two such surfaces are homeomorphic (but not necessarily [[diffeomorphic]]) if and only if their genus is the same. Therefore, the genus is an important topological invariant of a Riemann surface. On the other hand, [[Hodge theory]] shows that the genus coincides with the ('''C'''-)dimension of the space of holomorphic one-forms on ''X'', so the genus also encodes complex-analytic information about the Riemann surface.<ref>Griffith, Harris, p. 116, 117</ref> -->

===因子===
{{main|因子 (代数幾何学)}}
'''因子'''とは、曲面 X 上の点を基底とする[[自由アーベル群]] Div(X) の元、つまり、曲面上の点に関する整数係数の形式的な有限和である。因子 D の係数がすべて非負であるものは'''有効因子'''と呼ばれ、D &ge; 0 と表される。

閉リーマン面 X 上の[[有理型関数]] f &ne; 0 に対し、因子 (f) を次で定める。
:<math>(f):=\sum_{z \in R(f)} s_z z</math>
ここで台 R(f) は f のすべての零点と極からなる集合で、係数 s<sub>z</sub> は
:<math>s_z := a</math> （ z が[[零点|位数]] a の零点のとき）
:<math>s_z := -a</math> （ z が[[極 (複素解析)|位数]] a の極のとき）
で与えられる。
<!---A [[Divisor (algebraic geometry)#Weil divisor|divisor]] ''D'' is an element of the [[free abelian group]] on the points of the surface. Equivalently, a divisor is a finite linear combination of points of the surface with integer coefficients.

Any meromorphic function ''f'' gives rise to a divisor denoted (''f'') defined as

:<math>(f):=\sum_{z_\nu \in R(f)} s_\nu z_\nu</math>

where ''R''(''f'') is the set of all zeroes and poles of ''f'', and ''s<sub>ν</sub>'' is given by

:<math>s_\nu :=\begin{cases} a  & \text{if } z_\nu \text{ is a zero of order }a \\
                           -a & \text{if } z_\nu \text{ is a pole of order }a. \end{cases}</math>-->
この台 R(f) は有限集合であることが知られている；これは X がコンパクトであることと、（ゼロでない）正則関数の零点集合は[[集積点]]を持たないという事実（[[一致の定理]]）の結果である。したがって (f) は[[well-defined]]である。この形の因子を'''主因子'''と呼ぶ。また主因子の分だけ異なる因子は'''線型同値'''であるという。

また、因子 D の'''次数'''、つまり、D のすべての係数の和を deg(D) で表す。主因子の次数は 0 であることが示せるので{{sfn|Jost|2006|loc={{google books quote|id=RXftCAAAQBAJ|page=227|Lemma 5.4.1}}}}、因子の次数は線型同値類にのみ依存している。
<!---The symbol ''deg''(''D'') denotes the ''degree'' (occasionally also called index) of the divisor ''D'', i.e. the sum of the coefficients occurring in ''D''. It can be shown that the divisor of a global meromorphic function always has degree 0, so the degree of the divisor depends only on the linear equivalence class. -->

有理型[[微分形式|1形式]] &omega; = f dz &ne; 0 の因子 (&omega;) も同様に、つまり (&omega;) = (f) で定義される。大域的な有理型1形式の因子を（記号 K で普通表し）'''[[標準因子]]'''と呼ぶ。任意の有理型1形式の因子は線型同値なので、標準因子は線型同値を除いて一意に定まる（よって、''標準''因子と呼ぶ）。
<!---The set ''R''(''f'') is known to be finite; this is a consequence of ''X'' being compact and the fact that the zeros of a (non-zero) holomorphic function do not have an [[accumulation point]]. Therefore, (''f'') is well-defined. Any divisor of this form is called [[principal divisor]]. Two divisors that differ by a principal divisor are called [[linearly equivalent]]. The divisor of a meromorphic [[1-form]] is defined similarly. A divisor of a global meromorphic 1-form is called the [[canonical divisor]] (usually denoted ''K''). Any two meromorphic 1-forms will yield linearly equivalent divisors, so the canonical divisor is uniquely determined up to linear equivalence (hence "the" canonical divisor). -->

次で定義される '''C''' 上のベクトル空間 L(D) の次元 <math>l(D)</math> は基本的な量である：
:<math> L(D) = \{\, 0 \neq f \in M(X) \mid (f) + D \ge 0 \,\} \cup \{ 0 \}. </math>
ここで M(X) は閉リーマン面 X 上の有理型関数のなす体である。つまり、もし点 z で因子 D の係数 s<sub>z</sub> が負ならば関数 0 &ne; f &isin; L(D) は点 z で位数が &minus;s<sub>z</sub> 以上の零点を持ち、正ならば点 z で位数が s<sub>z</sub> 以下の極を持つ。因子の線型同値類は、自然に多重度を通して大域的有理型関数と同型となる（スカラー倍を除外して）。
<!---The number ''l''(''D'') is the quantity that is of primary interest: the [[Dimension (vector space)|dimension]] (over '''[[complex number|C]]''') of the vector space of meromorphic functions ''h'' on the surface, such that all the coefficients of (''h'') + ''D'' are non-negative. Intuitively, we can think of this as being all meromorphic functions whose poles at every point are no worse than the corresponding coefficient in ''D''; if the coefficient in ''D'' at ''z'' is negative, then we require that ''h'' has a zero of at least that [[Multiplicity (mathematics)#Multiplicity of a root of aa polynomial|multiplicity]] at ''z'' – if the coefficient in ''D'' is positive, ''h'' can have a pole of at most that order. The vector spaces for linearly equivalent divisors are naturally isomorphic through multiplication with the global meromorphic function (which is well-defined up to a scalar).-->

