ラプラス作用素のソースを表示

[[数学]]における'''ラプラス作用素'''（ラプラスさようそ、{{lang-en-short|'''Laplace operator'''}}）あるいは'''ラプラシアン'''（{{lang-en-short|'''Laplacian'''}})は、[[ユークリッド空間]]上の[[函数]]の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]の[[発散 (ベクトル解析)|発散]]として与えられる[[微分作用素]]である。記号では {{math|∇·∇}}, {{math|∇<sup>2</sup>}}, あるいは {{math|∆}} で表されるのが普通である。函数 {{mvar|f}} の点 {{mvar|p}} におけるラプラシアン {{math|∆''f''(''p'')}} は（次元に依存する定数の[[違いを除いて]]）点 {{mvar|p}} を中心とする球面を半径が増大するように動かすときの {{math|''f''(''p'')}} から得られる平均値になっている。[[直交座標系]]においては、ラプラシアンは各[[独立変数]]に関する函数の二階（非混合）[[偏微分|偏導函数]]の和として与えられ、またほかに[[円筒座標系]]や[[球座標系]]などの座標系においても有用な表示を持つ。

ラプラス作用素の名称は、[[天体力学]]の研究に同作用素を最初に用いた[[フランス人]]数学者の[[ピエール＝シモン・ド・ラプラス]] (1749–1827) に因んでいる。同作用素は与えられた[[重力ポテンシャル]]に適用すると質量密度の定数倍を与える。現在ではラプラス方程式と呼ばれる方程式 {{math|1=∆''f'' = 0}} の解は[[調和函数]]と呼ばれ、自由空間において可能な重力場を表現するものである。

[[微分方程式]]においてラプラス作用素は[[電位|電気ポテンシャル]]、[[重力ポテンシャル]]、[[熱方程式|熱]]や[[流体力学|流体]]の[[拡散方程式]]、[[波動方程式|波の伝搬]]、[[量子力学]]といった、多くの物理現象を記述するのに現れる。ラプラシアンは、函数の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配フロー]]の[[流束|流束密度]]を表す。

== 定義 ==
ラプラス作用素は{{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]]上の函数 {{mvar|f}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] {{math|∇''f''}} の[[発散 (ベクトル解析)|発散]] {{math|∇·}} として定義される二階の微分作用素である。つまり、{{mvar|f}} が[[微分法|二回微分可能]][[実数値関数|実数値函数]]ならば {{mvar|f}} のラプラシアンは

{{NumBlk|:|<math>\Delta f \equiv \nabla^2 f := \nabla \cdot \nabla f </math>|1}}

で定義される。ただし、あとの記法は形式的に <math>\nabla = (\partial / \partial x_1, \dotsc , \partial / \partial x_n)</math> と書いたものである。あるいは同じことだが、{{mvar|f}} のラプラシアンは[[直交座標系]] {{math|''x''{{sub|''i''}}}} における'''非混合'''二階[[偏導函数]]の全てにわたる和

{{NumBlk|:|<math>\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}</math>|2}}

としても書ける。二階の微分作用素として、ラプラス作用素は[[連続的微分可能|{{math|''C''<sup>''k''</sup>}}]] 級函数を {{math|''C''<sup>''k''&thinsp;−&thinsp;2</sup>}} 級の函数へ写す ({{math|''k''&nbsp;≥&nbsp;2}})。つまり、式 1 (あるいは同値な 2) は作用素 {{math|∆: ''C''<sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) → ''C''<sup>''k''&thinsp;−&thinsp;2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)}} を定める。あるいはより一般に任意の[[開集合]] {{math|Ω}} に対して作用素 {{math|∆: ''C''<sup>''k''</sup>(Ω) → ''C''<sup>''k''&thinsp;−&thinsp;2</sup>(Ω)}} を定める。

== 数学的特徴づけ ==
ラプラス作用素は、合同変換と可換である。すなわち、任意の{{Math|''C''{{sup|∞}}}}級関数{{Math|''φ'' : '''R'''{{sup|''n''}}  → '''R'''}}と任意の合同変換{{Mvar|T}}に対し、
: <math>\Delta(\varphi(T(x)))=T(\Delta(\varphi(x)))</math>
が成立する<ref name=":1">{{harvnb|野村|2006|p=|pp=|loc=p5-6}}</ref>。

