ヤコビ行列のソースを表示

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{{calculus}}
[[数学]]、特に[[多変数微分積分学]]および[[ベクトル解析]]における'''ヤコビ行列'''（やこびぎょうれつ、{{lang-en-short|''Jacobian matrix''}}）あるいは単に'''ヤコビアン'''<ref name="MathWorld">{{MathWorld| title=Jacobian|urlname=Jacobian}}</ref>または'''関数行列'''（かんすうぎょうれつ、{{lang-de-short|''Funktionalmatrix''}}）は、一変数スカラー値関数における[[微分係数|接線の傾き]]および一変数ベクトル値函数の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称は[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]]に因む。多変数ベクトル値関数 {{mvar|f}} のヤコビ行列は、{{mvar|f}} の各成分の各[[偏微分|軸方向への方向微分]]を並べてできる[[行列]]で

:<math>J_f = D_x f = \frac{\partial f}{\partial x} = \begin{pmatrix}
 \cfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \cfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n} 
\end{pmatrix}\quad (f=\begin{pmatrix}f_1(x_1,\ldots,x_n)\\\vdots\\f_m(x_1,\ldots,x_n)\end{pmatrix})</math>
のように表される。

ヤコビ行列の[[行列式]]は、'''ヤコビ行列式''' (''{{lang-en-short|Jacobian determinant}}'') あるいは単に'''ヤコビアン'''<ref name="MathWorld" />と呼ばれる。ヤコビ行列式は変数変換に伴う[[面積分|面積要素]]や[[体積要素]]の[[無限小]]変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば[[重積分]]の{{仮リンク|変数変換|en|change of variables}}に現れる。

これらは[[多変数微分積分学]]、[[多様体論]]などで基本的な役割を果たすほか、[[最適化問題]]等の応用分野でも重要な概念である。

== 定義 ==
{{mvar|D}} を {{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[開集合]]とし、{{mvar|f}} を {{mvar|D}} 上で定義され、{{math|'''R'''{{sup|''m''}}}} に値を取る[[写像|関数]]とする。
点 {{math|''p'' &isin; ''D''}} における {{mvar|f}} の'''ヤコビ行列'''は、
:<math>\frac{\partial f}{\partial x}(p) = \begin{pmatrix}
 \cfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(p) & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(p) \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \cfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(p) & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(p) 
\end{pmatrix}</math>
なる {{mvar|''m'' &times; ''n''}} 行列をいう。これをしばしば {{math|''J{{ind|f}}''(''p'')}} や {{math|''Df''(''p'')}} あるいは {{math|1={{sfrac|∂''f''|∂''x''}} = {{sfrac|∂(''f''{{ind|1}}, …, ''f''{{ind|''m''}})|∂(''x''{{ind|1}}, …, ''x''{{ind|''n''}})}}}}, {{math|1={{sfrac|''Df''|''Dx''}} = {{sfrac|''D''(''f''{{ind|1}}, …, ''f''{{ind|''m''}})|''D''(''x''{{ind|1}}, …, ''x''{{ind|''n''}})}}}} などと表す。

{{math|''m'' {{=}} ''n''}} の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その[[行列式]]を考えることができる。ヤコビ行列の行列式 {{math|{{!}}''J{{sub|f}}''{{!}}}} を'''ヤコビ行列式'''、'''関数行列式'''あるいは簡単に'''ヤコビアン'''と呼ぶ。ヤコビ行列式も {{math|{{!}}''J{{sub|f}}''{{!}}}}, {{math|{{!}}''Df''(''p''){{!}}}} あるいは {{math|1={{!}}{{sfrac|∂''f''|∂''x''}}{{!}} = {{!}}{{sfrac|∂(''f''{{ind|1}}, …, ''f''{{ind|''m''}})|∂(''x''{{ind|1}}, …, ''x''{{ind|''n''}})}}{{!}}}}, {{math|1={{!}}{{sfrac|''Df''|''Dx''}}{{!}} = {{!}}{{sfrac|''D''(''f''{{ind|1}}, …, ''f''{{ind|''m''}})|''D''(''x''{{ind|1}}, …, ''x''{{ind|''n''}})}}{{!}}}} などとも書かれる。