== 古典的なリーマン・ロッホの定理 ==

=== 主張 ===
<math>X</math> を種数 g の閉リーマン面、K を標準因子とすると、任意の因子 <math>D \in \operatorname{Div}(X)</math> に対し
:<math>l(D) - l(K - D) = \deg(D) + 1 - g</math>
が成り立つ{{sfn|Jost|2006|loc={{google books quote|id=RXftCAAAQBAJ|page=227|Theorem 5.4.1}}}}。

===解説===
典型的には <math>l(D)</math> が興味のある量であり、 <math>l (K - D)</math> は補正項と考えることができる。（'''特殊指数'''とも呼ぶ{{sfn|Mukai|2003|loc={{google books quote|id=oUcMZbiM7eAC|page=295|Definition 9.16}}}}。）したがって、定理は大まかに言い換えると、

:'''次元''' &minus; '''補正''' = '''次数''' + 1 &minus; g.

特に補正項 <math>l (K - D)</math> は非負であるから

:<math>l(D)\ge \deg(D) + 1 - g</math>

となる。これを'''リーマンの不等式'''と呼ぶ。定理の中の「ロッホの部分」は、不等式の両辺の間のありうる差異の記述の部分である。種数 g のリーマン面の標準因子 K は次数 2g &minus; 2 であり、因子を定める有理型1形式の取り方には依存しない。これは、定理中で D = 0 とすればよい。特に、D の次数が 2g &minus; 1 以上のとき補正項は 0 となるので、

:<math>l(D) = \deg(D) + 1 - g </math>

となる。

以下では、種数が小さいときに定理の説明をしている。他にも密接に関連した定理が数多くあり、この定理の定式化と同値な[[直線束]]を使った定式化や、代数曲線への定理を一般化定理がある。
<!---Typically, the number ''l''(''D'') is the one of interest, while ''l''(''K'' &minus; ''D'') is thought of as a correction term (also called index of speciality<ref>Stichtenoth p.22</ref><ref>Mukai pp.295-297</ref>) so the theorem may be roughly paraphrased by saying
:''dimension'' &minus; ''correction'' = ''degree'' &minus; ''g'' + 1.
The correction term ''l''(''K'' &minus; ''D'') is always non-negative, so that

:''l''(D) &ge; ''deg''(''D'') &minus; ''g'' + 1.

This is called ''Riemann's inequality''. ''Roch's part'' of the statement is the description of the possible difference between the sides of the inequality. On a general Riemann surface of genus ''g'', K has degree 2''g'' &minus; 2, independently of the meromorphic form chosen to represent the divisor. This follows from putting ''D'' = 0 in the theorem. In particular, as long as ''D'' has degree at least 2''g'' &minus; 1, the correction term is 0, so that

:''l''(D) = ''deg''(''D'') &minus; ''g'' + 1.

The theorem will now be illustrated for surfaces of low genus. There are also a number other closely related theorems: an equivalent formulation of this theorem using line bundles and a generalization of the theorem to algebraic curves.-->

===例===
閉リーマン面上の点 P をとり、次の数列を考えることで種数が小さいときに定理の説明する。
:<math> l(nP) \qquad (n \ge 0) </math>
すなわち、この値は、点 P を除く各点で正則であり、点 P で位数が n 以下の極を持つ関数のなす空間の次元である。したがって n = 0 の場合、関数は曲面 X 全体で正則な関数、つまり[[整関数]]であることが要求される。[[リウヴィルの定理 (解析学)|リウヴィルの定理]]から、そのような関数は定数関数に限るので、 <math>l(0) = 1</math>となる。一般に、数列 <math>l(nP)</math> は増加列である。
<!---===Examples===
The theorem will be illustrated by picking a point ''P'' on the surface in question and regarding the sequence of numbers
:''l''(''n'' &middot; ''P''),  ''n'' &ge; 0
i.e., the dimension of the space of functions that are holomorphic everywhere except at ''P'' where the function is allowed to have a pole of order at most ''n''. For ''n'' = 0, the functions are thus required to be [[entire function|entire]], i.e., holomorphic on the whole surface ''X''. By [[Liouville's theorem (complex analysis)|Liouville's theorem]], such a function is necessarily constant. Therefore ''l''(0) = 1. In general, the sequence ''l''(''n'' &middot; ''P'') is an increasing sequence.-->

====種数が 0 の場合====
[[リーマン球面]]（または、[[複素射影直線]]ともいう）は、[[単連結空間|単連結]]であるので、その1次特異ホモロジーはゼロである。特に、種数はゼロである。リーマン球面は、'''C''' の 2つのコピーで被覆することができ、{{仮リンク|変換写像|en|transition map}}は次の式で与えられる。
:<math>\mathbf C^\times \ni z \mapsto 1/z.</math>
したがって、'''C''' ひとつのコピー上の微分形式 &omega; = dz は、リーマン球面上の有理型微分形式に拡張される。これは
:<math>d\left(\frac{1}{z}\right) = -\frac 1{z^2} dz</math>
より無限遠点に位数2の極を持っている。したがって、その因子は K = (&omega;) = &minus;2P （ここに P は無限遠点）である。

したがって、定理より、数列 l(nP) は

:1, 2, 3, ... 

