ピタゴラスの定理のソースを表示

[[ファイル:Pythagoras theorem leonardo da vinci.png|thumb|250px| [[レオナルド・ダ・ヴィンチ]]による[[ピタゴラス]]の定理の証明。橙色のついた部分を {{math|90}} 度回転し、緑色の部分は裏返して橙色に重ねる。]]
[[file:Pythag anim.gif|thumb|視覚的証明]]

[[初等幾何学]]における'''ピタゴラスの定理'''（ピタゴラスのていり、{{lang-en-short|Pythagorean theorem}}）は、[[直角三角形]]の3[[辺]]の長さの関係を表す。[[斜辺]]の長さを {{mvar|c}}, 他の2辺の長さを {{math|''a'', ''b''}} とすると、定理は
:<math>c^2=a^2+b^2</math>
が成り立つという[[等式]]の形で述べられる<ref name="大矢2001" /><ref name="大矢1975" /><ref name="大矢1952" />。'''三平方の定理'''（さんへいほうのていり）、'''勾股弦の定理'''（こうこげんのていり）とも呼ばれる。

ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、[[直交座標系]]において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる<ref group="注">2次元の座標系を例に取ると、ある点 {{math|P}} の {{mvar|x}} 軸成分を {{mvar|x}}, {{mvar|y}} 軸成分を {{mvar|y}} とすると、原点から {{math|P {{=}} (''x'', ''y'')}} までの距離は {{math|{{sqrt|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}}} と表すことができる。ここで {{math|&radic;}} は[[平方根]]を表す。</ref>。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の[[距離空間|距離]]を測ることができる。このようにして導入される距離は[[ユークリッド距離]]と呼ばれる。

「[[ピタゴラス]]が[[直角二等辺三角形]]のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが[[発見]]したかどうかは分からない。[[バビロニア数学]]の[[プリンプトン322]]や[[古代エジプト]]<ref name="亀井喜久男" />などでも[[ピタゴラス数]]については知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。

中国古代の数学書『[[九章算術]]』や『[[周髀算経]]』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を'''勾股定理'''、'''商高定理'''等と呼び、日本の[[和算]]でも中国での名称を用いて'''鉤股弦の法'''（こうこげんのほう）等と呼んだ<ref>[http://www.ndl.go.jp/math/s1/c6.html コラム ピタゴラスの定理 江戸の数学] 国立国会図書館</ref>。'''三平方の定理'''という名称は、[[敵性語]]が禁じられていた[[第二次世界大戦]]中に[[文部省]]の図書監修官であった[[塩野直道]]の依頼を受けて、数学者[[末綱恕一]]が命名したものである<ref>[https://web.archive.org/web/20131128014957/https://bunbun.hokkaido-np.co.jp/archives/qa/%E3%80%8C%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%80%8D%E3%82%92%E3%80%8C%E4%B8%89%E5%B9%B3%E6%96%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%80%8D%E3%81%A8%E3%81%84%E3%81%86 「ピタゴラスの定理」を「三平方の定理」という由来は?]（2013年11月28日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]） - 道新ぶんぶんクラブ（北海道新聞社）</ref>。[[朝鮮語]]での名称は、[[韓国]]では、「ピタゴラス定理('''피타고라스 정리''')」と表記する一方で、[[北朝鮮]]では、「三平方の定理('''세평방의정리''')」と表記する。

== ピタゴラス数 ==
{{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>}} を満たす[[自然数]]の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を'''ピタゴラス数'''または'''ピタゴラスの三つ組数''' {{en|(Pythagorean triple)}} という。特に、{{math|''a'', ''b'', ''c''}} が[[互いに素]]であるピタゴラス数 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を'''原始的''' {{en|(primitive)}} あるいは'''素''' {{en|(prime)}} であるといい、そのようなピタゴラス数は'''原始ピタゴラス数''' {{en|(primitive Pythagorean triple)}} などと呼ばれる。全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の正の整数倍により得られる。

ピタゴラス数 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることが[[必要十分]]である。

原始ピタゴラス数の具体例は ''a'' < ''b'' とすると以下の数となる。ただし同じ数値が重複している場合は重複の数だけ異なる数で表せることを示している。<br>
:''a'' : [[3]], [[5]], [[7]], [[8]], [[9]], [[11]], [[12]], [[13]], [[15]], [[16]], [[17]], [[19]], [[20]], [[20]], [[21]],… ({{OEIS|A020884}})<br>
:''b'' : [[4]], [[12]], [[15]], [[21]], [[24]], [[35]], [[40]], [[45]], [[55]], [[56]], [[60]], [[63]], [[72]], [[77]],… ({{OEIS|A020883}})<br>
:''c'' : [[5]], [[13]], [[17]], [[25]], [[29]], [[37]], [[41]], [[53]], [[61]], [[65]], [[65]], [[73]], [[85]], [[85]],… ({{OEIS|A020882}})