しかもラプラス作用素は、上記の性質を満たす非自明な微分演算子で最も簡単なものとして特徴づけることができる。これを説明する為、記号を導入する。{{Math|'''R'''}}を実数の集合とし、{{Mvar|n}}個の実数からなる組の集合を{{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}}とする。{{Math|1=x=(''x''{{sub|1}},…,''x''{{sub|n}})∈'''R'''{{sup|''n''}}}}と{{Mvar|n}}個の非負整数の組{{Math|1=''α''=(''α''{{sub|1}},…,''α''{{sub|n}})}}に対し、
:<math>{\partial \over \partial x^{\alpha}} := {\partial^n \over \partial x_1{}^{\alpha_1}\cdots \partial x_n{}^{\alpha_n}},</math>
: <math>|\alpha|:=\alpha_1+\cdots+\alpha_n</math>
と表記する。微分演算子
:<math>D:=\sum_{\alpha:|\alpha|\le k}a_{\alpha}{\partial \over \partial x^{\alpha}}</math>
が任意の{{Math|''C''{{sup|∞}}}}級関数{{Math|''φ'' : '''R'''{{sup|''n''}}  → '''R'''}}と向きを保つ任意の合同変換{{Mvar|T}}に対し、
: <math>D(\varphi(T(x)))=T(D(\varphi(x)))</math>
が成立していたとする。このとき、実数係数の1変数多項式{{Math|1=''p''(''X'')=Σ{{sub|m}} u{{sub|m}}X{{sup|m}}}}が存在し、
: <math>D =p(\Delta) = \sum_m u_m \Delta^m</math>
が成立する<ref name=":1" />。

よってラプラス作用素は、合同変換に対して不変な微分演算子の中で、自明なもの（＝恒等的に0を対応させる微分演算子）を除けば最も簡単なものである。

== 動機付け ==
=== 拡散 ===
[[拡散]]の[[物理学|物理理論]]において、ラプラス作用素は（[[ラプラス方程式]]を通じて）[[拡散平衡|平衡]]の数学的記述に自然に現れる<ref>{{harvnb|Evans|1998|loc=§2.2}}</ref>。具体的に、{{mvar|u}} が化学濃度のような適当な量の平衡密度であるとき、{{mvar|u}} の滑らかな境界を持つ領域 {{mvar|V}} を通る[[流束]]が、{{mvar|V}} に流入も漏出も無いとすれば、{{math|0}} であるから
: <math>\int_{\partial V} \nabla u \cdot \boldsymbol{n}\, dS = 0</math>
と書ける。ただし、<math display="inline">\boldsymbol{n}</math>は領域 {{mvar|V}} の境界に対して外側を向く[[単位法ベクトル]]である。[[発散定理]]により
:<math>\int_V \operatorname{div} \nabla u\, dV = \int_{\partial V} \nabla u \cdot \boldsymbol{n}\, dS = 0</math>
は領域 {{mvar|V}} が滑らかな境界を持つ限りにおいて成り立つから、これにより
: <math>\operatorname{div} \nabla u = \Delta u = 0</math>
が導かれる。方程式の左辺はラプラス作用素である。ラプラス作用素それ自身は[[拡散方程式]]によって記述されるような、化学濃度の流入や漏出を表す点を含む非平衡拡散に対する物理的解釈を持つ。

=== ポテンシャルに付随する密度 ===
{{mvar|φ}} が[[電荷密度|電荷分布]] {{mvar|q}} に付随した[[電位]]を記述するものとすると、電荷分布自身は {{mvar|φ}} のラプラシアンとして