である。この列は[[部分分数分解]]から導出することも可能である。逆に、この列がこのように始まると種数 g はゼロとなる。
<!---The [[Riemann sphere]] (also called [[complex projective line]]) is [[simply-connected]] and hence its first singular homology is zero. In particular its genus is zero. The sphere can be covered by two copies of '''C''', with [[transition map]] being given by
:<math>\mathbf C^\times \ni z \mapsto 1/z.</math>
Therefore the form &omega; = d''z'' on one copy of '''C''' extends to a meromorphic form on the Riemann sphere: it has a double pole at infinity, since
:<math>d(1/z) = -\frac 1{z^2} dz.</math>
Thus, its divisor ''K'' := div(&omega;) = &minus;2''P'' (where ''P'' is the point at infinty).

Therefore, the theorem says that the sequence ''l''(''n'' &middot; ''P'') reads

:1, 2, 3, ... .

This sequence can also be read off from the theory of [[partial fraction]]s. Conversely if this sequence starts this way, then ''g'' must be zero.-->

====種数が 1 の場合====
[[File:Torus cycles.png|thumb|トーラス]]
次は[[トーラス]] '''C'''/&Lambda; のような閉リーマン面の種数が g = 1 の場合である。ここで、&Lambda; は2-次元の[[格子 (数学)|格子]]（群としては、 '''Z'''<sup>2</sup> に同型）である。その種数は1であり、1次特異ホモロジー群は、右の図に示した2つのループにより自由に生成された群である。'''C''' 上の標準的な座標 z は、いたるところ正則（つまり、極を持たない）な X 上の1-形式 &omega; = dz を与える。したがって、標準因子 K は (&omega;) であり、ゼロである。

曲面上で、数列 l(nP) は、
:1, 1, 2, 3, 4, 5 ... 
であり、これは種数 g = 1 を特徴付ける。実際、因子 D = 0 に対し、上で述べたように、l(K &minus; D) = l(0) = 1 となる。n > 0 である D = nP に対して、K &minus; D の次数は、負の値であるので、補正項は 0 である。次元の列は、[[楕円関数]]論から導くこともできる。
<!---[[File:Torus cycles.png|right|thumb|A torus.]]
The next case is a Riemann surface of genus ''g'' = 1, such as a [[torus]] '''C''' / &Lambda;, where &Lambda; is a two-dimensional [[lattice (group)|lattice]] (a group isomorphic to '''Z'''<sup>2</sup>). Its genus is one: its first singular homology group is freely generated by two loops, as shown in the illustration at the right. The standard complex coordinate ''z'' on '''C''' yields a one-form &omega; = d''z'' on ''X'' that is everywhere holomorphic, i.e., has no poles at all. Therefore, ''K'', the divisor of &omega; is zero.

On this surface, this sequence is 

:1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

and this characterises the case ''g'' = 1. Indeed, for ''D'' = 0, ''l''(''K'' &minus; ''D'') = ''l''(0) = 1, as was mentioned above. For ''D'' = ''nP'' with ''n'' > 0, the degree of ''K'' &minus; ''D'' is strictly negative, so that the correction term is 0. The sequence of dimensions can also be derived from the theory of [[elliptic function]]s.-->

====種数が 2 以上の場合====
種数 g = 2 の場合は数列 l(nP) は、
:1, 1, ?, 2, 3, ... 
である。このことから、次数 2 の ？ のついた項が、点 P に依って 1 または 2 になることを示そう。種数 2 の場合には、その数列が 1, 1, 2, 2, ... となるような点がちょうど 6つの存在して、残りの点では一般の列 1, 1, 1, 2, ... となる。特に、種数 2 の曲線のことを[[超楕円曲線]]という。g > 2 に対して数列は、ほとんどの点で g + 1 個の1から始まり、そのほかとなる点は有限個しか存在しない（{{仮リンク|ヴァイエルシュトラスの点|en|Weierstrass point}}(Weierstrass point)を参照）。
<!---====Genus two and beyond====
For ''g'' = 2, the sequence mentioned above is 

:1, 1, ?, 2, 3, ... .

