マクスウェル分布のソースを表示

{{確率分布
|name=マクスウェル分布
|type=密度
|pdf_image=[[File:Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg|325px]]
|cdf_image=[[File:Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg|325px]]
|parameters=<math>a=\sqrt{\frac{kT}{m}}>0</math>
|support=<math>x\in (0;\infty)</math>
|pdf=<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{x^2e^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a^3}</math>
|cdf=<math>\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}a}\right)-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{xe^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a}</math>erfは[[誤差関数]]
|mean=<math>\mu=2a\sqrt{\frac{2}{\pi}}</math>
|median=
|mode=<math>\sqrt{2}a</math>
|variance=<math>\sigma^2=\frac{a^2(3\pi-8)}{\pi}</math>
|skewness=<math>\gamma_1=\frac{2\sqrt{2}(16-5\pi)}{(3\pi-8)^{3/2}}</math>
|kurtosis=<math>\gamma_2=4\frac{\left(-96+40\pi-3\pi^2\right)}{(3\pi-8)^2}</math>
|entropy=<math>\ln\left(a\sqrt{2\pi}\right)+\gamma-\frac{1}{2}</math>
|mgf=
|char=
}}
'''マクスウェル分布'''（マクスウェルぶんぷ、{{Lang-en-short|Maxwell distribution}}{{R|terms}}）とは、[[熱力学的平衡]]状態において、[[気体]][[分子]]の[[速度]]が従う[[確率分布#分布関数|分布関数]]である。'''マクスウェル＝ボルツマン分布'''（{{Lang-en-short|Maxwell–Boltzmann distribution}}{{R|terms}}）と呼ばれることもある。[[気体分子運動論]]により導かれたが、より一般化された[[ボルツマン分布]]からも導かれる。最初に見いだしたイギリスの物理学者[[ジェームズ・クラーク・マクスウェル|J.C.マクスウェル]]にちなんで名付けられた。

== 導出 ==
[[気体分子運動論]]では、成分を {{Mvar|v{{Sub|x}}, v{{Sub|y}}, v{{Sub|z}}}} とする[[速度]][[空間ベクトル|ベクトル]] {{Mvar|'''v'''}} について、{{Mvar|x}} 方向の速度成分 {{Mvar|v{{sub|x}}}} の分布は、分子の質量を {{Mvar|m}}、[[ボルツマン定数]]を {{Mvar|k}}、[[熱力学温度|絶対温度]]を {{Mvar|T}}、係数を {{Math|''A''}} として
:<math>A \exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)</math>
に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の[[正規分布]]になる。したがって、係数 {{Math|''A''}} を求めるには {{Mvar|v{{Sub|x}}}} に関して積分した値が1になれば良いので{{R|atkins.p27|rikou.p17}}
:<math>A \int_{-\infin}^{+\infin}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)\mathrm dv = 2 A \int_{0}^{+\infin}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)\mathrm dv = 1</math>
より、{{Math|''A'' {{=}} {{sqrt|''m'' / 2''&pi;kT''}}}} となる。したがって、{{Mvar|x}} 方向の速度成分 {{Mvar|v{{sub|x}}}} の分布は
:<math>f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)</math>
となる{{R|atkins.p27|chang.p28}}。

また、{{Mvar|x, y, z}} 方向の各速度の分布は互いに独立で、
:<math>f(v_x,v_y,v_z)=f(v_x)f(v_y)f(v_z)</math>
が成り立つので、方向を指定しない3次元の[[速さ]] {{Mvar|v}} の分布は
:<math>f(v)\mathrm dv_x\mathrm dv_y\mathrm dv_z=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{m\left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right)}{2kT}\right)\mathrm dv_x\mathrm dv_y\mathrm dv_z</math>
となる{{R|atkins.p27}}。ここで、{{Math|d''v{{Sub|x}}''d''v{{Sub|y}}''d''v{{Sub|z}}''}} は半径 {{Mvar|v}} で厚さ {{Math|d''v''}} の球殻の体積に相当するので、{{Math|4''&pi;v''{{Sup|2}}d''v''}} となり{{R|atkins.p28|rikou.p17}}、また[[スカラー (物理学)|スカラー]]量である速さ {{Mvar|v}} の大きさは {{Math|''v'' {{=}} {{Sqrt|{{SubSup|v|''x''|2}} + {{SubSup|v|''y''|2}} + {{SubSup|v|''z''|2}}}}}} なので、マクスウェル分布は
:<math>f(v)\mathrm dv=4\pi v^2\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)\mathrm dv</math>
より
:<math>f(v)=4\pi v^2\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)</math>
となる{{R|atkins.p26|atkins.p28|chang.p28|rikou.p17}}。
{{Main2|分子の分布が上の式に従うことの証明|最大エントロピー原理}}
{{Clear}}

=== 速度分布 ===
[[File:MaxwellBoltzmann.gif|thumb|300px|25℃における[[希ガス]]中での分子の速さの分布をプロットした図]]
分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。
{{clear}}