== 性質 ==
ヤコビ行列は、実関数に関する微分係数および導函数の自然な拡張となっている。つまり、{{math|''n'' {{=}} ''m'' {{=}} 1}} のとき、{{math|(1, 1)}}-型行列とその唯一の成分である実数とを同一視することにより、ヤコビ行列の概念は微分係数および導函数の概念に一致する。

{{mvar|f}} が点 {{mvar|p}} において任意の[[偏微分]]を持つならば {{mvar|p}} においてヤコビ行列は存在する。しかし、{{mvar|f}} の偏微分可能性だけでは {{mvar|f}} の[[全微分|微分可能性]]は言えないから、ヤコビ行列が存在しても {{mvar|f}} は {{mvar|p}} において必ずしも全微分可能でない。

{{mvar|f}} が {{mvar|D}} 上の点 {{mvar|p}} で微分可能、すなわち
: <math>\lim_{x\to p}\dfrac{\|f(x)-f(p)-\mathit{df}(x-p)\|}{\|x- p\|} =0</math>
なる線型写像 {{mvar|df}} が存在するとき、この線型写像 {{mvar|df}} の標準基底に関する表現行列は {{mvar|f}} の {{mvar|p}} におけるヤコビ行列 {{math|''J{{sub|f}}''(''p'')}} によって与えられる（すなわち、{{math|'''R'''{{sup|''m''}}}} のベクトルの各成分への[[射影]] {{math|'''R'''}} への[[射影]] {{math|&pi;{{sub|''i''}}: '''R'''{{sup|''m''}} → '''R''' (''i'' {{=}} 1, 2, ..., ''m'' )}} に対して
: <math>f_i := \pi_i \circ f</math> 
と書けば、点 {{math|''x'' {{=}} ''p''}} におけるヤコビ行列 {{math|''J{{sub|f}}''(''p'')}} は 
: <math> \bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg|_{x=p}\bigg)_{i=1,\ldots,m \atop j=1,\ldots,n}</math>　
と書くことができる）。またこれは {{mvar|f}} が {{mvar|D}} の全域で微分可能であるとき、{{mvar|p}} に対して {{math|''J{{sub|f}}'' (''p'')}} を対応させる写像 {{math|''J{{ind|f}}'': ''p'' {{mapsto}} ''J{{ind|f}}''(''p'')}} は {{mvar|f}} の[[全微分]]であると言っても同じことである。

{{mvar|f}} が点 {{mvar|p}} において微分可能であるとき、点 {{mvar|p}} におけるヤコビ行列 {{math|''J{{sub|f}}''(''p'')}} は、{{mvar|x}} が {{mvar|p}} に十分近いとき
: <math>f(x)=f(p)+J_f(p)(x-p)+o(\|x-p\|)</math>
なる関係を満足する（ここで {{mvar|o}} は[[ランダウの記号]]）という意味で {{mvar|f}} の {{mvar|p}} における[[一次近似]]であり、[[接ベクトル空間|接空間]]の間の[[線型写像]]とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、{{mvar|g}} が {{math|''f''(''p'')}} を含む領域 {{mvar|E}} から {{math|'''R'''{{sup|''l''}}}} への関数であり、{{math|''f'' (''p'' )}} において微分可能であるとき、
: <math>J_{g \circ f}(p) = J_g(f(p)) \cdot J_f(p)</math>
が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。

=== 逆関数の定理 ===
ここでは、{{mvar|f}} が {{mvar|D}} 上で[[滑らかな関数| {{mvar|C{{sup|k}}}} 級]] {{math|(''k'' &ge; 1)}} であるとする。