It is shown from this that the ? term of degree 2 is either 1 or 2, depending on the point. It can be proven that in any genus 2 curve there are exactly six points whose sequences are 1, 1, 2, 2, ... and the rest of the points have the generic sequence 1, 1, 1, 2, ... In particular, a genus 2 curve is a [[hyperelliptic curve]]. For ''g'' > 2 it is always true that at most points the sequence starts with ''g+1'' ones and there are finitely many points with other sequences (see [[Weierstrass point]]s).-->

==直線束のリーマン・ロッホの定理==
リーマン面上の因子と[[正則ベクトルバンドル|正則直線束]]の間の密接な対応関係を使い、異なってはいるが同値な方法で述べることもできる。L を X 上の正則直線束とする。<math>H^0(X,L)</math> で L の正則切断の空間を表すとする。この空間は有限次元となるので、この空間の次元を <math> h^0(X,L)</math> で表すとする。K で X 上の[[標準バンドル]]を表す。すると、リーマン・ロッホの定理は、次のように記述できる。

:<math>h^0(X,L)-h^0(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.</math>

前の章の定理は、L が{{仮リンク|ポイントバンドル|en|point bundle}}のときの特別な場合である。定理は K の g 正則切断や X 上の[[微分形式|1-形式]]が存在していること示すことにも適用できる。L を自明バンドルとすると、X 上の唯一の正則関数は定数関数であるので、<math> h^0(X,L)=1</math> である。L の次数はゼロで、<math>L^{-1}</math> は自明バンドルである。このようにして次が得られる。

:<math>1-h^0(X,K)=1-g.</math>  

したがって、<math>h^0(X,K)=g</math> であり、g 正則 1-形式が存在することを証明したこととなる。
<!---===Riemann-Roch for line bundles===
Using the close correspondence between divisors and [[holomorphic line bundle]]s on a Riemann surface, the theorem can also be stated in a different, yet equivalent way: let ''L'' be a holomorphic line bundle on ''X''. Let <math>H^0(X,L)</math> denote the space of holomorphic sections of ''L''. This space will be finite-dimensional; its dimension is denoted <math> h^0(X,L)</math>. Let ''K'' denote the [[canonical bundle]] on ''X''. Then, the Riemann–Roch theorem states that

:<math>h^0(X,L)-h^0(X,L^{-1}\otimes K)=\textrm{deg}(L)+1-g.</math>

The theorem of the previous section is the special case of when ''L'' is a [[point bundle]]. The theorem can be applied to show that there are ''g'' holomorphic sections of ''K'', or [[one-form]]s, on ''X''. Taking ''L'' to be the trivial bundle, <math> h^0(X,L)=1</math> since the only holomorphic functions on ''X'' are constants. The degree of ''L'' is zero, and <math>L^{-1}</math> is the trivial bundle. Thus, 

:<math>1-h^0(X,K)=1-g.</math>  

Therefore, <math>h^0(X,K)=g</math>, proving that there are ''g'' holomorphic one-forms.-->

==代数曲線のリーマン・ロッホの定理==
リーマン面上の因子のリーマン・ロッホ定理の上の定式化の対象はすべて、[[代数幾何学]]に類似するものがある。リーマン面の類似物は、体 k 上の{{仮リンク|非特異代数多様体|label=非特異|en|non-singular variety<!-- リダイレクト先の「[[:en:Singular point of an algebraic variety]]」は、[[:ja:代数多様体の特異点]] とリンク -->|FIXME=1}}[[代数曲線]] C である。用語の差異（曲線 vs. 曲面）は、実[[多様体]]としてはリーマン面の次元は 2 であるが、[[複素多様体]]である点である。リーマン面がコンパクトであることは、代数曲線が{{仮リンク|完備多様体|label=完備|en|complete variety}}であるという条件と並行して議論することができ、条件は[[射影多様体|射影的]]であることに同値である。一般的な体 k 上には、特異（コ）ホモロジーの考え方はないので、いわゆる、[[小平次元#脚注|幾何種数]]が次のように定義される。
:<math>g(C) := \dim_k \Gamma(C, \Omega^1_C)</math>
つまり、この式の値は、大域的に定義された（代数的）1-形式の空間の次元である（[[ケーラー微分]]を参照）。結局、リーマン面の有理型関数は局所的には正則関数の分数として表現される。したがって、それらは[[代数多様体の射]]{{efn|もとは、regular mapであり、アフィン代数多様体の間の多項式の写像や対応関係のことを言う。regular mapの訳語として、『代数多様体の射』という用語に置き換えた。regular mapは、'''正則写像'''と言う。}}の局所的な分数である[[有理関数]]に置き換えることができる。上と同じように、曲線上の有理関数 ''f'' で <math>(f)+D\geq 0</math> となるもの全体のなすベクトル空間の次元を <math>l(D)</math> とかくと、
上とまったく同じ公式が成り立つ。
:<math>l(D) - l(K - D) = \deg(D) + 1 - g.</math>
deg ''D'' &ge; 2''g'' -1 のときに
:<math>l(D)=\deg(D)+1-g</math>
が成り立つことも上と同様である。
ここに C は[[代数的閉体]] k 上の射影的な非特異代数曲線である。事実、同じ公式が任意の体の上の射影曲線に対して成立する。ただし、因子の次数を、基礎体の可能な拡張と因子をサポートする点の[[剰余体]]からくる[[重複度 (数学)|重複度]]を考えに入れる<ref>{{Citation | last1=Liu | first1=Qing | title=Algebraic Geometry and Arithmetic Curves | publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-850284-5 | year=2002}}, Section 7.3</ref>。 結局、[[アルティン環]]の上の固有曲線に対して、因子に付随する直線束のオイラー標数は、（近似的に定義された）因子の次数と構造層 <math>\mathcal O</math> のオイラー標数により与えられる<ref>{{Citation | last1=Altman | first1=Allen | last2=Kleiman | first2=Steven | title=Introduction to Grothendieck duality theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics, Vol. 146 | year=1970}}, Theorem VIII.1.4., p. 164</ref>。
<!---===Riemann-Roch theorem for algebraic curves===
Every item in the above formulation of the Riemann–Roch theorem for divisors on Riemann surfaces has an analogue in [[algebraic geometry]]. The analogue of a Riemann surface is a [[non-singular variety|non-singular]] [[algebraic curve]] ''C'' over a field ''k''. The difference in terminology (curve vs. surface) is because the dimension of a Riemann surface as a real [[manifold]] is two, but one as a complex manifold. The compactness of a Riemann surface is paralleled by the condition that the algebraic curve be [[complete variety|complete]], which is equivalent to being [[projective variety|projective]]. Over a general field ''k'', there is no good notion of singular (co)homology. The so-called [[geometric genus]] is defined as
:<math>g(C) := dim_k \Gamma(C, \Omega^1_C)</math>
i.e., as the dimension of the space of globally defined (algebraic) one-forms (see [[Kähler differential]]). Finally, meromorphic functions on a Riemann surface are locally represented as fractions of holomorphic functions. Hence they are replaced by  [[rational function]]s which are locally fractions of [[regular function]]s. Thus, writing ''l''(''D'') for the dimension (over ''k'') of the space of rational functions on the curve whose poles at every point are not worse than the corresponding coefficient in ''D'', the very same formula as above holds:
:''l''(''D'') &minus; ''l''(''K'' &minus; ''D'') = ''deg''(''D'') &minus; ''g'' + 1.
where ''C'' is a projective non-singular algebraic curve over an [[algebraically closed field]] ''k''. In fact, the same formula holds for projective curves over any field, except that the degree of a divisor needs to take into account [[multiplicity (mathematics)|multiplicities]] coming from the possible extensions of the base field and the [[residue field]]s of the points supporting the divisor.<ref>{{Citation | last1=Liu | first1=Qing | author1-link=Qing Liu | title=Algebraic Geometry and Arithmetic Curves | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-850284-5 | year=2002}}, Section 7.3</ref> Finally, for a proper curve over an [[Artinian ring]], the Euler characteristic of the line bundle associated to a divisor is given by the degree of the divisor (appropriately defined) plus the Euler characteristic of the structural sheaf <math>\mathcal O</math>.<ref>* {{Citation | last1=Altman | first1=Allen | last2=Kleiman | first2=Steven | author2-link=Steven Kleiman | title=Introduction to Grothendieck duality theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics, Vol. 146 | year=1970}}, Theorem VIII.1.4., p. 164</ref>-->

