ベイズの定理のソースを表示

{{ベイズ統計学}}
[[画像:Thomas Bayes.gif|150px|thumb|[[トーマス・ベイズ]]（c. 1701–1761）]]
'''ベイズの定理'''（ベイズのていり、{{lang-en-short|Bayes' theorem}}）とは、[[条件付き確率]]に関して成り立つ[[定理]]で、{{要検証範囲|[[トーマス・ベイズ]]によって示された。|date=2016-11}}

なお[[ベイズ統計学]]においては基礎として利用され、いくつかの未[[観測]]要素を含む推論等に応用される。<!--例えば、[[スパム (メール)|迷惑メール]]の発見・分類といった作業のコンピュータを用いた自動化（[[フィルタリング]]）等の[[情報工学]]上の情報ふるい分けにも利用されている。-->

== ベイズの定理 ==
[[ファイル:Bayes' Theorem 2D.png|thumb|2つの樹形模様を重ね合せて表現したベイズの定理。]]
[[ファイル:Bayes' Theorem 3Dv2.png|thumb|ベイズの定理を3次元で描いた説明図。]]
[[画像:Pierre-Simon, marquis de Laplace (1745-1827) - Guérin.jpg|thumb|[[ピエール＝シモン・ラプラス]]（1745–1827）]]

一般に、確率および[[条件付き確率]]に関して、''P''(''A'') > 0 のとき次が成り立つ{{sfn|Gelman et al.|2014|loc={{google books quote|id=ZXL6AQAAQBAJ|page=7|(1.1)}}}}<!-- 適切なレベルの出典ではない気がするが、とりあえず。 -->。
:<math>P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}</math>
この定理は[[イギリス]]の牧師[[トーマス・ベイズ]]（[[circa|c.]] [[1701年|1701]]–[[1761年|1761]]{{sfn|Stigler|1986|loc={{google books quote|id=M7yvkERHIIMC|page=97|text=The date of Bayes's birth is unknown, but it was probably in 1701; he died 7 April 1761}}}}）によって発見され、彼の死後に[[リチャード・プライス]]によって{{harv|Bayes|Price|1763}}で発表された。その後[[ピエール＝シモン・ラプラス]]によって再発見・発展され、その存在が広く認識されるようになった。

確率および[[条件付き確率]]に関する定理であり、[[頻度主義]]統計学、[[ベイズ統計学]]のどちらでも成立する{{要出典|date=2019年5月}}。

== ベイズ推定 ==
{{main|ベイズ推定}}
ベイズの定理と組み合わせて確率的推論を行う方法が[[ピエール＝シモン・ラプラス|ラプラス]]によって始められ、現在言うところの[[ベイズ統計学]]の端緒となった。事象の確率という考え方を採用する特徴がある。

現在は例えば、[[スパム (メール)|迷惑メール]]の発見・分類といった作業のコンピュータを用いた自動化（[[ベイジアンフィルタ|フィルタリング]]）等のふるい分けにも利用されている。

=== 概要 ===
事象Bの[[ベイズ確率]]について、
* ''P''(''B'') = 事象 ''A'' が起きる前の、事象 ''B'' の確率（'''[[事前確率]]''', prior probability）
* ''P''(''B''|''A'') = 事象 ''A'' が起きた後での、事象 ''B'' の確率（'''[[事後確率]]'''，'''条件付き確率''', posterior probability，conditional probability）

とする。 ベイズの定理を使えば、事後確率 ''P''(''B''|''A'') は下記に従って計算される。<!--によれば、''P''(''A'') > 0 の条件の下、が成り立つ。-->
:<math>P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}</math>

すなわち、事象Aに関するある結果（データ）が得られたとすると、それを反映し、[[尤度]] ''P''(''A''|''B'') の乗算によって、事象 ''B'' の確率は事前確率から事後確率へと更新される。<!--下での'''[[事後確率]]'''を求めるのに使われている。-->なお事象 ''B'' の確率の観点からは、''P''(''A'') は規格化定数としての意味しかないため、しばしば省略される。つまり事後確率は事前確率と尤度の積に比例する：
:<math>P(B|A) \propto P(A|B)P(B) = P(A, B).</math>


[[ベイズ統計学]]（および[[ベイズ決定理論]]）は上記の手続きにその基礎をおき、名前の由来ともなっている{{要出典|date=2019年5月}}。

===批判===
ベイズ統計学では、事象の確率という考え方を採用し、必ずしも頻度には基づかない確率を「確率」として見なす。

またベイズの定理を用い、'''事前確率'''及び[[尤度]]を仮定した下で'''事後確率'''を与える、という相対的なメカニズムを主張している。したがって'''事後確率'''の計算結果の信憑性や有用性は、事前分布と尤度の設定にかかっており、慎重を期すことが必要である。これは<!--ベイズの定理を含む-->[[ベイズ統計学]]が、不確実性を含む問題を人によって異なる確率を用いて定式化することを許容する[[主観確率]] (subjective probability) という立場をとっていることによる。この立場はまだ解析対象となっていない新たな問題へのアプローチを可能にするという利点がある一方で、確率の決め方について客観性に欠けるという批判もある（[[客観確率]]）。