===ピタゴラス数の性質===
自然数の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 {{math|''m'', ''n''}} が
* {{mvar|m}} と {{mvar|n}} は互いに素
* {{math|''m'' &gt; ''n''}}
* {{math|''m'' &minus; ''n''}} は[[奇数]]
を満たすとして、
: {{math|(''a'', ''b'', ''c'') {{=}} (''m''<sup>2</sup> &minus; ''n''<sup>2</sup>, 2''mn'', ''m''<sup>2</sup> + ''n''<sup>2</sup>) or (2''mn'', ''m''<sup>2</sup> &minus; ''n''<sup>2</sup>, ''m''<sup>2</sup> + ''n''<sup>2</sup>)}}
であることが必要十分である。上記の {{math|(''m'', ''n'')}} は無数に存在し、{{math|2''mn''}} は重複しないから、原始ピタゴラス数は無数に存在する。これにより、すべての原始ピタゴラス数を重複なく見つけ出すことができる。

例えば
: {{math|(''m'', ''n'') {{=}} (2, 1)}} のとき {{math|(''a'', ''b'', ''c'') {{=}} (3, 4, 5)}}
: {{math|(''m'', ''n'') {{=}} (3, 2)}} のとき {{math|(''a'', ''b'', ''c'') {{=}} (5, 12, 13)}}
: {{math|(''m'', ''n'') {{=}} (4, 1)}} のとき {{math|(''a'', ''b'', ''c'') {{=}} (8, 15, 17)}}
である。

原始ピタゴラス数 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} について、次のような性質も成り立つ。
* {{mvar|a}} または {{mvar|b}} は {{math|4}} の倍数
* {{mvar|a}} または {{mvar|b}} は {{math|3}} の倍数
* {{mvar|a}} または {{mvar|b}} または {{mvar|c}} は {{math|5}} の倍数
また、一般のピタゴラス数 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対して、{{math|''S'' {{=}} {{sfrac|1|2}}''ab''}}（直角三角形の面積）は平方数でない。

=== Jesmanowicz 予想 ===
1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。

{{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を原始ピタゴラス数、{{mvar|n}} を自然数とする。{{math|''x'', ''y'', ''z''}} が
:<math>(an)^x+(bn)^y=(cn)^z</math>
で自然数解を持つには、
:<math>x=y=z=2</math>
であることが必要である。

=== 特別なピタゴラス数 ===
*直角を作る ''a'' , ''b'' の長さが連続するピタゴラス数は

:( 3, 4, 5), ( 20, 21, 29), ( 119, 120, 169), … ({{OEIS|A114336}})

:である。

*斜辺 ''c'' と他の2辺の和 ''a'' + ''b'' が両方とも平方数になる最小のピタゴラス数は

:''a'' = 4565486027761, ''b'' = 1061652293520, ''c'' = 4687298610289

:であることがわかっている。この問題はフランスの数学者[[ピエール・ド・フェルマー]]が出題し、解も発見した。({{OEIS|A166930}}ただしオンライン数列内のコメント内にある ''a'' の値が間違っているので注意が必要)

== 一般化 ==
=== 角の一般化 ===
{{main|余弦定理}}
[[余弦定理|第二余弦定理]]
:{{math|''c''<sup>2</sup> {{=}} ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> &minus; 2''ab'' cos&thinsp;''C''}}
はピタゴラスの定理を {{math|''C'' {{=}} {{sfrac|&pi;|2}} {{=}} 90° &rarr; cos&thinsp;''C'' {{=}} 0}} の場合として含む。
つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の角度について拡張した定理になっている。

=== 指数の一般化 ===
{{main|フェルマーの最終定理}}
指数の {{mvar|2}} の部分を一般化すると
:{{math|''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' {{=}} ''c<sup>n</sup>''}}
となる。{{math|''n'' {{=}} 2}} の場合は自明でない（つまり {{math|''a'', ''b'', ''c''}} のいずれも 0 でない）整数解は実質[[#ピタゴラス数|原始ピタゴラス数]]であり、[[#ピタゴラス数の性質|無数に存在する]]が、{{math|''n'' &ge; 3}} の場合には自明でない整数解は存在しない（詳細は[[フェルマーの最終定理]]を参照）。

=== 次元の一般化 ===
{{main|en:De Gua's theorem}}
3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 {{mvar|S}} の面積は、{{mvar|yz}} 平面、{{mvar|zx}} 平面、{{mvar|xy}} 平面への射影の面積 {{math|''S<sub>x</sub>'', ''S<sub>y</sub>'', ''S<sub>z</sub>''}} を用いて
:<math>S^2={S_x}^2+{S_y}^2+{S_z}^2</math>
と表される。これは高次元へ一般化できる。

== ピタゴラスの定理の証明 ==
この定理には数百通りもの異なる[[証明]]が知られている。ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。

以下では頂点 {{math|A, B, C}} からなる三角形を {{math|△ABC}} と表す。また、各辺 {{math|AB, BC, CA}} に向かい合う角をそれぞれ {{math|∠C, ∠A, ∠B}} と表し、各頂点 {{math|A, B, C}} の[[対辺]] {{math|BC, CA, AB}} の[[長さ]]をそれぞれ {{math|''a'', ''b'', ''c''}} と表す。
頂点の記号は直角三角形 {{math|△ABC}} の[[直角]]が {{math|∠C}} になるように与える。