定理の中の滑らかさの前提は緩めることができて、代数的閉体の上の（射影的な）曲線に対し、それらのすべての局所環は[[ゴレンシュタイン環]]であり、上と同じステートメントが成立し、上記で定義した[[小平次元#脚注|幾何種数]]が[[小平次元#脚注|算術種数]]より g<sub>a</sub> 置き換えることができる。算術種数は次のように定義され、証明された<ref>{{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=ロビン・ハーツホーン | title=Generalized divisors on Gorenstein curves and a theorem of Noether | url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.kjm/1250520873 | year=1986 | journal=Journal of Mathematics of Kyoto University | issn=0023-608X | volume=26 | issue=3 | pages=375–386}}</ref>。
:<math>g_a := \dim_k H^1(C, \mathcal O_C).</math>
（滑らかな曲線は、幾何種数と算術種数が一致する）この定理は一般の特異点を持つ曲線（や高次元の多様体）に対しても成立する<ref>{{Citation | last1=Baum | first1=Paul | last2=Fulton | first2=William | last3=MacPherson | first3=Robert | title=Riemann-Roch for singular varieties | year=1975 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=45 | pages=101–145}}</ref>。
<!---The smoothness assumption in the theorem can be relaxed, as well: for a (projective) curve over an algebraically closed field, all of whose local rings are [[Gorenstein ring]]s, the same statement as above holds, provided that the geometric genus as defined above is replaced by the [[arithmetic genus]] ''g''<sub>a</sub>, defined as
:<math>g_a := dim_k H^1(C, \mathcal O_C).</math><ref>{{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=Generalized divisors on Gorenstein curves and a theorem of Noether | url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.kjm/1250520873 | year=1986 | journal=Journal of Mathematics of Kyoto University | issn=0023-608X | volume=26 | issue=3 | pages=375–386}}</ref>
(For smooth curves, the geometric genus agrees with the arithmetic one.) The theorem has also been extended to general singular curves (and higher-dimensional varieties).<ref>{{Citation | last1=Baum | first1=Paul | last2=Fulton | first2=William | author2-link=William Fulton (mathematician) | last3=MacPherson | first3=Robert | author3-link=Robert MacPherson (mathematician) | title=Riemann-Roch for singular varieties | year=1975 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=45 | pages=101–145}}</ref>-->

