ランベルトのW関数のソースを表示

[[file:Lambert-w.svg|thumb|288px|right|{{math|''W''(''x'')}} のグラフの {{math|''W'' > &minus;4}} および {{math|''x'' < 6}} の部分。{{math|''W'' &ge; −1}} なる上の枝を主枝 {{math|''W''{{msub|0}}}} と言い、{{math|''W'' &le; −1}} なる下側の分枝を {{math|''W''{{msub|&minus;1}}}} という。]]
[[数学]]における'''ランベルト W 函数'''（ランベルトWかんすう、{{lang-en-short|''Lambert W function''}}）あるいは'''オメガ函数''' (''ω function''), 対数積（''product logarithm''; 乗積対数）は、函数 {{math|1=''f''(''z'') = ''ze''{{exp|''z''}}}} の[[逆関係]]の[[分岐点|分枝]]として得られる[[函数]] {{mvar|W}} の総称である。ここに {{mvar|e{{exp|z}}}} は[[指数函数]]で {{mvar|z}} は任意の[[複素数]]とする。すなわち {{mvar|W}} は {{math|1=''z'' = ''f''{{exp|&minus;1}}(''ze''{{exp|''z''}}) = ''W''(''ze''{{exp|''z''}})}} を満たす。

上記の方程式で {{math|1=''z{{'}}'' = ''ze''{{exp|''z''}}}} と置きかえれば、任意の複素数 {{mvar|z{{'}}}} に対する {{mvar|W}} 函数（一般には {{mvar|W}} 関係）の定義方程式
: <math>z' = W(z')e^{W(z')}</math>
を得る。

函数 {{mvar|ƒ}} は[[単射]]ではないから、[[二項関係|関係]] {{mvar|W}} は（{{math|0}} を除いて）[[多価函数|多価]]である。仮に実数値の {{mvar|W}} に注意を制限するとすれば、複素変数 {{mvar|z}} は実変数 {{mvar|x}} に取り換えられ、関係の定義域は区間 {{math|''x'' ≥ &minus;1/''e''}} に限られ、また開区間 {{math|(&minus;1/''e'', 0)}} 上で二価の函数になる。さらに制約条件として {{math|''W'' ≥ &minus;1}} を追加すれば一価函数 {{math|''W''{{msub|0}}(''x'')}} が定義されて、{{math|1=''W''{{msub|0}}(0) = 0}} および {{math|1=''W''{{msub|0}}(&minus;1/''e'') = &minus;1}} を得る。それと同時に、下側の枝は {{math|''W'' ≤ &minus;1}} であって、{{math|''W''{{msub|&minus;1}}(''x'')}} と書かれる。これは {{math|1=''W''{{msub|&minus;1}}(&minus;1/''e'') = &minus;1}} から {{math|1=''W''{{msub|&minus;1}}(&minus;0) = &minus;∞}} まで単調減少する。

ランベルト {{mvar|W}} 関係は[[初等函数]]では表すことができない<ref>{{citation
 | last = Chow | first = Timothy Y.
 | doi = 10.2307/2589148
 | issue = 5
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1699262
 | pages = 440–448
 | title = What is a closed-form number?
 | volume = 106
 | year = 1999}}.</ref>。ランベルト {{mvar|W}} は[[組合せ論]]において有用で、例えば[[木 (数学)|木]]の数え上げに用いられる。指数函数を含む様々な方程式（例えば[[プランクの法則|プランク分布]]、[[ボース分布関数|ボーズ&ndash;アインシュタイン分布]]、[[フェルミ分布関数|フェルミ&ndash;ディラック分布]]などの最大値）を解くのに用いられ、また{{math|1=''y'''(''t'') = ''ay''(''t'' &minus; 1)}} のような{{仮リンク|遅延微分方程式|en|delay differential equation}} の解としても生じる。[[生化学]]において、また特に[[酵素反応速度論|酵素動力学]]において、[[ミカエリス・メンテン式|ミカエリス&ndash;メンテン動力学]]の経時動力学解析に対する閉じた形の解はランベルト {{mvar|W}} 函数によって記述される。