=== 相似による証明 ===
[[ファイル:Pythagoras1.jpg|thumb|250px|相似を用いた証明]]
[[頂点]] {{math|C}} から斜辺 {{math|AB}} に下ろした[[垂直|垂線]]の足を {{math|H}} とする。{{math|△ABC, △ACH, △CBH}} は互いに[[図形の相似|相似]]である。よって {{math|△ABC}} と {{math|△ACH}} の相似比より
:<math>\text{AC}:\text{AH} = \text{AB}:\text{AC} \Longrightarrow \text{AH} = { \text{AC} \times \text{AC} \over \text{AB} } = {b^2 \over c}</math>
であり、同様に {{math|△ABC}} と {{math|△CBH}} の相似比より
:<math>\text{BH} = {a^2 \over c}</math>
である。したがって
:<math>c = \text{AB} = \text{AH} + \text{BH} = {b^2 \over c} + {a^2 \over c}</math>
であるから、両辺に<math>c</math> を掛けて
:<math>c^2=a^2+b^2</math>
を得る。
[[ファイル:三平方の定理.jpg|サムネイル|297x297ピクセル|相似を用いた証明]]

=== 相似による証明2 ===
直径ABの半円Oで、円周上に置いた点Cから直径ABに下した垂線の足をHとする。

このとき OA=OB=OC=c、HC=a、HO=b、とすると、

△OCHで△AHC∽△BHCなので、

HA:HC=HC:HB

OA±HO:HC=HC:OB∓HO

c±b:a=a:c∓b

c²-b²=a²   ∴   c²=a²+b²  ◾️

=== 正方形を用いた証明 ===
[[ファイル:Pythagoras2.jpg|thumb|250px|正方形を用いた証明]]
{{math|△ABC}} と[[図形の合同|合同]]な4個の三角形を図のように並べると、外側に一辺が {{math|''a'' + ''b''}} の[[正方形]]（以下「大正方形」）が、内側に一辺が {{mvar|c}} の正方形（以下「小正方形」）ができる。
:（大正方形の面積）{{=}}（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4
である。大正方形の[[面積]]は {{math|(''a'' + ''b'')<sup>2</sup>}}, 小正方形の面積は {{math|''c''<sup>2</sup>}}, 直角三角形4個の面積の合計は
:<math>{ab \over 2} \times 4 = 2ab</math>
である。これらを代入すると、
:<math>(a+b)^2=c^2+2ab</math>
整理して
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
を得る。
[[ファイル:Pythagoras-2a.gif|thumb|right|250px|幾何学的な証明]]
[[ファイル:Teorema de Pitágoras.Pappus1.svg|thumb|250px]]
[[ファイル:Pythagorean proof.png|thumb|250px]]Ｃ[[ファイル:Chinese pythagoras.jpg|thumb|『[[周髀算経]]』におけるピタゴラスの定理の証明（{{Lang-zh|句股冪合以成弦冪}}）|250px]]

=== 内接円を用いた証明 ===
{{math|△ABC}} の面積 {{mvar|S}} は
{{numBlk|:|<math>S=\frac{ab}{2}</math>|{{equationRef|incirc1|1}}}}
である。また {{math|△ABC}} の[[内接円]]の[[半径]]を {{mvar|r}} とすると
:<math>c=(a-r)+(b-r)</math>
であり、これを半径 {{mvar|r}} について解くと
{{numBlk|:|<math>r=\frac{a+b-c}{2}</math>|{{equationRef|incirc2|2}}}}
となる。一方、三角形の面積 {{mvar|S}} を内接円の半径 {{mvar|r}} を用いて表すと
{{numBlk|:|<math>S={r(a+b+c) \over 2}</math>|{{equationRef|incirc3|3}}}}
となる。{{equationNote|incirc3|(3)}} に {{equationNote|incirc1|(1)}}, {{equationNote|incirc2|(2)}} を代入すると
:<math>{ab \over 2}={(a+b-c)(a+b+c) \over 4}</math>
となり、整理すると
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

=== オイラーの公式を用いた証明 ===
[[三角関数]]と指数関数は[[冪級数]]によって[[定義]]されているものとする。（指数法則や[[オイラーの公式]]の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）まず {{math|sin<sup>2</sup> ''&theta;'' + cos<sup>2</sup> ''&theta;'' {{=}} 1}} が任意の複素数 {{mvar|&theta;}} に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。