== 証明 ==
代数曲線に対してのステートメントは、[[セール双対性]]を使い証明できる。整数 l(D) は D に付随する[[直線束]] <math>\mathcal L(D)</math> の大域的切断の空間の次元である（[[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]]を参照のこと）。したがって、[[層コホモロジー]]のことばで、
:<math>l(D) = \dim H^0 (X, \mathcal L(D))</math> と <math>l(\mathcal K_X - D) = \dim H^0 (X, \omega_X \otimes \mathcal L(D)^\vee) </math>
といった関係式を得る。しかし、曲線という特別な場合の非特異射影多様体に対するセールの双対性は、<math>H^0 (X, \omega_X \otimes \mathcal L(D)^\vee)</math> が双対 <math>H^1 (X, \mathcal L (D))^\vee</math> に同型であることを言っている。すると、左辺は因子 D の[[オイラー標数]]に等しく、D = 0 のとき、構造層、「つまり」定義により <math>1-g</math> に対するオイラー標数を得る。一般的な因子に対する定理を証明するためには、ひとつひとつ因子を点として追加することができて、そのようにすると、オイラー標数が右辺に代わることを確かめることができる。

閉リーマン面に対する定理は、[[代数幾何学と解析幾何学|GAGA]]原理と[[代数幾何学と解析幾何学#周の定理|周の定理]]を使い、代数的なバージョンから導くことができる。事実、すべての閉リーマン面は、ある複素射影空間の代数方程式によって定義されている。
<!---== Proof ==
The statement for algebraic curves can be proved using [[Serre duality]]. The integer ''I(D)'' is the dimension of the space of global sections of the [[line bundle]] <math>\mathcal L(D)</math> associated to ''D'' (''cf.'' [[Cartier divisor]]). In terms of [[sheaf cohomology]], we therefore have <math>I (D) = \mathrm {dim} H^0 (X, \mathcal L(D))</math>, and likewise <math>I (\mathcal K_X - D) = \mathrm {dim} H^0 (X, \omega_X \otimes \mathcal L(D)^\vee) </math>. But Serre duality for non-singular projective varieties in the particular case of a curve states that <math>H^0 (X, \omega_X \otimes \mathcal L(D)^\vee)</math> is isomorphic to the dual <math>\simeq H^1 (X, \mathcal L (D))^\vee</math>. The left hand side thus equals the [[Euler characteristic]] of the divisor ''D''. When ''D = 0 '', we find the Euler characteristic for the structure sheaf ''ie'' <math>1-g</math> by definition. To prove the theorem for general divisor, one can then proceed by adding points one by one to the divisor and taking some off and ensure that the Euler characteristic transforms accordingly to the right hand side.

The theorem for compact Riemann surfaces can be deduced from the algebraic version using [[Chow's theorem]] and the [[GAGA]] principle: in fact, every compact Riemann surface is defined by algebraic equations in some complex projective space.-->

== 応用 ==
次数 d の既約な平面代数曲線は、固有に特異点の数を数えると、(d - 1)(d - 2)/2 - g 個の特異点を持っている。このことは、もし曲線が (d - 1)(d - 2)/2 個の異なる特異点を持っていたとすると、[[有理曲線]]となるので、有理パラメータ化が可能である。

リーマン面や代数曲線の間の（分岐）写像に関連する[[リーマン・フルヴィッツの公式]]は、リーマン・ロッホの定理の結果である。

{{仮リンク|特別因子のクリフォードの定理|en|Clifford's theorem on special divisors}}もまた、リーマン・ロッホの定理の結果である。クリフォードの定理は、<math>l(D) \ge 0</math> を満たす特殊因子（つまり、<math>l(K - D) \ge 0</math>）に対して、次の不等式が成立する<ref>{{Citation | last1=Fulton | first1=William | title=Algebraic curves | url=http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf | publisher=[[Addison-Wesley]] | series=Advanced Book Classics | isbn=978-0-201-51010-2 | year=1989}}, p. 109</ref>。
:<math>l(D) \leq \frac{\deg D}2+1.</math>
<!---== Applications ==
An irreducible plane algebraic curve of degree ''d'' has (''d''-1)(''d''-2)/2-''g'' singularities, when properly counted. It follows that, if a curve has (''d''-1)(''d''-2)/2 different singularities, it is a [[rational curve]] and, thus, admits a rational parameterization.

The [[Riemann–Hurwitz formula]] concerning (ramified) maps between Riemann surfaces or algebraic curves is a consequence of the Riemann–Roch theorem.

[[Clifford's theorem on special divisors]] is also a consequence of the Riemann–Roch theorem. It states that for a special divisor (i.e., such that ''l''(''K'' &minus; ''D'') > 0) satisfying ''l''(''D'') > 0, the following inequality holds:<ref>{{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link=William Fulton (mathematician) | title=Algebraic curves | url=http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf | publisher=[[Addison-Wesley]] | series=Advanced Book Classics | isbn=978-0-201-51010-2 | year=1989}}, p. 109</ref>
:<math>l(D) \leq \frac{deg D}2+1.</math>-->