{{math|''m'' {{=}} ''n''}} のとき、{{mvar|f}} の {{mvar|p}} におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が[[正則行列]]である場合、{{mvar|f}} は 局所的に[[全単射]]となり、その逆関数は {{math|''C{{sup|k}}''}} 級であり、{{math|''f'' (''p'' )}} でのヤコビ行列は {{math|''J{{sub|f}}''(''p'')}} の逆行列となる。
つまり、{{mvar|p}} を含むある領域 {{mvar|D{{'}}}} について、{{mvar|f}} の {{mvar|D{{'}}}} への制限
: <math>h := f|_{D'}\colon D' \to f(D')</math> 
が {{mvar|C{{sup|k}}}} 級全単射で、
: <math>J_{h^{-1}}(h(p)) = (J_h(p))^{-1}</math>
となる。

一方、{{math|''J{{sub|f}}''(''p'')}} が退化している（[[行列の階数|階数]]が落ちる）場合には、以下の二つの状況がありうる。
* {{mvar|f}} は {{mvar|p}} のまわりで局所的に全単射だが、逆関数が {{math|''f''(''p'')}} にて微分不可能
*;例: {{math|''x''{{exp|3}}}} は 0 付近で全単射だが、逆関数は 0 で微分不可能
* {{mvar|f}} は {{mvar|p}} のまわりで局所的にも全単射でない
*;例: {{math|''x''{{exp|2}}}} は 0 付近で局所的にも全単射でない

この時、{{mvar|p}} を[[特異点 (数学)|特異点]]、または[[臨界点 (数学)|臨界点]]という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。

== 多様体論におけるヤコビ行列 ==
{{main|接ベクトル空間}}

ここでは、[[多様体]]間の写像のヤコビ行列について述べる。

{{mvar|M, N}} をそれぞれ {{mvar|m}} 次元、{{mvar|n}} 次元の {{math|''C{{sup|k}}'' (''k'' &ge; 1)}} 多様体で、{{mvar|f}} をその間の {{mvar|C{{sup|k}}}} 級写像だとする。
このとき、{{mvar|f}} の点 {{math|''p'' &isin; ''M''}} での微分 {{mvar|df{{sub|p}}}} は、点 {{mvar|p}} における {{mvar|M}} の[[接ベクトル空間]] {{mvar|T{{sub|p}}M}} と、点 {{math|''f''(''p'')}} における {{mvar|N}} の接ベクトル空間 {{math|''T''{{sub|''f''(''p'')}}''N''}} の間の線型写像となる。{{mvar|p}} のまわりの {{mvar|M}} の局所座標 {{math|{{(}}''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|m}}''{{)}}}} および {{math|''f'' (''p'')}} のまわりの {{mvar|N}} の局所座標 {{math|{{(}}''y'' {{sub|1}}, ..., ''y{{sub|n}}''{{)}}}} を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。
この基底に関する {{mvar|df{{sub|p}}}} の表現行列を {{mvar|f}} の {{mvar|p}} におけるヤコビ行列と呼ぶ。

写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。
ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに[[行列の相似|共役]]である。

この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。
{{math|''M'' {{=}} '''R'''{{sup|''m''}}}}（の開集合）、{{math|''N'' {{=}} '''R'''{{sup|''n''}}}} とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する<ref group="注">ただし、冒頭の定義とは {{mvar|m}} と {{mvar|n}} の役割が逆になっている</ref>。

== 極座標系に関する具体例 ==
{{seealso|{{仮リンク|変数変換|en|change of variables}}}}
ここでは、いくつかの[[極座標系]]から[[直交座標系]]への座標変換で、ヤコビアンがどのようになるか述べる。