オイラーの公式より
:<math>\begin{align}1&=e^0=e^{i\theta-i\theta}=e^{i\theta}e^{-i\theta}\\
&=(\cos \theta+i\sin \theta)(\cos \theta-i\sin \theta)\\
&=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\end{align}</math>
または
:<math>\begin{align}
\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
&=\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^{2}+\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{2}\\
&=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}-2}{-4}+\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+2}{4}\\
&=\frac{4}{4}
=1
\end{align}</math>
もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。
:<math>\begin{align}
\sin^2 \theta
&=\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^{2}\\
&=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}-2}{-4}\\
&=\frac{1-\cos2\theta}{2}\ ,\\
\cos^2 \theta
&=\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{2}\\
&=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+2}{4}\\
&=\frac{1+\cos2\theta}{2} \ .
\end{align}</math>
:{{NumBlk||<math>\therefore \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1.</math><ref name="稲津將" /><ref name="数学・物理通信" />|{{EquationRef|Euler1|1}}}}
{{equationNote|Euler1|(1)}} の式は'''ピタゴラスの基本三角関数公式''' {{en|(Fundamental Pythagorean trigonometric identity)}} と呼ばれている<ref name="Leff" />。

{{equationNote|Euler1|(1)}} の時点ですでに[[単位円]]上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、本定理の逆は本定理を用いずに証明可能であるし、単位円上の任意の点の座標は {{math|(cos''&theta;'', sin''&theta;'')}} で表せるからである<ref name="三平方の定理の逆の証明" />。

さて、前提とした {{math|△ABC}} について考え、{{math|∠A {{=}} ''&theta;''}} とおけば
:<math>a = c \cdot \sin \theta</math>
:<math>b = c \cdot \cos \theta</math>
したがって
{{NumBlk|:|<math>a^2 = c^2\sin^2 \theta</math>|{{EquationRef|Euler2|2}}}}
{{NumBlk|:|<math>b^2 = c^2\cos^2 \theta</math>|{{EquationRef|Euler3|3}}}}
{{equationNote|Euler2|(2)}}, {{equationNote|Euler3|(3)}} より
{{NumBlk|:|<math>a^2+b^2=c^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)</math>|{{EquationRef|Euler4|4}}}}
{{equationNote|Euler1|(1)}}, {{equationNote|Euler4|(4)}} より
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

=== 三角関数の微分公式を用いた証明 ===
正弦および余弦関数を微分すれば
{{NumBlk|:|<math>(\sin \theta )'=\cos \theta</math>|{{EquationRef|diff1|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>(\cos \theta )'=-\sin \theta</math>|{{EquationRef|diff2|2}}}}
{{equationNote|diff1|(1)}}, {{equationNote|diff2|(2)}} および微分公式より
:<math>(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta )'=2\sin \theta \cos \theta + 2 \cos \theta (-\sin \theta )=0</math>
したがって
:<math>\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =C</math>
ここで {{mvar|C}} は定数である。{{math|''&theta;'' {{=}} 0}} を代入すると {{math|sin 0 {{=}} 0, cos 0 {{=}} 1}} であるので、{{math|''C'' {{=}} 1}} が得られる。よって
{{NumBlk|:|<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>|{{EquationRef|diff3|3}}}}
が得られる<ref name="数学・物理通信" />。
ここで、前提とした {{math|△ABC}} について考え、{{math|∠A {{=}} ''&theta;''}} とおいて、{{equationNote|diff3|(3)}} および、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば
:<math>a^2+b^2={a^2+b^2 \over 1}={a^2+b^2 \over \sin^2 \theta + \cos^2 \theta}={a^2+b^2 \over {a^2+b^2 \over c^2}}=c^2</math>
が得られる。

=== 三角関数の不定積分を用いた証明 ===
下記のように関数を定める。
:<math>\begin{align}f(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta .\end{align}</math>
上記を漸化式を利用して不定積分すると
:<math>\begin{align}\int f(\theta) d\theta &= \int (\sin^2 \theta) d\theta + \int (\cos^2 \theta) d\theta\\
&=\left ({1 \over 2}\theta - {1 \over 2}\sin\theta\cos\theta +C_{1} \right ) + \left ({1 \over 2}\theta + {1 \over 2}\sin\theta\cos\theta +C_{2} \right )\\
&= \theta + C_{1} +C_{2}\end{align}</math>
である<ref>[http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/recur_integral1.htm 不定積分の漸化式]</ref>。[[微分積分学の基本定理]]を考慮し、これを微分すると
:<math>\begin{align}\frac{d}{d\theta} \left \{\int f(\theta) d\theta \right \} &= f(\theta)
&= \frac{d}{d\theta}(\theta + C_{1} +C_{2})
&= 1\end{align}</math>
である。したがって
:<math>\begin{align}f(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta &= 1 .\end{align}</math>
ゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。