[[file:Product Log.jpg|thumb|288px|right|複素数平面におけるランベルト {{mvar|W}} 函数の主枝。負の実軸に沿った[[分岐切断]]は {{math|&minus;1/''e''}} を端点に持つ。この図では、点 {{mvar|z}} における色相を {{mvar|''W''}} の[[偏角 (複素解析)|偏角]]で、輝度を {{mvar|W}} の[[絶対値]]で決定している。]]

== 用語について ==
[[File:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|thumb|二つの主枝 {{math|''W''{{msub|0}}, ''W''{{msub|&minus;1}}}}]]
ランベルト {{mvar|W}}-函数は[[ヨハン・ハインリヒ・ランベルト]]に因んで名づけられた。[[Digital Library of Mathematical Functions]] では主枝 {{math|''W''{{msub|0}}}} を {{mvar|Wp}}, 分枝 {{math|''W''{{msub|&minus;1}}}} は {{mvar|Wm}} と書いている。ここでの表記の規約（つまり {{math|''W''{{msub|0}}, ''W''{{msub|&minus;1}}}}）はランベルト {{mvar|W}} に関する標準的な参考文献{{harvtxt|Corless|Gonnet|Hare|Jeffrey<!--|Knuth-->|1996}}<ref name = "Corless">{{cite journal
  | last1 = Corless  | first1 = R. M.
  | last2 = Gonnet | first2 = G. H.
  | last3 = Hare | first3 = D. E. G.
  | last4 = Jeffrey | first4 = D. J.
  | last5 = Knuth | first5 = D. E.
  | author5-link = Donald Knuth
  | title = On the Lambert W function
  | journal = Advances in Computational Mathematics
  | volume = 5
  | pages = 329–359
  | year = 1996
  | url = http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/LambertW.ps | format = PostScript
  | doi = 10.1007/BF02124750
 }}</ref>に従った。

== 歴史 ==
ランベルトは初め「ランベルトの超越方程式」に関連して1758年に考察した<ref>Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", ''Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica'', Band III, 128–168, 1758 ([http://www.kuttaka.org/~JHL/L1758c.pdf facsimile])</ref>。これは[[レオンハルト・オイラー]]の1783年の {{mvar|we{{exp|w}}}} の特別な場合を論じた論文<ref>Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." ''Acta Acad. Scient. Petropol. 2'', 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L.  ''Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae''. Leipzig,  Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. ([http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E532.pdf facsimile])</ref>に繋がる。

ランベルト {{mvar|W}}-函数は、特殊化された応用において、十年程度毎に「再発見」されてきた{{citation needed|date=September 2015}}。1993年には、等電荷に対する量子力学的{{仮リンク|デルタポテンシャル|en|Delta potential#Double delta potential|label=二重井戸型ディラックデルタ函数モデル}}（物理学における基本問題）の厳密解をランベルト {{mvar|W}}-函数が与えることが報告されたとき、コーレスら計算機代数システム[[Maple]]の開発者たちはライブラリを精査して、この函数が自然界に遍く存在することを発見した<ref name = "Corless" /><ref name="corless_maple">{{cite journal |first=R. M. |last=Corless |first2=G. H. |last2=Gonnet |first3=D. E. G. |last3=Hare |first4=D. J. |last4=Jeffrey |title=Lambert's W function in Maple |journal=The Maple Technical Newsletter |publisher=MapleTech |volume=9 |issue= |pages=12–22 |year=1993 |id = {{citeseerx|10.1.1.33.2556}} }}</ref>。

== 微分積分学 ==
=== 導函数 ===
[[陰函数微分法]]により、{{mvar|W}} の任意の枝が[[常微分方程式]]
:<math>z(1+W)\frac{dW}{dz}=W\quad(z\neq -1/e)</math>
を満たすことが示せる（{{math|1=''z'' = &minus;1/''e''}} では {{mvar|W}} は微分できない）。従って、{{mvar|W}} の導函数は
: <math>\frac{dW}{dz}=\frac{W(z)}{z(1 + W(z))}\quad(z\notin\{0,-1/e\})</math>
を満たす。ここで恒等式 {{math|1=''e''{{exp|''W''(''z'')}} = ''z''/''W''(''z'')}} を用いるならば、
: <math>\frac{dW}{dz}=\frac{1}{z+e^{W(z)}}\quad(z\ne -1/e)</math>
と書きなおすこともできる。