{{NumBlk|:|<math>q = \Delta\varphi</math>|{{EquationRef|1}}}}

で与えられる。これは[[ガウスの法則]]の帰結である。実際、{{mvar|V}} が任意の滑らかな領域ならば、電場 <math display="inline">\boldsymbol{E}</math> の電束に関するガウスの法則により、（単位当たりの）電荷は
: <math>\int_{\partial V} \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n}\, dS = \int_{\partial V} \nabla \varphi \cdot \boldsymbol{n}\, dS = \int_V q\,dV</math>
になる。ただし、最初の等号は静電場は静電位の勾配に等しいという事実を用いた。発散定理により、
: <math>\int_V \Delta\varphi\,dV = \int_V q\, dV</math>
が成り立ち、これは任意の領域 {{mvar|V}} に対して成り立つことから ({{EquationNote|1}}) を得る。

同じ説明によって、[[重力ポテンシャル]]のラプラシアンが[[質量分布]]となることが導かれる。電荷や質量の分布が与えられていてそれらに付随するポテンシャルは未知ということはよくあることである。適当な境界条件の下でポテンシャル函数を求めるということは、[[ポワソン方程式]]を解くことに同じである。

=== エネルギー最小化 ===
物理学においてラプラス作用素が現れる別な理由は、領域 {{mvar|U}} における方程式 {{math|∆''f'' {{=}} 0}} の解は[[ディリクレエネルギー]][[エネルギー汎函数|汎函数]]を[[停留点|停留]]させる函数
:<math> E(f) := \frac{1}{2} \int_U \Vert \nabla f \Vert^2 \,dx</math>
となることである。これを見るために {{math|''f'': ''U'' &rarr; '''R'''}} は函数で、函数 {{math|''u'': ''U'' &rarr; '''R'''}} は {{mvar|U}} の境界上で消えていると仮定する。このとき
: <math>
 \frac{d}{d\varepsilon}\Bigg|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) 
= \int_U \nabla f \cdot \nabla u \, dx
= -\int_U u \Delta f\, dx 
</math>
が成り立つ（ただし、最後の等号は{{仮リンク|グリーンの第一恒等式|en|Green's identities}}を用いた）。この計算により、{{math|∆''f'' {{=}} 0}} ならば {{mvar|E}} は {{mvar|f}} の周りで停留する。逆に {{mvar|E}} が {{mvar|f}} の周りで停留するならば{{仮リンク|変分法の基本補題|en|fundamental lemma of calculus of variations}} により {{math|∆''f'' {{=}} 0}} である。

== 各種座標表示 ==
=== 二次元 ===
二次元のラプラス作用素は {{math|''x'', ''y''}} を {{mvar|xy}}-平面上の標準[[直交座標]]として
:<math>\Delta f := \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
で与えられる。

; [[極座標]]
: <math>\begin{align}
 \Delta f 
&= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\\
&= {1 \over r} {\partial f \over \partial r} 
+ {\partial^2 f \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
.
\end{align} 
</math>

=== 三次元 ===
{{See also|{{仮リンク|円筒および球座標系における微分|en|Del in cylindrical and spherical coordinates}}}}
三次元では様々な座標系がラプラシアンを記述するために広く用いられる。

; 直交座標系
: <math>
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
</math>
; [[円筒座標系]]
: <math> \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left(\rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }. 
</math>
; [[球面座標系]]
: <math> \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
</math>
; 一般の{{仮リンク|曲線座標系|en|curvilinear coordinates}} <math>(\xi^1, \xi^2, \xi^3)</math>
: <math>\nabla^2 = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n {\partial^2 \over \partial \xi^m \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m {\partial \over \partial \xi^m }, </math>
: ここで[[アインシュタインの和の規約]]を用いた。

=== 一般次元 ===
{{mvar|N}} 次元球座標系において、{{mvar|r}} を正の実数をとる半径、{{mvar|θ}} は[[単位球面]][[超球面| {{math|''S''<sup>''N''&minus;1</sup>}}]] の元として、パラメータ表示 {{math|1=''x'' = ''r''θ ∈ '''R'''<sup>''N''</sup>}} をすれば