=== 三角関数の加法定理を用いた証明 ===
三角関数は級数など（幾何以外の原理）によって定義されているものとし、オイラーの公式など（証明に本定理を使用しない方法）によって導出された三角関数の加法定理を用いれば
:<math>1 = \cos 0 = \cos( \theta - \theta ) = \cos \theta \cos \theta + \sin \theta \sin \theta = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta</math>
または
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \sin \theta \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) + \cos \theta \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \frac{\pi}{2} =1</math>
が得られる<ref name="三平方の定理の証明" /><ref name="Einige spezielle Funktionen" />。
また、加法定理を応用した三角関数の[[三角関数の公式の一覧#和積公式と積和公式|積和公式]]を用いて
:<math>\begin{align}
\sin^2 \theta
&= \frac{\cos(\theta - \theta) - \cos(\theta + \theta)}{2}\\
&= \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\cos^2 \theta
&= \frac{\cos(\theta - \theta) + \cos(\theta + \theta)}{2}\\
&= \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\end{align}</math>
したがって
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が得られる。
両辺に {{math|''c'' <sup>2</sup>}} を乗算して
:<math>c^2\sin^2 \theta + c^2\cos^2 \theta = c^2</math>
ここで、前提とした {{math|△ABC}} について考え、{{math|∠A {{=}} ''&theta;''}} とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば
:<math>c^2 \times \left({a \over c}\right)^2 + c^2 \times \left({b \over c}\right)^2 = c^2</math>
よって
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる<ref name="三平方の定理の証明" />。

=== 冪級数展開を用いた証明 ===
三角関数は級数によって定義されているものとし、{{math|cos&theta;}} と {{math|sin&theta;}} の自乗をそれぞれ計算すると
:<math>\begin{align}
\sin^2 \theta
&=\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1}\right)^2\\
&=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k+1)!}\theta^{2n+2}\\
&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n+2}}{(2n+2)!} \sum_{k=0}^{n} \binom{2(n+1)}{2k+1}\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1}\\
&=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1}\\
\cos^2 \theta
&=\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}\right)^2\\
&=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!}\theta^{2n}\\
&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k}\\
&=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k}
\end{align}</math>
となる<ref group="注">級数の収束半径は {{math|&infin;}} であるからこれは任意の複素数 {{math|&theta;}} に対して成り立つ</ref>。ここで[[二項定理]]より
:<math>\begin{align}
\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k} - \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1}
&= \sum_{m = 0}^{2n} (-1)^m {2n \choose m}
&= (1 - 1)^{2n}
&= 0
\end{align}</math>
である。したがって
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が得られる。
ここで、前提とした {{math|△ABC}} について考え、{{math|∠A {{=}} ''&theta;''}} とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮し、各辺の[[比]]を考えれば
:<math>\sin^2 \theta : \cos^2 \theta : 1=a^2:b^2:c^2</math>
であるから
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる<ref name="Hamilton" />。

=== 回転行列を用いた証明 ===
平面の原点を中心とする角 {{mvar|&theta;}} の[[回転行列|回転]]は
:<math>R(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{bmatrix}</math>
で表される。
{{math|''R'' (&theta;) ''R'' (−&theta;) {{=}} ''I''<sub>2</sub>}} （[[単位行列]]）であるが<ref name="行列と1次変換" />、この式の左辺を直接計算すると
:<math>\begin{align}
R(\theta) \cdot R(-\theta)
&=
\begin{bmatrix}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta&\sin \theta\\
-\sin \theta&\cos \theta
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
\cos^2 \theta+\sin^2 \theta&\cos \theta\sin \theta-\sin \theta \cos \theta\\
\sin \theta \cos \theta-\cos \theta\sin \theta&\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
\sin^2 \theta+\cos^2 \theta&0\\
0&\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{bmatrix}
\end{align}</math>
となる<ref name="対称行列と直交行列" />。したがって
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が得られる<ref name="Solution for Assignment" />。
ここで、前提とした {{math|△ABC}} について考え、{{math|∠A {{=}} ''&theta;''}} とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば、[[正弦定理]]より
:<math>\begin{align}
\frac{a}{\sin \theta} &= \frac{b}{\sin (\pi-\frac{\pi}{2}-\theta)} = \frac{c}{\sin (\frac{\pi}{2})}\\
\frac{a}{\sin \theta} &= \frac{b}{\cos \theta} = c
\end{align}</math>
であるから
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

=== 三角関数と双曲線関数を用いた証明 ===
任意の {{math|''z'' &isin; '''C'''}} に対し
:<math>\begin{align}
\sin^2 iz + \cos^2 iz
&= (i\sinh z)^2 + \cosh^2 z\\
&= \cosh^2 z - \sinh^2 z\\
&=1
\end{align}</math>
である<ref name="双曲線関数について" /><ref name="Complex Analysis Solutions" />。よって任意の {{math|&theta; &isin; '''C'''}} に対して
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が成り立つ。
ここで、前提とした {{math|△ABC}} について考え、{{math|∠A {{=}} ''&theta;''}} とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば、連比関係より
:<math>\frac{a^2}{\sin^2 \theta} = \frac{b^2}{\cos^2 \theta} = c^2</math>
であるから
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

== ピタゴラスの定理の逆の証明 ==
ピタゴラスの定理の逆とは、{{math|△ABC}} に対して
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が成立すれば、{{math|△ABC}} は {{math|∠C {{=}} {{sfrac|&pi;|2}}}} の直角三角形であるというものである。以下に証明を示す。