=== 原始函数 ===
函数 {{mvar|''W''(''x'')}}（およびそれを含む多くの式）は、{{math|1=''w'' = ''W''(''x''), (''x'' = ''we{{exp|w}}'')}} と置いた[[置換積分]]によって
: <math> \begin{align}
\int W(x)\mathit{dx} &= x W(x)-x+e^{W(x)}+C\\
& = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C. \\
\end{align}</math>

と積分できる。

したがって、（{{math|1=''W''(''e'') = 1}} であることも考慮して）等式
: <math>\int_{0}^{e} W(x)\,\mathit{dx} = e-1</math>
が得られる。

== 漸近展開 ==
{{math|''W''{{msub|0}}}} の {{math|0}} を中心とする[[テイラー級数]]は、{{仮リンク|ラグランジュの反転定理|en|Lagrange inversion theorem|label=逆に解いて}}
: <math>
W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots
</math>

[[ダランベールの収束判定法]]によると、[[収束半径]]は {{分数|1|''e''}} である。この級数の定める函数は、[[区間 (数学)|区間]] {{math|(&minus;∞, &minus;1/''e''{{)!}}}}に沿って{{仮リンク|分岐切断|en|branch cut}}を入れれば、ガウス平面の全域で定義される[[正則函数]]に延長することができる。この正則函数をランベルト {{mvar|W}} 函数の[[主値]]と定める。

{{mvar|x}} が十分大きければ、{{math|''W''{{msub|0}}}} は漸近的に
: <math>\begin{align} W_0(x)
 &= L_1 - L_2 + \frac{L_2}{L_1} + \frac{L_2(-2+L_2)}{2L_1^2}\\
 &\qquad\qquad +\frac{L_2(6-9L_2+2L_2^2)}{6L_1^3}+\frac{L_2(-12+36L_2-22L_2^2+3L_2^3)}{12L_1^4}+\cdots\\[8pt]
 & =L_1-L_2+\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\ell}\left[{ \ell+m \atop \ell + 1 }\right]}{m!} L_1^{-\ell-m} L_2^{m}\\
 & =\ln(x)-\ln(\ln(x))+o(1)
\end{align}</math>
と展開される。ただし、{{math|1=''L''{{ind|1}} = ln(''x''), ''L''{{ind|2}} = ln(ln(''x''))}} であり、[{{subsup||''n''|''k''}}] は非負の第一種[[スターリング数]]である<ref>[http://rgmia.org/papers/v10n2/lambert-v2.pdf Approximation of the Lambert W function and the hyperpower function], Hoorfar, Abdolhossein; Hassani, Mehdi.</ref>。

もう一つの、区間 {{math|(&minus;∞, &minus;1/''e''{{)!}}}} 上で定義される実函数な枝 {{math|''W''{{msub|&minus;1}}}} は、{{math|1=''L''{{ind|1}} = ln(&minus;''x''), ''L''{{ind|2}} = ln(&minus;ln(&minus;''x''))}} と書けば、{{mvar|x}} が十分 {{math|0}} に近いとき同じ形の漸近展開を持つ。

{{math|''x'' &ge; ''e''}} なるとき、
: <math>\ln(x)-\ln\bigl(\ln(x)\bigr)+\frac{\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}{2\ln(x)}\le W_0(x)\le\ln(x)-\ln\bigl(\ln(x)\bigr)+\frac{e}{e-1}\frac{\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}{\ln(x)}</math>
という上下の評価が成り立つ<ref>http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/107_07_JIPAM/107_07_www.pdf</ref>。また もう一つの枝 {{math|''W''{{msub|&minus;1}}}} の評価は {{math|''u'' > 0}} に対して
: <math>-1-\sqrt{2u}-u < W_{-1}(-e^{-u-1}) < -1-\sqrt{2u}-\frac{2}{3}u</math>
となる<ref name = "Chatzigeorgiou">{{cite journal
  | last1 = Chatzigeorgiou| first1 = I.
  | title = Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation
  | journal = IEEE Communications Letters
  | volume = 17
  | issue = 8
  | pages = 1505–1508
  | year = 2013
  | url = http://arxiv.org/pdf/1601.04895v1.pdf | format = PDF
  | doi = 10.1109/LCOMM.2013.070113.130972
 }}</ref>。