=== 円座標 ===
円座標は、直交座標への座標変換 {{math|(''x'' , ''y'') {{=}} ''f''(''r'' , &theta;) {{=}} (''r'' cos&thinsp;&theta;, ''r'' sin&thinsp;&theta;)}} を与えるから、ヤコビアンは
:<math>|J_f| = \left| \frac{\partial (x , y)}{\partial (r, \theta)} \right| = \begin{vmatrix}
 \cos\theta & -r\sin\theta \\
 \sin\theta &  r\cos\theta
\end{vmatrix}= r</math>
となる。従って、特異点は {{math|''r'' {{=}} 0}} となる点、即ち {{math|(0, &theta;)}} である。これは直交座標での {{math|(0, 0)}} を表す。

=== 円柱座標 ===
[[円柱座標]]は、直交座標への座標変換 {{math|(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''f'' (''r'', &theta;, ''z'') {{=}} (''r'' cos&thinsp;&theta;, ''r'' sin&thinsp;&theta;, ''z'')}} を与えるから、ヤコビアンは
:<math>|J_f| =\begin{vmatrix}
  \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
  \sin\theta &  r\cos\theta & 0 \\
  0          &  0           & 1
\end{vmatrix}= r</math>
となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は {{math|''r'' {{=}} 0}} となる点、即ち {{math|(0, &theta;, ''z'')}} である。これは直交座標での {{math|(0, 0, ''z'')}} すなわち {{mvar|z}}&ndash;軸を表す。

=== 球座標 ===
球座標は、直交座標への座標変換 {{math|(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''f'' (''r'', &theta;, &phi;) {{=}} (''r'' sin&theta;cos&phi;, ''r'' sin&theta;sin&phi;, ''r'' cos&theta;)}} を与えるから、ヤコビアンは
:<math>|J_f| =\begin{vmatrix}
  \sin\theta\cos\phi &  r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\
  \sin\theta\sin\phi &  r\cos\theta\sin\phi &  r\sin\theta\cos\phi \\
  \cos\theta         & -r\sin\theta         &  0
\end{vmatrix}= r^2 \sin\theta</math>
となる。従って、特異点は {{math|''r'' {{=}} 0}} または {{math|sin&thinsp;&theta; {{=}} 0}} となる点、即ち {{math|(0, &theta;, &phi;)}} と {{math|(''r'', 0, &phi;), (''r'', &pi;, &phi;)}} である。これは直交座標での {{math|(0, 0, 0), (0, 0, ''r''), (0, 0, &minus;''r'')}} すなわち {{mvar|z}}&ndash;軸を表す。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book|和書|editor=[[岩堀長慶]] 編|title=微分積分学|publisher=裳華房|date=1983-12|isbn=978-4-7853-1039-4|ref={{Harvid|岩堀|1983}}}}
*{{cite book|和書|author=島和久|title=多変数の微分積分学|publisher=近代科学社|date=1991-09|isbn=978-4-7649-1024-9|ref={{Harvid|島|1993}}}}
*{{Citation|last=Spivak|first=Michael|author-link=:en:Michael Spivak|origyear=1965|year=2018|title=[[:en:Calculus on Manifolds (book)|Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus]]|publisher=CRC Press|location=New York|edition=Paperback|series=Mathematics Monograph Series|isbn=978-0-8053-9021-6}}
**{{cite book|和書|first=M.|last=スピヴァック|translator=[[斎藤正彦|齋藤正彦]]|title=多変数の解析学　古典理論への現代的アプローチ|publisher=東京図書|edition=新装版|date=2007-04|isbn=978-4-489-02004-9|ref={{Harvid|スピヴァック|2007}}}}
*{{cite book|和書|author=松本幸夫|title=多様体の基礎|publisher=東京大学出版会|series=基礎数学 5|date=1988-09|isbn=978-4-13-062103-8|ref={{Harvid|松本|1988}}}}
*{{citation|first=Frank W.|last=Warner|title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups|series=Graduate Texts in Mathematics 94|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin Heidelberg|year=2010|isbn=978-1-4419-2820-7}}

== 関連項目 ==
* [[ヘッセ行列]]

{{DEFAULTSORT:やこひきようれつ}}
[[Category:微分積分学]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:微分の一般化]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]