=== ピタゴラスの定理に依存しない証明 ===
[[File:Inverse pythagorean theorem.jpg|thumb|ピタゴラスの定理に依存しない証明|250px]]
{{math|''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> {{=}} ''c'' <sup>2</sup>}} を満たす {{math|△ABC}} において、線分 {{math|AB}} を {{math|''b'' <sup>2</sup> : ''a'' <sup>2</sup>}} の比に内分する点を {{math|D}} とすると
:<math>\begin{align}
\text{AD}
&= c \times \frac{b^2}{b^2+a^2}\\
&= c \times \frac{b^2}{c^2}\\
&= \frac{b^2}{c}\\
\text{DB}
&= c \times \frac{a^2}{b^2+a^2}\\
&= c \times \frac{a^2}{c^2}\\
&= \frac{a^2}{c}
\end{align}</math>
である。これより、△ABC と △ACD において
:<math>\begin{align}
\text{AB} : \text{AC} &= c : b\\
\text{AC} : \text{AD} &= b : \frac{b^2}{c} = c : b
\end{align}</math>
であるから
:<math>\text{AB} : \text{AC} = \text{AC} : \text{AD}</math>
が成り立つ。ここで
:<math>\angle \text{BAC} = \angle \text{CAD}</math>
であるから、[[図形の相似#性質および条件|2辺比夾角相等]]より
:<math>\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{ACD}</math>
が成り立つ。したがって
:<math>\angle \text{ACB} = \angle \text{ADC}</math>
である。
同様に △ABC と △CBD において
:<math>\begin{align}
\text{AB} : \text{BC} &= c : a\\
\text{CB} : \text{BD} &= a : \frac{a^2}{c} = c : a
\end{align}</math>
であるから
:<math>\text{AB} : \text{BC} = \text{CB} : \text{BD}</math>
が成り立つ。ここで
:<math>\angle \text{ABC} = \angle \text{CBD}</math>
であるから、2辺比夾角相等より
:<math>\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{CBD}</math>
が成り立つ。したがって
:<math>\angle \text{ACB} = \angle \text{CDB}</math>
である。ここで
:<math>\angle \text{ADC} + \angle \text{CDB} = \pi</math>
であるから
:<math>\angle \text{ACB} + \angle \text{ACB} = 2 \angle \text{ACB} = \pi</math>
である。したがって
:<math>\angle \text{ACB} = \frac{\pi}{2}</math>
である<ref name="三平方の定理の逆の証明" />。ゆえに、{{math|△ABC}} は {{math|∠C {{=}} {{sfrac|&pi;|2}}}} の直角三角形である。

=== 同一法を用いた証明 ===
[[File:Inverse of Pythagorean theorem.jpg|thumb|ピタゴラスの定理を用いた証明]]
{{math|B{{'}}C{{'}} {{=}} ''a'', A{{'}}C{{'}} {{=}} ''b''，∠C{{'}} {{=}} {{sfrac|&pi;|2}}}} である直角三角形 {{math|A{{'}}B{{'}}C{{'}}}} において、{{math|A{{'}}B{{'}} {{=}} ''c{{'}}''}} とすれば、ピタゴラスの定理より
{{NumBlk|:|<math>a^2+b^2=c'\,^2</math>|{{EquationRef|InverseOfPythagoras1|1}}}}
が成り立つ。
一方、仮定から {{math|△ABC}} において
{{NumBlk|:|<math>a^2+b^2=c^2</math>|{{EquationRef|InverseOfPythagoras2|2}}}}
が成り立っている。{{equationNote|InverseOfPythagoras1|(1)}} 、{{equationNote|InverseOfPythagoras2|(2)}} より
:<math>c^2=c'\,^2</math>
{{math|''c'' &gt; 0, ''c{{'}}'' &gt; 0}} より
:<math>c=c'</math>
したがって、[[図形の合同#三角形の決定問題|3辺相等]]から
:<math>\triangle \text{ABC} \equiv \triangle \text{A'B'C'}</math>
よって、{{math|∠C {{=}} ∠C{{'}} {{=}} {{sfrac|&pi;|2}}}} である<ref name="三平方の定理の逆の証明" />。
ゆえに、{{math|△ABC}} は {{math|∠C {{=}} {{sfrac|&pi;|2}}}} の直角三角形である。

=== 対偶を用いた証明 ===
{{math|△ABC}} において {{math|∠C &ne; {{sfrac|&pi;|2}}}} であると仮定する。頂点 {{math|A}} から直線 {{math|BC}} に下した垂線の足を {{math|D}} とし、{{math|AD {{=}} ''h'', CD {{=}} ''d''}} とする。

{{math|∠C &lt; {{sfrac|&pi;|2}}}} の場合、直角三角形 {{math|ABD}} においてピタゴラスの定理より
:<math>\begin{align}
c^2
&= (a-d)^2+h^2\\
&= a^2-2ad+d^2+h^2
\end{align}</math>
であり、同様に直角三角形 {{math|ACD}} では
:<math>b^2=d^2+h^2</math>
である。よって
:<math>c^2 = a^2-2ad+b^2 < a^2+b^2</math>
となる。