=== 整数冪・複素数冪の展開 ===
{{math|''W''{{msub|0}}}} の整数乗もまた {{math|0}} において単純なテイラー級数（あるいは[[ローラン級数]]）展開を持つ。例えば
: <math> W_0(x)^2 = \sum_{n=2}^\infty \frac{-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}\ x^n = x^2-2x^3+4x^4-\frac{25}{3}x^5+18x^6- \cdots.</math>
より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、{{math|''r'' &isin; '''Z'''}} に対して
: <math>W_0(x)^r = \sum_{n=r}^\infty \frac{-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}\ x^n</math>
となることが示せる（これは一般に、位数 {{mvar|r}} のローラン級数になっている）。あるいは同じことだが、この式を {{mvar|''W''{{msub|0}}(''x'')/''x''}} の冪に関するテイラー級数として
: <math>\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)^r =\exp(-r W_0(x)) = \sum_{n=0}^\infty \frac{r(n+r)^{n-1}}{n!}(-x)^n</math>
と書くことができる。これは任意の {{math|''r'' &isin; '''C'''}} と {{math|{{abs|''x''}} < ''e''{{exp|&minus;1}}}} に対して成立する。

== 特殊値 ==
任意の非零[[代数的数]] {{mvar|x}} に対して {{math|''W''(''x'')}} は[[超越数]]になる。実際、{{math|''W''(''x'')}} が零ならば {{mvar|x}} も零でなければならず、また {{math|''W''(''x'')}} が非零代数的数ならば[[リンデマンの定理|リンデマン&ndash;ワイエルシュトラスの定理]]により {{math|''e''{{exp|''W''(''x'')}}}} は超越的でなければならず、従って{{math|1=''x'' = ''W''(''x'')''e''{{exp|''W''(''x'')}}}} もまた超越的でなければならない。

:<math>W(-\pi/2) = i\pi/2 </math>
:<math>W({\ln 4})= \ln 2 </math>
:<math>W(-(\ln a)/a)= -\ln a \quad(1/e\le a\le e)</math>
:<math>W(-1/e) = -1</math>
:<math>W(0) = 0</math>
:<math>W(1) = \Omega=\frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots</math> ([[オメガ定数]])
:<math>W(1) = e^{-W(1)} = -\ln W(1)</math>
:<math>W(e) = 1</math>
:<math>-W(-1) = e^{-W(-1)} = \ln( -{W(-1)}) \approx 0.31813+1.33723\,i</math>
:<math>W'(0) = 1</math>

== 等式 ==
いくつかの等式は定義から直ちに得られる:
:<math>\begin{align}
W(xe^{x}) &= x & (x \geq 0,\, x=-1) \\
W_0(xe^{x}) &= x & (x \geq -1) \\
W_{-1}(xe^{x}) &= x & (x \leq -1)
\end{align}</math>

ここで、{{math|1=''f''(''x'') = ''x⋅e{{exp|x}}''}} は単射でないから、{{math|1=''W''(''f''(''x'')) = ''x''}} は常には成り立たないことに注意すべきである。{{math|''x'' < 0}} かつ {{math|''x'' ≠ -1}} なる {{mvar|x}} を固定して、方程式 {{math|1=''x⋅e{{exp|x}}'' = ''y⋅e{{exp|y}}''}} は {{mvar|y}} に関して二つの解を持ち、その一方はもちろん {{math|1=''y'' = ''x''}} である。もう一方の解は、{{math|''W''{{msub|0}}}} の場合 {{math|''x'' < -1}} に、{{math|''W''{{msub|&minus;1}}}} の場合 {{math|''x'' ∈ (-1, 0)}} にある。これらを踏まえて、次の式を導くことができる。 

:<math>W_0(xe^{x}) = y \quad(x < -1).</math>
:<math>W_{-1}(xe^{x}) = y \quad(x > -1).</math>

:<math>W(x) e^{W(x)} = x.</math>
:<math>e^{W(x)} = x/W(x).</math>
:<math>W(x) = \ln x - \ln W(x) \quad (x \ge -1/e).</math>
:<math>\ln W(x) = \ln x - W(x)\quad(x>0).</math><ref>{{MathWorld | urlname= LambertW-Function | title= Lambert W-Function}}</ref>
:<math> W(nx^n / W(x)^{n-1})= n W(x)\quad(n>0, x>0).</math>（これは正しく枝を選べば他の {{mvar|n, x}} に対しても拡張できる）