== リーマン・ロッホの定理の一般化 ==
{{See also|ガウス・ボネの定理|en:Cohn-Vossen's inequality}}

'''曲線に対するリーマン・ロッホの定理'''は、1850年にリーマンとロッホにより証明され、代数曲線に対しては、{{仮リンク|フリードリッヒ・シュミット|en|Friedrich Karl Schmidt|label=フリードリッヒ・シュミット}}により1931年に[[標数|有限標数]]の[[完全体]]についての仕事として証明された。{{仮リンク|カール・ロケット|en|Peter Roquette}}(Peter Roquette)の書いた [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~ci3/manu.html#RH ]に、下記のような記載がある。
<blockquote>F. K. シュミットの第一の重要な結果は、閉リーマン面に対するリーマン・ロッホの定理が、基礎体が有限体の時の関数体への翻訳の辞書として結果とみることができる。実際、任意の完全体（有限体であってもよい）を基礎体とするリーマン・ロッホの定理の証明がなされている。</blockquote>
曲線論の結果は、（例えば、{{仮リンク|ブリル・ネーター理論|en|Brill–Noether theory|label=ブリル・ネター理論}}の中に）この主張の内容を整備しようと試みるという意味では、基本的である。

高次元のバージョンも存在する（適当な[[因子 (代数幾何学)|因子]]や[[直線束]]の考え方）。これらの定式化は2つの部分へと分解することが可能となる。ひとつは、現在は[[セール双対性]]と呼ばれる部分であり、<math>l(K - D)</math> を一次の[[層コホモロジー]]群の次元と解釈することであり、あるいは <math>l(D)</math> を層コホモロジーの零次の次元、切断の空間の次元と考えると、左辺は[[オイラー標数]]となり、右辺はオイラー標数の'''次数'''(degree)としてのリーマン面のトポロジーにしたがって修正する計算となる。

[[代数幾何学]]での次元が 2 のときのそのような公式は、{{仮リンク|代数幾何学のイタリア学派|en|Italian school of algebraic geometry}}により基礎づけられ、[[曲面のリーマン・ロッホの定理]]が証明された（いくつかのバージョンがあり、最初のバージョンは{{仮リンク|マックス・ネーター|en|Max Noether|label=マックス・ネター}}よる）。そのような扱いが1950年以前に行われている。

:{{main|曲面のリーマン・ロッホの定理}}

n-次元への一般化である[[ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理]]は、[[フリードリッヒ・ヒルツェブルフ]]により、[[代数トポロジー]]の[[特性類]]の応用として発見され証明された。彼の仕事は[[小平邦彦]]の仕事に大きな影響を与えた。同時期に、[[ジャン・ピエール・セール]]は、現在では知られているような[[セール双対性]]に一般的な形を与えた。

[[アレクサンドル・グロタンディーク]]は、1957年に現在は{{仮リンク|グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理|en|Grothendieck–Riemann–Roch theorem}}(Grothendieck–Riemann–Roch theorem)として知られている遠大な一般化を行った。彼の仕事は多様体に対するリーマン・ロッホの定理であるばかりでなく、2つの多様体の間の射に対するリーマン・ロッホの定理でもある。この証明の詳細は、1958年にボレルとセールにより出版された。

最終的には、（もっとも）一般化されたバージョンは[[代数トポロジー]]の中にもある。これらの発展は、本質的には1950年から1960年の間にすべて推し進められた。その後、[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]が一般化の別の道を切り開いた。

（[[連接層]]の）[[オイラー標数]]はどのようなものとなるかは、ある程度合理的に計算が可能である。普通の場合に注目すると、交代和をとることで考えることができ、さらなる議論には{{仮リンク|消滅定理|en|vanishing theorem<!-- 曖昧さ回避ページ -->|FIXME=1}}を使わねばならない。
<!---== Generalizations of the Riemann-Roch Theorem ==

The '''Riemann–Roch theorem for curves''' was proved for Riemann surfaces by Riemann and Roch in the 1850s and for algebraic curves by [[Friedrich Karl Schmidt]]  in 1931 as he was working on [[perfect field]]s of [[Characteristic (algebra)|finite characteristic]]. Under the [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~ci3/manu.html#RH hand of [[Peter Roquette]] ]:
<blockquote>
The first main achievement of F. K. Schmidt is the discovery that the classical
theorem of Riemann-Roch on compact Riemann surfaces can be transferred
to function fields with finite base field. Actually, his proof of the Riemann-Roch
theorem works for arbitrary perfect base fields, not necessarily finite.</blockquote>
It is foundational in the sense that the subsequent theory for curves tries to refine the information it yields (for example in the [[Brill–Noether theory]]).

There are versions in higher dimensions (for the appropriate notion of [[divisor (algebraic geometry)|divisor]], or [[line bundle]]). Their general formulation depends on splitting the theorem into two parts. One, which would now be called [[Serre duality]], interprets the ''l''(''K'' − ''D'') term as a dimension of a first [[sheaf cohomology]] group; with ''l''(''D'') the dimension of a zeroth cohomology group, or space of sections, the left-hand side of the theorem becomes an [[Euler characteristic]], and the right-hand side a computation of it as a ''degree'' corrected according to the topology of the Riemann surface.

In [[algebraic geometry]] of dimension two such a formula was found by the [[Italian school of algebraic geometry|geometers of the Italian school]]; a [[Riemann–Roch theorem for surfaces]] was proved (there are several versions, with the first possibly being due to [[Max Noether]]). So matters rested before about 1950.