{{math|∠C &gt; {{sfrac|&pi;|2}}}} の場合も同様に考えて
:<math>\begin{align}
c^2
&= (a+d)^2+h^2\\
&= a^2+2ad+d^2+h^2\\
&= a^2+2ad+b^2
\end{align}</math>
ゆえに
:<math>c^2 > a^2+b^2</math>
となる。

よっていずれの場合も
:<math>a^2+b^2 \ne c^2</math>
である。対偶を取って、{{math|''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> {{=}} ''c'' <sup>2</sup>}} ならば {{math|∠C {{=}} {{sfrac|&pi;|2}}}} である。

なお、この証明から分かるように、
*{{math|∠C &lt; {{sfrac|&pi;|2}}}} ⇔ {{math|''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> > ''c'' <sup>2</sup>}}
*{{math|∠C {{=}} {{sfrac|&pi;|2}}}} ⇔ {{math|''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> {{=}} ''c'' <sup>2</sup>}}
*{{math|∠C &gt; {{sfrac|&pi;|2}}}} ⇔ {{math|''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> < ''c'' <sup>2</sup>}}
という対応がある。

=== 余弦定理を用いた証明 ===
[[File:InvPythagorean theorem.jpg|thumb|余弦定理を用いた証明|250px]]
ピタゴラスの定理は既に証明されているとする。{{math|△ABC}} において、{{math|''a'' {{=}} BC, ''b'' {{=}} CA, ''c'' {{=}} AB}}, {{math|''C'' {{=}} ∠ACB}} とおくと、[[余弦定理]]より
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math>
である。仮定より
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
であるから
:<math>\cos C=0</math>
である。三角形の内角の和は {{math|&pi;}} であるから、{{math|0 &lt; ''C'' &lt; &pi;}} である。
したがって
:<math>\angle \text{ACB}=\cos^{-1} 0=\frac{\pi}{2}</math>
である。ゆえに、△ABC は ∠C {{math|{{=}}}} {{sfrac|&pi;|2}} の直角三角形である。

=== ベクトルを用いた証明 ===
ピタゴラスの定理は既に証明されているとする。{{math|△ABC}} において
:<math>\Vert \vec c \|^2 = \Vert \vec a \|^2 + \Vert \vec b \|^2</math>
であり
:<math>\vec c = \vec b - \vec a</math>
である。
ここで
:<math>\begin{align}
\Vert \vec c \|^2
&= \vec c \cdot \vec c \\
&= (\vec b - \vec a) \cdot (\vec b - \vec a) \\
&= \Vert \vec b \|^2 - 2\vec b \cdot \vec a + \Vert \vec a \|^2 \\
\end{align}</math>
である。したがって
:<math>\vec b \cdot \vec a = 0</math>
である。よって
:<math>\angle \text{C}=\frac{\pi}{2}</math>
である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{reflist|group="注"}}