{{math|''f''(ln(''x''))}} を反転すれば
:<math>W(x \ln x) = \ln x = W(x) + \ln W(x) \quad (x > 0)</math>

を得る。

オイラーの反復指数函数 {{math|''h''(''x'')}} を用いれば
: <math>h(x) = e^{-W(-\ln(x))} = \frac{W(-\ln(x))}{-\ln(x)}\quad(x\ne 1)</math>
を得る。

{{mvar|W}} を含む有用な積分公式がいくつか存在し、例えば以下のようなものが挙げられる:
{{ordered list
|1= 一つ目の等式
: <math>\int_{0}^{\pi} W( 2\cot^2(x))\sec^2(x)dx = 4\sqrt{\pi}</math>
は[[ガウス積分]]を[[極座標]]で書き表すときに現れる。
|2= <math>\int_{0}^{\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{2\pi}.</math>
{{math proof|drop=yes|{{math|1=''u'' = ''W''(''x'')}} と置換すれば、
: <math>x=ue^{u},\quad \frac{dx}{du}=(u+1)e^{u}</math>
で、
:<math>\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,dx &=\int_{0}^{\infty} \frac{u}{ue^{u}\sqrt{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du \\[5pt]
&=\int_{0}^{\infty} \frac{u+1}{\sqrt{ue^{u}}}\,du \\[5pt]
&=\int_{0}^{\infty} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\frac{1}{\sqrt{e^{u}}}\,du\\[5pt]
&=\int_{0}^{\infty} u^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{u}{2}}\,du+\int_{0}^{\infty} u^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{u}{2}}\,du\\
&=2\int_{0}^{\infty} (2w)^{\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int_{0}^{\infty} (2w)^{-\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw && \quad (u =2w) \\
&=2\sqrt{2}\int_{0}^{\infty} w^{\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw+\sqrt{2}\int_{0}^{\infty} w^{-\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw \\
&=2\sqrt{2} \cdot \Gamma(\tfrac{3}{2})+\sqrt{2} \cdot \Gamma(\tfrac{1}{2}) \\
&=2\sqrt{2} (\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi})+\sqrt{2}(\sqrt{\pi}) \\
&=2\sqrt{2\pi}
\end{align}</math>
}}
|3= 三つ目の式
: <math>\int_{0}^{\infty} W(\tfrac{1}{x^2})\,dx = \sqrt{2\pi}</math>
は、二つ目の式で {{math|1=''u'' = 1/''x''{{exp|2}}}} と置き換えることによって得られる。また一つ目の式はこの三つ目の式で {{math|1=''z'' = {{fraction|tan(''x'')|{{sqrt|2}}}}}} と置くことでも得られる。
}}
分岐切断 {{math|(&minus;∞, 1/''e''{{)!}}}} に沿う {{mvar|z}} を除けば（そのような {{mvar|z}} では以下の積分が確定しない）、ランベルト {{mvar|W}} 函数の主枝は、以下の積分
: <math>W(z)=\frac{z}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{(1-\nu\cot\nu)^2+\nu^2}{z+\nu\csc\nu e^{-\nu\cot\nu}}d\nu=\frac{z}{\pi}\int\limits_0^{\pi}\frac{(1-\nu\cot\nu)^2+\nu^2}{z+\nu\csc\nu e^{-\nu\cot\nu}}d\nu</math>
によって計算できる<ref>{{citation|title=The Lambert W Function|url=http://www.orcca.on.ca/LambertW/|publisher=Ontario Research Centre}}</ref>。この二つの積分の値が等しいことは被積分函数の対称性による。

== 応用 ==
指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、[[未知数]]を含む項を方程式の左辺（あるいは右辺）に寄せ、W関数で解を表現できる <math>xe^x</math>の形にすることである。例えば、方程式 <math>2^t = 5t</math> を解くには、両辺に <math>-\ln(2) ~ 2^{-t} / 5</math>を掛け、<math>-\ln(2)/5 = -t \ln(2) \exp(-t\ln 2)</math>を得る。ここで、両辺のW関数をとれば、<math>W(-\ln(2)/5) = -t \ln 2</math>、即ち <math>t = -W(-\ln(2)/5) / \ln 2 = 0.235\dots, 4.488\dots</math>となる。