== 応用例 ==
=== 薬物検査 ===
[[File:Bayes theorem drugs example tree.svg|thumb|300px|薬物検査の例を表す樹形図。記号U, Ū, +, &minus; はそれぞれ使用者である、非使用者である、陽性である、陰性である事象を表す。]]

ある薬物の検査が[[感度#医学における感度|感度]]99％かつ[[特異度]]99%だとしよう——つまり検査によって薬物の使用者のうち99%が陽性となり、非使用者のうち99%が陰性となると仮定する。さらに社会の0.5%が薬物使用者であるとする。無作為に選ばれた個人がこの検査で陽性だったとき、薬物使用者である[[確率]]はいくつか？ベイズの定理（と{{仮リンク|全確率の公式|en|Law of total probability}}）から
:<math>
\begin{align}
P(\text{U}|\text{+}) &= \frac{P(\text{+}|\text{U}) P(\text{U})}{P(+)} \\
 &= \frac{P(\text{+}|\text{U}) P(\text{U})}{P(\text{+}|\text{U}) P(\text{U}) + P(\text{+}|\bar{\text{U}}) P(\bar{\text{U}})} \\
&= \frac{0.99 \times 0.005}{0.99 \times 0.005 + 0.01 \times 0.995} \\
&\approx 0.332
\end{align}</math>

個人の検査が陽性であるときでさえ、非使用者である可能性が使用者である可能性よりも高い。（それでも検査結果が陽性であったという情報を反映して、事後確率 <math>P(\text{U}|\text{+}) \approx 0.332</math> は事前確率 <math>P(\text{U}) = 0.005</math> よりも大幅に上昇している。）つまり[[偽陽性]]の数は[[真陽性]]の数より多い。これは非使用者が使用者に比べて多いからである。たとえば、もし無作為に1000人が検査されるならば、995人の非使用者と5人の使用者がいると期待される。995人の非使用者からは0.01 × 995 &asymp; 10 人の偽陽性が期待される。5人の使用者からは 0.99 × 5 &asymp; 5人の真陽性が期待される。よって陽性であると期待される15人のうち、5人のみが薬物使用者である。

この例における特異度の重要性が次の計算からわかる。仮に感度が100%に上がり特異度が99%のままであれば[[陽性的中率]]は33.2%から33.4％に微増するに留まるが、感度が99%のままで特異度が99.5%に上がれば陽性的中率は49.9%に増加する。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|first1=Thomas|last1=Bayes|authorlink1=トーマス・ベイズ|first2=Richard|last2=Price|title=An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr. Bayes, communicated  by Mr. Price, in a letter to John Canton, M. A. and F. R. S.|journal=[[フィロソフィカル・トランザクションズ|Philosophical Transactions of the Royal Society of London]]|volume=53|issue=0|year=1763|publisher=[[王立協会|Royal Society]]|pages=370&ndash;418|url=http://www.stat.ucla.edu/history/essay.pdf|format=PDF|doi=10.1098/rstl.1763.0053|ref=harv}}
* {{cite book
|last1      = Gelman
|first1     = Andrew
|last2      = Carlin
|first2     = John B. 
|last3      = Stern
|first3     = Hal S. 
|last4      = Dunson
|first4     = David B. 
|last5      = Vehtari
|first5     = Aki
|last6      = Rubin
|first6     = Donald B. 
|year       = 2014
|title      = Bayesian Data Analysis
|edition    = Third
|series     = Texts in Statistical Science Series
|url        = {{google books|ZXL6AQAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = CRC Press
|isbn       = 978-1-4398-4095-5
|mr         = 3235677
|zbl        = 1279.62004
|ref        = {{sfnref|Gelman et al.|2014}}
}}
* {{cite book
|last1      = Stigler
|first1     = Stephen M. 
|year       = 1986
|title      = The History of Statistics
|url        = {{google books|M7yvkERHIIMC|plainurl=yes}}
|publisher  = The Belknap Press of Harvard University Press
|isbn       = 0-674-40340-1
|mr         = 0852410
|zbl        = 0656.62005
|ref        = harv
}}

== 関連項目 ==
{{div col|cols=3}}
* [[R言語]]
* [[マルコフ連鎖モンテカルロ法]]
* [[確率論]]
* [[人工知能]]
* {{仮リンク|全確率の法則|en|Law of total probability}}
* [[単純ベイズ分類器]]
* [[ベイジアンフィルタ]]
* [[ベイズ確率]]
* [[計量経済学#ベイジアン計量経済学|ベイジアン計量経済学]]
* [[ベイズ推定]]
* [[ベイズ統計学]]
* [[ベイズ確率]]
* [[ベイジアンネットワーク]]
* [[推計統計学]]
* [[確率分布]]
* [[尤度関数]]
* [[尤度比検定]]
* [[最尤法]]
* [[最大エントロピー原理]]
* [[陽性尤度比]]
* [[陰性尤度比]]
* [[尤度方程式]]
* [[条件付き確率]]
* [[決定木]]
{{div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ベイズの定理|2=世界大百科事典 第2版}}
*{{MathWorld|BayesTheorem|Bayes' Theorem}}

{{確率論}}
{{DEFAULTSORT:へいすのていり}}
[[Category:確率論]]
[[Category:ベイズ統計]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]