=== 出典 ===
{{reflist|refs=
<ref name="亀井喜久男">{{cite web
|title = エジプトひもで古代文明に挑戦しよう
|author = 亀井喜久男
|url = http://www.ctk.ne.jp/~kamei-ki/egyptrope1.htm
|accessdate = 2008-03-03
}}</ref>
<ref name="大矢1952">{{Cite book|和書
|last = 大矢|first=真一
|authorlink = 大矢真一
|title = ピタゴラスの定理
|year = 1952
|publisher = 東海書房
}}</ref>
<ref name="大矢1975">{{Cite book|和書
|last = 大矢|first=真一
|title = ピタゴラスの定理
|year = 1975
|publisher = 東海大学出版会
|series = 東海科学選書
}}</ref>
<ref name="大矢2001">{{Cite book|和書
|last = 大矢|first=真一
|title = ピタゴラスの定理
|year = 2001
|month = 8
|publisher = 東海大学出版会
|series = Tokai library
|isbn = 4-486-01558-4
|url = http://www.press.tokai.ac.jp/bookdetail.jsp?isbn_code=ISBN978-4-486-01558-1
}}</ref>
<ref name="稲津將">{{cite web
|title = オイラーの公式
|author = 稲津 將
|url = http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/lecture/butsurisuugaku2/html/model/node4.html
|accessdate = 2014-10-04
}}</ref>
<ref name="数学・物理通信">{{cite web
|title = 数学・物理通信
|author = 新関章三（元高知大学），矢野 忠（元愛媛大学）
|url = http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/math-phys/mathphys-1-5.pdf
|accessdate = 2014-10-04
}}</ref>
<ref name="Leff">{{Cite book|
title=PreCalculus the Easy Way
|first=Lawrence S.|last=Leff
|url=http://books.google.com/books?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296
|isbn=0-7641-2892-2
|page=296
|edition=7th
|publisher=Barron's Educational Series
|year=2005}}
</ref>
<ref name="三平方の定理の証明">{{cite web
|title = 三平方の定理の証明
|url = http://www2.oninet.ne.jp/mazra/math216.htm
|accessdate = 2014-10-05
}}</ref>
<ref name="Einige spezielle Funktionen">{{cite web
|title = Einige spezielle Funktionen
|url = http://math-www.uni-paderborn.de/~walter/teachingWS03_04/Kapitel5.pdf
|accessdate = 2014-11-26
}}</ref>
<ref name="三平方の定理の逆の証明">{{cite web
|title = 三平方の定理の逆の証明
|url = http://www.geocities.jp/ikemath/_userdata/ho_pdf/332hozyu.pdf
|accessdate = 2014-10-08
}}</ref>
<ref name="Hamilton">{{Cite book
|title=Time series analysis
|first=James Douglas|last=Hamilton
|page=714
|chapter=Power series
|isbn=0-691-04289-6
|year=1994
|publisher=Princeton University Press
}}</ref>
<ref name="行列と1次変換">{{cite web
|title = 行列と1次変換
|url = http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/transform1.htm
|accessdate = 2014-11-22
}}</ref>
<ref name="対称行列と直交行列">{{cite web
|title = 対称行列と直交行列
|url = http://proofcafe.org/k27c8/math/math/liner_algebraI/page/symmetric_matrix_and_orthogonal_matrix/
|accessdate = 2014-11-20
}}</ref>
<ref name="双曲線関数について">{{cite web
|title = 双曲線関数について
|url = http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/hyper1.pdf
|accessdate = 2014-11-22
}}</ref>
<ref name="Complex Analysis Solutions">{{cite web
|title =Complex Analysis Solutions
|url = http://people.math.sc.edu/dix/teach/oldundgrad/552.s13.hw12-15.soln.pdf
|accessdate = 2014-11-22
}}</ref>
<ref name="Solution for Assignment">{{cite web
|title = Solution for Assignment
|url = http://www.cs.ucf.edu/courses/cap6411/cap5415/spring03/Solution1.pdf
|accessdate = 2014-11-20
}}</ref>
}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|last = 出光|first=英則
|authorlink = 出光英則
|title = ピタゴラスがくれたおくり物 ピタゴラスの定理
|year = 1997
|month = 8
|publisher = 国土社
|series = 数学ワンダーランド 7
|editor = [[銀林浩]]編
|isbn = 4-337-56207-9
|url = http://www.kokudosha.co.jp/search/info.php?isbn=9784337562073
|ref = 出光1997
}}
* {{Cite book|和書
|first1 = ロバート |last1 = カプラン
|authorlink1 = ロバート・カプラン (数学者)
|first2 = エレン |last2 = カプラン
|authorlink2 = エレン・カプラン
|others = [[水谷淳 (翻訳家)|水谷淳]]訳
|title = 数学の隠れたハーモニー ピタゴラスの定理のすべて
|year = 2011
|month = 12
|publisher = ソフトバンククリエイティブ
|isbn = 978-4-7973-6467-5
|url = http://www.sbcr.jp/products/4797364675.html
|ref = カプラン＆カプラン2011
}} &mdash; 原題：''{{en|Hidden harmonies}}''.
* {{Cite book|和書
|first =ジョセフ・H|last=シルヴァーマン
|others = 鈴木治郎訳
|title = はじめての数論 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで
|year = 2007
|month = 4
|publisher = ピアソン・エデュケーション
|edition = 原著第3版
|isbn = 978-4-89471-492-2
|url = 
|ref = シルヴァーマン2007
}} &mdash; 原題：{{en|''A friendly introduction to number theory'' (3rd ed.).}}
* {{Cite book|和書
|first = エリ |last=マオール
|authorlink = エリ・マオール
|others = [[伊理由美]]訳
|title = ピタゴラスの定理 4000年の歴史
|year = 2008
|month = 2
|publisher = 岩波書店
|isbn = 978-4-00-005878-0
|url = http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0058780.html
|ref = マオール2008
}} &mdash; 原題：{{en|''The Pythagorean theorem''}}.
* {{Cite book|和書
|last = 森下 |first = 四郎
|title = ピタゴラスの定理100の証明法 幾何の散歩道
|edition = 改訂版
|year = 2010
|month = 8
|publisher = プレアデス出版
|isbn = 978-4-903814-36-0
|url = 
|ref = 森下2010a
}}
* {{Cite book|和書
|last = 森下|first=四郎
|title = ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎 三平方の定理の謎
|year = 2010
|month = 12
|publisher = プレアデス出版
|isbn = 978-4-903814-39-1
|url = 
|ref=森下2010b
}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Pythagorean theorem}}
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|ウィキプロジェクト 数学]]}}
*[[ピタゴラス]]
*[[計量テンソル]]
*[[プリンプトン322]]
*[[ユークリッド原論]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ピタゴラスの定理|2=百科事典マイペディア}}
*{{MathWorld|title=Pythagorean Theorem|urlname=PythagoreanTheorem}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ひたこらすのていり}}
[[Category:ピタゴラス]]
[[Category:ユークリッド幾何学の定理]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]