同様の方法で、''x''<sup>''x''</sup> = ''z''
の解は、
{{Indent|<math>x=\frac{\ln(z)}{W(\ln(z))}</math>}}
あるいは
{{Indent|<math>x=\exp(W(\ln(z)))</math>}}
となる。

複素数の無限回の累乗
{{Indent|<math>z^{z^{z^{\cdots}}} \!</math>}}
が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その[[極限値]]を次のように表現できる。
{{Indent|<math>c=\frac{W(-\log(z))}{-\log(z)}</math>}}
ただし、log(''z'') は[[複素対数函数]]の[[主値]]とする。

== 一般化 ==
通常のランベルト {{mvar|W}} は {{mvar|x}} に関する
{{numblk|1=::|2=<math> e^{-c x} = a_0 (x-r)</math>|3={{EquationRef|1}}}}
の形（ただし、{{math|''a''{{msub|0}}, ''c'', ''r''}} は実定数）の「超越代数」方程式の厳密解 {{math|1=''x'' = ''r'' + {{sfrac|1|''c''}}''W''({{sfrac|''ce''{{exp|&minus;''cr''}}|''a''{{msub|0}}}})}} を記述することができる。

ランベルト {{mvar|W}} 函数の一般化<ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=R. B. |last2=Mann |year=2006 |title=General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function |journal=AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) |volume=17 |issue=1 |pages=41–47 |doi=10.1007/s00200-006-0196-1 |arxiv=math-ph/0607011 |last3=Martinez Ii |first3=Roberto E. }}</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J.| last3=Grotendorst|year=2013 |title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) |volume=47 |issue=185 |pages=75–83|doi=10.1145/2576802.2576804|url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html}}</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J.| last3=Grotendorst|first4=W.Z. | last4=Zhang|year=2014|title=Numerics of the Generalized Lambert W Function|journal=SIGSAM |volume=48 |issue=188|pages=42–56|doi=10.1145/2644288.2644298|url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue188.html}}</ref><ref>{{cite journal |first=Aude |last=Maignan |first2=T. C. |last2=Scott |year=2016|title=Fleshing out the Generalized Lambert W Function|journal=SIGSAM |volume=50 |issue=2|pages=45–60|doi=10.1145/2992274.2992275}}</ref>として以下のようなものを挙げることができる:
* 低次元における[[一般相対論]]および[[量子力学]]（[[量子重力理論|量子重力]]）（実は、両分野の繋がりは、以前には知られていなかった<ref>{{cite journal |first=P. S. |last=Farrugia |first2=R. B. |last2=Mann |first3=T. C. |last3=Scott |year=2007 |title=''N''-body Gravity and the Schrödinger Equation |journal=Class. Quantum Grav. |volume=24 |issue=18 |pages=4647–4659 |doi=10.1088/0264-9381/24/18/006 |arxiv=gr-qc/0611144 }}</ref>）への応用では、式 {{EquationNote|1}} の右辺を今度は {{mvar|x}} の二次多項式とした
{{numblk|::::|<math> e^{-c x} = a_0 (x-r_1) (x-r_2)</math>|3={{EquationRef|2}}}}
: を考える。ここで、この二次多項式の根 {{math|''r''{{ind|1}}, ''r''{{ind|2}}}} は相異なる実定数とする。この方程式の解は一つの引数 {{mvar|x}} を持つ函数だが、{{mvar|r{{ind|i}}}} や {{math|''a''{{msub|0}}}} のような項は解函数のパラメータとして働く。そのような側面で見れば、この一般化は[[超幾何函数]]や{{仮リンク|メイヤーG函数|en|Meijer G-function}}を作るのと似たような方式とも思えるが、これらの函数とは異なる「クラス」に属する。{{math|1=''r''{{ind|1}} = ''r''{{ind|2}}}} のときは、式 {{EquationNote|2}} の両辺は因数分解できて、{{EquationNote|1}} に帰着されるから、解函数も通常の {{mvar|W}} 函数に還元される。式 {{EquationNote|2}} は[[ディラトン]]場を支配する方程式を表すから、それにより不等静止質量の場合に対する {{math|{{gaps|1|+|1}}}}-次元（空間一次元・時間一次元）における {{仮リンク|1=R=Tモデル|2=en|3=R=T model|label=R=T}}あるいは「直列」(''lineal'') 二体重力問題の計量や、一次元の不等電荷に対する量子力学的{{仮リンク|二重デルタ型ポテンシャル|en|Delta potential#Double Delta Potential|label=二重井戸型デルタ函数モデル}}の固有エネルギーが導かれる。
* 量子力学的{{仮リンク|オイラーの三体問題|en|Euler's three-body problem|label=三体問題}}の特別の場合、具体的には（三次元）[[水素分子イオン]]<ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=M. |last2=Aubert-Frécon |first3=J. |last3=Grotendorst |year=2006 |title=New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion |journal=Chem. Phys. |volume=324 |issue=2–3 |pages=323–338 |doi=10.1016/j.chemphys.2005.10.031 |arxiv=physics/0607081 }}</ref>の固有エネルギーの解析解の場合、今度は式 {{EquationNote|1}} の（あるいは式 {{EquationNote|2}} の）右辺を {{mvar|x}} に関する無限次多項式の比とした
{{numblk|::::|<math> e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{\prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)}</math>|3={{EquationRef|3}}}}
: を考える。各 {{mvar|r{{ind|i}}, s{{ind|i}}}} は実定数、{{mvar|x}} は固有エネルギーと核間距離 {{mvar|R}} の函数である。式 {{EquationNote|3}} は、その特別の場合として式 {{EquationNote|1}} および {{EquationNote|2}} も含めて、{{仮リンク|遅延微分方程式|en|delay differential equation}}の成す大きなクラスに関係する。