: <math> \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f
</math>

と書ける。ただし、{{math|∆{{sub|''S''{{sup|''N''&minus;1}}}}}} は球ラプラシアンとも呼ばれる (''N''&minus;1)-次元球面上のラプラス＝ベルトラミ作用素である。二つの球対称微分項は
:<math>\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)</math>
と書いても同じことである。一つの帰結として、{{math|''S''<sup>''N''&minus;1</sup> ⊂ '''R'''<sup>''N''</sup>}} 上で定義される函数の球ラプラシアンは <math display="inline">\mathbf{R}^N \backslash \{0\}</math> へ延長した函数の通常のラプラシアンとして計算することができて、それは半直線に沿って定数（つまり、斉零次の[[斉次函数]]）になる。

== スペクトル論 ==
{{see also|{{仮リンク|太鼓の形を聴く|en|Hearing the shape of a drum}}|[[ディリクレ固有値]]}}
ラプラス作用素の[[スペクトル論|スペクトル]]は、対応する固有函数 {{mvar|f}} が
:<math>-\Delta f = \lambda f</math>
を満たすようにできる固有値 {{math|&minus;''λ''}} の全てからなる{{要検証|date=2016年7月}}。上の式は[[ヘルムホルツ方程式]]と呼ばれるものである。 {{math|Ω}} を {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} の有界領域とすれば、ラプラス作用素の固有函数全体は[[ヒルベルト空間]] [[ルベーグ空間|''L''<sup>2</sup>(&Omega;)]] の[[正規直交基底]]を成す。この結果は本質的には[[コンパクト作用素|コンパクト]][[自己随伴作用素]]に関する[[スペクトル定理]]をラプラス作用素の逆作用素（これは[[ポアンカレ不等式|ポワンカレ不等式]]および{{仮リンク|コンドラコフ埋蔵定理|en|Kondrakov embedding theorem}}によってコンパクト）に適用することにより従う<ref>{{harvnb|Gilbarg|Trudinger|2001|loc=Theorem 8.6}}</ref>。固有函数が[[無限回微分可能函数]]であることも示せる<ref>{{harvnb|Gilbarg|Trudinger|2001|loc=Corollary 8.11}}</ref>。この結果はより一般に、任意の境界付きコンパクトリーマン多様体上のラプラス＝ベルトラム作用素について成り立ち、また実際に有界領域上滑らかな係数を持つ任意の[[楕円型作用素]]に対するディリクレ固有値問題についても正しい。{{math|Ω}} が[[超球面]]であるときの、ラプラス作用素の固有函数は[[球面調和函数]]と呼ばれる。

== 一般化 ==
=== ラプラス＝ベルトラミ作用素 ===
{{main|{{仮リンク|ラプラス＝ベルトラミ作用素|en|Laplace–Beltrami operator}}}}

ラプラス作用素の概念は、[[リーマン多様体]]上で定義された{{仮リンク|ラプラス＝ベルトラミ作用素|en|Laplace–Beltrami operator}}と呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。同様にダランベール作用素は[[擬リーマン多様体]]上の双曲型作用素に一般化される。ラプラス＝ベルトラミ作用素を函数に適用すれば、その函数の[[ヘッセ行列]]の[[蹟 (線型代数学)|トレース]]
: <math>\Delta f = \operatorname{tr}(H(f))</math>
が得られる。ただし、トレースは[[計量テンソル]]の逆に関して取るものとする。ラプラス＝ベルトラミ作用素を同様の式で[[テンソル場]]に作用する作用素（これもまたラプラス＝ベルトラミ作用素と呼ばれる）に一般化することができる。

ラプラス作用素の別な一般化として、擬リーマン多様体上で定義される[[外微分]]を用いた「幾何学者のラプラシアン」と呼ばれる
: <math> \Delta f = d^* d f</math>
を考えることもできる。ここで {{math|''d''<sup>&lowast;</sup>}}は{{仮リンク|余微分|en|codifferential}}で、[[ホッジ双対]]を使って書くこともできる。これが上に述べた「解析学者のラプラシアン」とは異なるものであることには注意すべきである。そのことは大域解析学の論文を読むときには常に気を付けねばならない。
より一般に、[[微分形式]]に対して定義される「ホッジ」ラプラシアン {{mvar|&alpha;}} は
: <math>\Delta \alpha = d^* d\alpha + dd^*\alpha</math>
と書ける。これはまた{{仮リンク|ラプラス＝ドラーム作用素|en|Laplace–de Rham operator}}とも呼ばれ、{{仮リンク|ヴァイツェンベック不等式|en|Weitzenböck identity}}によってラプラス＝ベルトラミ作用素と関係する。