An ''n''-dimensional generalisation, the [[Hirzebruch–Riemann–Roch theorem]], was found and proved by [[Friedrich Hirzebruch]], as an application of [[characteristic class]]es in [[algebraic topology]]; he was much influenced by the work of [[Kunihiko Kodaira]]. At about the same time [[Jean-Pierre Serre]] was giving the general form of Serre duality, as we now know it.

[[Alexander Grothendieck]] proved a far-reaching generalization in 1957, now known as the [[Grothendieck–Riemann–Roch theorem]]. His work reinterprets Riemann–Roch not as a theorem about a variety, but about a morphism between two varieties. The details of the proofs were published by Borel-Serre in 1958.

Finally a general version was found in [[algebraic topology]], too. These developments were essentially all carried out between 1950 and 1960. After that the [[Atiyah–Singer index theorem]] opened another route to generalization.

What results is that the Euler characteristic (of a [[coherent sheaf]]) is something reasonably computable. If one is interested, as is usually the case, in just one summand within the alternating sum, further arguments such as [[vanishing theorem]]s must be brought to bear.-->

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2016-08-20}}
* Borel, Armand & Serre, Jean-Pierre (1958), Le théorème de Riemann-Roch, d'après Grothendieck, Bull.S.M.F. 86 (1958), 97-136.
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | last2=Harris | first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 |mr=1288523 | year=1994}}
* Grothendieck, Alexander, et al. (1966/67), Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
* {{cite book | last=Fulton | first=William | title=Algebraic Curves | series=Mathematics Lecture Note Series | publisher=W.A. Benjamin | year=1974 | isbn=0-8053-3080-1|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf|format=pdf}}
* {{Cite book | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=ロビン・ハーツホーン | title=Algebraic Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 |mr=0463157 | year=1977 | postscript=<!--None-->}}, contains the statement for curves over an algebraically closed field. See section IV.1.
* {{springer|title=Riemann-Roch theorem|id=p/r081980}}
* {{Cite book | last1=Hirzebruch | first1=Friedrich | author1-link=フリードリッヒ・ヒルツェブルフ | title=Topological methods in algebraic geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58663-0 |mr=1335917 | year=1995 | postscript=<!--None-->}}. A good general modern reference.
* {{Cite book | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Compact Riemann Surfaces | url={{google books|RXftCAAAQBAJ|plainurl=yes}} | edition=thrid | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-33065-3 | year=2006 | postscript=<!--None--> | mr=2247485 | zbl=1125.30033 | ref=harv }}, see pages 208–219 for the proof in the complex situation. Note that Jost uses slightly different notation.
* {{cite book | last=Mukai | first=Shigeru | authorlink=向井茂 | coauthors=William Oxbury (translator) | title=An Introduction to Invariants and Moduli | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=81 | year=2003 | isbn=0-521-80906-1 | publisher=Cambridge University Press | location=New York | mr=2004218 | zbl=1033.14008 | ref=harv}}
* ''Vector bundles on Compact Riemann Surfaces'', M.S. Narasimhan, p.&nbsp;5-6.
*{{Cite journal|first=Bernhard|last=Riemann|author-link=ベルンハルト・リーマン|year=1857|title=Theorie der Abel'schen Functionen|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=54|pages=115–155|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0054|ref=harv|postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->|doi=10.1515/crll.1857.54.115}}
*{{Cite journal|last=Roch|first=Gustav|author-link=グスタフ・ロッホ|year=1865|title=Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=64|pages=372–376|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0064|ref=harv|postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->|doi=10.1515/crll.1865.64.372}}
*{{citation|first=Friedrich Karl|last=Schmidt|year=1931|title=Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik ''p''|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=33|pages=1–32|url=http://digreg.mathguide.de/cgi-bin/ssgfi/anzeige.pl?db=reg&ci=MathZ&id=ART&sd=y1931v33p?&nr=076522&ew=SSGFI|zbl=0001.05401|doi=10.1007/BF01174341}}
* {{cite book | last= Stichtenoth | first=Henning|title=Algebraic Function Fields and Codes | publisher=Springer-Verlag | year= 1993 | isbn=3-540-56489-6 }}
*[http://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/ Misha Kapovich], [http://www.math.ucdavis.edu/%7Ekapovich/RS/RiemannRoch.pdf ''The Riemann–Roch Theorem] (lecture note) an elementary introduction
* J. Gray, [http://www.emis.de/journals/DMJDMV/xvol-icm/19/Gray.MAN.ps.gz The ''Riemann-Roch theorem and Geometry, 1854-1914''.]
*[http://mathoverflow.net/questions/55454/is-there-a-riemann-roch-for-smooth-projective-curves-over-an-arbitrary-field/55471#55471 Is there a Riemann-Roch for smooth projective curves over an arbitrary field?] on [[MathOverflow]]

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|川崎のリーマン・ロッホの定理|en|Kawasaki's Riemann–Roch formula}}(Kawasaki's Riemann–Roch formula)

{{DEFAULTSORT:りいまんろつほのていり}}
[[Category:代数幾何学の定理]]
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:代数幾何学の位相的方法]]
[[Category:ベルンハルト・リーマン]]
[[Category:数学に関する記事]]