"{{math|W}}" 函数の基礎物理問題への応用は、{{EquationNote|1}} で表される通常の {{mvar|W}} 函数の場合でさえも、近年の{{仮リンク|原子分子光学物理学|en|atomic, molecular, and optical physics}}の分野に見られる<ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=A. |last2=Lüchow |first3=D. |last3=Bressanini |first4=J. D. III |last4=Morgan |year=2007 |title=The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions |journal=[[Physical Review|Phys. Rev. A]] |volume=75 |issue=6 |pages=060101 |doi=10.1103/PhysRevA.75.060101 }}</ref>ように、尽くされてはいない。

== 複素平面上のグラフ ==
<gallery caption="Plots of the Lambert W function on the complex plane">
Image:LambertWRe.png|{{math|''z'' {{=}} Re(''W''<sub>0</sub>(''x'' + ''iy''))}}
Image:LambertWIm.png|{{math|''z'' {{=}} Im(''W''<sub>0</sub>(''x'' + ''iy''))}}
Image:LambertWAbs.png|{{math|''z'' {{=}} {{abs|''W''<sub>0</sub>(''x'' + ''iy'')}}}}
Image:LambertWAll.png|Superimposition of the previous three plots
</gallery>

== 数値的評価 ==
{{mvar|W}} 函数は[[ニュートン法]]を用いて近似することができて、{{math|1=''w'' = ''W''(''z'')}}（したがって {{math|1=''z'' = ''we{{exp|w}}''}}）に対する逐次近似は
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+w_j e^{w_j}}</math>
として与えられる。また、{{仮リンク|ハレー法|en|Halley's method}} を用いた近似
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}
{2w_j+2}}</math>
を {{harvtxt|Corless|Gonnet|Hare|Jeffrey<!--|Knuth-->|1996}} は {{mvar|W}} の計算において与えている。