=== ダランベール作用素 ===
ラプラシアンを適当な仕方によって[[非ユークリッド空間]]に一般化することができて、それには[[楕円型作用素|楕円型]]、[[双曲型作用素|双曲型]]、{{仮リンク|超双曲型作用素|label=超双曲型|en|ultrahyperbolic operator}}などが可能である。

[[ミンコフスキー空間]]におけるラプラス＝ベルトラミ作用素は[[ダランベール演算子|ダランベール作用素]]
:<math>\square
=\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }
-{\partial^2 \over \partial x^2 }
-{\partial^2 \over \partial y^2 }
-{\partial^2 \over \partial z^2 }
</math>
となる。これは考える空間上の[[等長変換群]]のもとで不変な微分作用素であるという意味においてラプラス作用素の一般化となるものであり、時間不変函数へ制限する限りにおいてはラプラス作用素に帰着される。ここでは計量の符号を作用素の空間成分に関して負符号を許すようにしてあることに注意（高エネルギー[[粒子物理学]]ではこう仮定するのが普通）。ダランベール作用素は[[波動方程式]]に現れる微分作用素であるという理由で波動作用素と呼ばれることもある。これはまた[[クライン＝ゴルドン方程式]]（質量の無い場合には波動方程式に帰着される）の成分でもある。

計量における余分な因子 {{mvar|c}} は、物理学において空間と時間を異なる単位で測っている場合に必要となるものである（例えば同様のことは {{mvar|x}}-方向をメートルで {{mvar|y}}-方向をセンチメートルで測ったりするような場合にも出てくる）。実際、理論物理学では方程式を簡単にする目的で、[[自然単位系]]などの単位系のもと {{math|''c'' {{=}} 1}} として扱うのがふつうである。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ベクトルラプラス作用素|en|vector Laplacian}}: ベクトル場に対する一般化
* {{仮リンク|微分幾何におけるラプラス作用素|en|Laplace operators in differential geometry}}
* {{仮リンク|離散ラプラス作用素|en|discrete Laplace operator}}: 本項の連続的なラプラシアンに対して、有限差分化した類似対応物。
* [[ラプラシアン行列]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{citation|author=Evans, L|title=Partial Differential Equations|publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]|year=1998|isbn=978-0-8218-0772-9}}.
* {{citation|author=Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M|title=[[The Feynman Lectures on Physics]]|volume=Volume 2|chapter=Chapter 12: Electrostatic Analogs|publisher=Addison-Wesley-Longman|year=1970}}.
* {{citation|author2-link=Neil Trudinger|first1=D.|last1=Gilbarg|first2=N.|last2=Trudinger|title=Elliptic partial differential equations of second order|year=2001|publisher=Springer|isbn=978-3-540-41160-4}}.
* {{citation|author=Schey, H. M.|title=Div, grad, curl, and all that|publisher=W W Norton & Company|year=1996|isbn=978-0-393-96997-9}}.
* {{Cite web|url=http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/TKRHA.pdf|title=極座標・回転群・SL(2, R)|accessdate=2017年1月4日|author=野村隆昭|year=2006|format=pdf|publisher=|ref=野村2006}}

== 外部リンク ==
*{{springer|title=Laplace operator|id=p/l057510}}
*{{MathWorld | urlname=Laplacian | title=Laplacian}}

{{DEFAULTSORT:らふらすさようそ}}
[[Category:微分作用素]]
[[Category:楕円型偏微分方程式]]
[[Category:フーリエ解析]]
[[Category:調和関数]]
[[Category:微分積分学における線型作用素]]
[[Category:多変数微分積分学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]