== 導かれる速度 ==
マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。

まず1つ目の速度が英語で"{{En|The most probable speed}}"と呼ばれる速度で、日本語では「'''最大確率速度'''{{R|rikou.p17}}」や「'''最確速度'''{{R|atkins.p28}}<ref>[[#chang|『化学・生命科学系のための物理化学』]] p.29</ref>」などと呼ばれるものであり、記号で {{Math|''v''{{Sub|mp}}}} と表される。これは、マクスウェル分布の[[最頻値]]であり、グラフのピークを求めれば良いので{{R|atkins.p28}}
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dv}f(v)=0</math>
より{{R|chang.p30}}
:<math>v_\mathrm{mp}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}</math>
となる{{R|atkins.p28|chang.p30|rikou.p18}}。

次に求められる速度が[[速度#平均速度と瞬間速度|平均速度]] {{Mvar|{{Overline|v}}}} である。これはマクスウェル分布の[[期待値]]なので
:<math>\overline{v}=\langle v\rangle=\int_0^{\infty}vf(v)\mathrm dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}v_\mathrm{mp}</math>
となる{{R|atkins.p28|chang.p30|rikou.p18}}。

最後に求められる速度が[[根二乗平均速度]] {{Math|''v''{{Sub|rms}}}} である。これはマクスウェル分布の[[モーメント (確率論)|モーメント]]なので
:<math>v_\mathrm{rms}=\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{\int_0^{\infty}v^2f(v)\mathrm dv}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3}{2}}v_\mathrm{mp}</math>
となる{{R|chang.p30}}。

また、これら3つの速度の比は
:<math>v_\mathrm{mp}:\overline{v}:v_\mathrm{rms}=1:\frac{2}{\sqrt{\pi}}:\sqrt{\frac{3}{2}}=1:1.128:1.225</math>
と表される{{R|rikou.p18}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
;出典
{{Reflist|2|refs=
<ref name="terms">[[#term|『学術用語集』]]</ref>
<ref name="atkins.p26">[[#atkins|『アトキンス物理化学』]] p.26</ref>
<ref name="atkins.p27">[[#atkins|『アトキンス物理化学』]] p.27</ref>
<ref name="atkins.p28">[[#atkins|『アトキンス物理化学』]] p.28</ref>
<ref name="chang.p28">[[#chang|『化学・生命科学系のための物理化学』]] p.28</ref>
<ref name="chang.p30">[[#chang|『化学・生命科学系のための物理化学』]] p.30</ref>
<ref name="rikou.p17">[[#rikou|『理工系学生のための化学基礎』]] p.17</ref>
<ref name="rikou.p18">[[#rikou|『理工系学生のための化学基礎』]] p.18</ref>
}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|editor=[[文部省]]・[[日本物理学会]]編|title=[[学術用語集]] 物理学編|url=<!--http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi-->|date=1990-09|edition=増訂版|publisher=[[培風館]]|id={{全国書誌番号|90057219}}|isbn=4-563-02195-4|ncid=BN05183934|oclc=23241821|asin=4563021954|ref=term}}
* {{Cite book|和書|author=P. W. Atkins|authorlink=ピーター・アトキンス|translator=千原秀昭・中村亘男|chapter=1.3. 気体の運動論モデル|title=アトキンス物理化学|edition=第6版|date=2001-01-30|publisher=[[東京化学同人]]|id={{全国書誌番号|20141197}}|isbn=4-8079-0529-5|ncid=BA50699995|oclc=834997205|asin=4807905295|volume=上巻|ref=atkins}}
* {{Cite book|和書|author=Raymond Chang|authorlink=:en:Raymond Chang (chemist)|chapter=3.4. マクスウェル分布則|url=http://www.tkd-pbl.com/book/b16264.html|title=化学・生命科学系のための物理化学|translator=岩澤康裕・北川禎三・[[濱口宏夫]]|publisher=[[東京化学同人]]|date=2003-01-10|id={{全国書誌番号|20370378}}|isbn=978-4-8079-0563-8|ncid=BA60479780|oclc=676444896|asin=4807905635|ref=chang}}
* {{Cite book|和書|author=卜部和夫|author2=川泉文男|author3=平澤政廣|author4=松井恒雄|chapter=1.3. 気体分子運動論|url=http://www.gakujutsu.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7806-0351-4.html|title=理工系学生のための化学基礎|editor=野村浩康・川泉文男（編）|edition=第6版|publisher=[[学術図書出版社]]|date=2013-10-31|id={{全国書誌番号|22331758}}|isbn=978-4-7806-0351-4|ncid=BB13985110|oclc=867490860|asin=478060351X|ref=rikou}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Maxwell–Boltzmann distributions|マクスウェル・ボルツマン分布}}
* [[平均自由行程]]
* [[真空]]
* [[最大エントロピー原理]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|2=法則の辞典}}
* {{Kotobank|マクスウェル‐ボルツマンの速度分布則|2=法則の辞典}}
* {{Kotobank|マクスウェル＝ボルツマン分布|2=世界大百科事典 第2版}}
* {{Kotobank|マクスウェル‐ボルツマン統計|2=日本大百科全書(ニッポニカ)}}

{{Chem-stub}}
{{Physics-stub}}
{{DEFAULTSORT:まくすうえるふんふ}}
[[Category:物理化学]]
[[Category:統計力学]]
[[Category:熱力学]]
[[Category:エポニム]]
[[Category:ジェームズ・クラーク・マクスウェル]]