== ソフトウェア実装 ==
{{mvar|W}} 函数の実装は:
* [http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=LambertW LambertW in Maple],
* <code>lambertw</code> in [[PARI/GP|GP]] (<code>glambertW</code> in PARI),
* <code>lambertw</code> in MATLAB,<ref>[http://www.mathworks.com.au/help/toolbox/symbolic/lambertw.html lambertw - MATLAB]</ref>
* <code>lambertw</code> in octave with the 'specfun' package, 
* <code>lambert_w</code> in Maxima,<ref>[http://maxima.sourceforge.net Maxima, a Computer Algebra System]</ref>
* <code>ProductLog</code> (with a silent alias <code>LambertW</code>) in Mathematica,<ref>[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ProductLog.html ProductLog at WolframAlpha]</ref>
* <code>lambertw</code> in Python scipy's special function package<ref>[http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.16.0/reference/generated/scipy.special.lambertw.html]</ref>
* <code>gsl_sf_lambert_W0</code> and <code>gsl_sf_lambert_Wm1</code> functions in [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Lambert-W-Functions.html special functions] section of the [http://www.gnu.org/software/gsl/ GNU Scientific Library] - GSL.
などがある。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|重み付きオメガ函数|en|Wright Omega function}}
* ランベルトの[[三項方程式]]
* {{仮リンク|ラグランジュの反転定理|en|Lagrange inversion theorem#Lambert W function}}
* {{仮リンク|実験数学|en|Experimental mathematics}}
* {{仮リンク|ホルスタイン&ndash;ヘーリング法|en|Holstein–Herring method}}
* {{仮リンク|1=R=Tモデル|2=en|3=R=T model}}
* {{仮リンク|ロスのπ補題|en|Ross' π lemma}}

== 注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal | last1=Corless | first1=R. | last2=Gonnet | first2=G. | last3=Hare | first3=D. | last4=Jeffrey | first4=D. | last5=Knuth | first5=Donald | author5-link=Donald Knuth | title=On the Lambert ''W'' function | url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | year=1996 | journal=Advances in Computational Mathematics | issn=1019-7168 | volume=5 | pages=329–359 | doi=10.1007/BF02124750 | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}
* {{cite journal |url=http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf | last1 = Chapeau-Blondeau | first1 = F. | last2 = Monir | first2 = A. |title=Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2 |journal=IEEE Trans. Signal Processing |volume=50 |issue=9 |year=2002}}
* {{cite journal |url=http://circ.ahajournals.org/cgi/reprint/102/18/2214 |author=Francis|title=Quantitative General Theory for Periodic Breathing |journal=Circulation |volume=102 |issue=18 |pages=2214–21 |year=2000 |doi=10.1161/01.cir.102.18.2214 |pmid=11056095|display-authors=etal}} (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
* {{Cite journal | last=Hayes | first=B. | title=Why ''W''? | url=http://www.americanscientist.org/issues/pub/why-w | year=2005 | journal=American Scientist | volume=93 | pages=104–108 | doi=10.1511/2005.2.104}}
* {{dlmf|id=4.13|title=Lambert W function|first=R. |last=Roy|first2=F. W. J. |last2=Olver}}
* {{cite journal |last1=Stewart |first1=Seán M. |year=2005 |title=A New Elementary Function for Our Curricula? |url=http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ720055.pdf |format=PDF |journal=Australian Senior Mathematics Journal |publisher=[[Australian Association of Mathematics Teachers]] |volume=19 |issue=2 |pages=8–26 |issn=0819-4564 |id=[[Education Resources Information Center|ERIC]] EJ720055 |layurl=http://eric.ed.gov/?id=EJ720055 }}
* [http://arxiv.org/abs/1003.1628 Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010)]; {{Cite journal | last1=Veberic | first1=D. | title=Lambert W function for applications in physics | year=2012 | journal=Computer Physics Communications | volume=183 | pages=2622–2628 | doi=10.1016/j.cpc.2012.07.008 | postscript=. }}
* {{cite journal | url=http://arxiv.org/abs/1601.04895 | last1 = Chatzigeorgiou | first1 = I. |title=Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation |journal=IEEE Communications Letters |volume=17 |issue=8 |pages=1505–1508 |year=2013 |doi=10.1109/LCOMM.2013.070113.130972}}

== 外部リンク ==
{{commons category}}
* [http://dlmf.nist.gov/4.13 National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W]
* {{MathWorld |urlname= LambertW-Function | title= Lambert ''W''-Function}}
* [https://web.archive.org/web/20060824060948/http://www.whim.org/nebula/math/lambertw.html Computing the Lambert W function]
* [http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/ Corless et al. Notes about Lambert W research]
* GPL [https://github.com/DarkoVeberic/LambertW C++ implementation] with Halley's and Fritsch's iteration.
* [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Special-Functions.html Special Functions] of the [http://www.gnu.org/software/gsl/ GNU Scientific Library] - GSL

{{DEFAULTSORT:らんへるとのWかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]