ビーティ数列のソースを表示

[[数学]]における'''ビーティ列'''（ビーティれつ、{{lang-en-short|''Beatty sequence'', ''homogeneous Beatty sequence''}}）は正の[[無理数]]の[[倍数|整数倍]]の[[床関数]]をとることによって得られる{{ill2|整数列|en|integer sequence|preserve=1}}である。ビーティ列の名称は、1926年にそれらについて著した{{ill2|サミュエル・ビーティ (数学者)|en|Samuel Beatty (mathematician)|label=サミュエル・ビーティ}}に因む。

[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー卿]]に名を因む[[レイリーの定理]]は、ビーティ列の[[補集合]]（数列に現れない正整数からなる集合）がそれ自身別の無理数で生成されるビーティ列となることを述べる。

ビーティ列は{{ill2|スツルム語|en|Sturmian word}}の生成にも用いられる。

== 定義 ==
正の無理数 {{mvar|r}} はビーティ列 {{math|''{{mathcal|ℬ}}{{sub|r}}'' {{coloneqq}} &lfloor;''r''&rfloor;, &lfloor;2''r''&rfloor;, &lfloor;3''r''&rfloor;, …}} を生成する。

{{math|''r'' > 1}} ならば {{math|s {{coloneqq}} ''r''/(''r'' &minus; 1)}} もまた無理数で、これら二つは等式 {{math|1=1/''r'' + 1/''s'' = 1}} を自然に満足する。これらが生成する二つのビーティ列 {{math|''{{mathcal|ℬ}}{{sub|r}}'', {{mathcal|ℬ}}{{sub|s}}}} は'''ビーティ列の相補対'''を成す。ここに「補」("complementary") は任意の正整数がこれら二つの列のうちどちらかちょうど一つに属することを意味している。

== 例==
{{math|''r'' {{coloneqq}} φ}} を[[黄金比]]とすれば、{{math|1=''s'' = ''r'' + 1}} である。この場合、整数列 {{math|(&lfloor;''nr''&rfloor;)}} は'''下ワイソフ列'''
: {{math|[[1]], [[3]], [[4]], [[6]], [[8]], [[9]], [[11]], [[12]], [[14]], [[16]], [[17]], [[19]], [[21]], [[22]], [[24]], [[25]], [[27]], [[29]], …}} ({{OEIS|id=A000201}})
であり、補列 {{math|(&lfloor;''ns''&rfloor;)}} は'''上ワイソフ列'''
* {{math|[[2]], [[5]], [[7]], [[10]], [[13]], [[15]], [[18]], [[20]], [[23]], [[26]], [[28]], [[31]], [[34]], [[36]], [[39]], [[41]], [[44]], [[47]], …}} ({{OEIS2C|id=A001950}})
である。これらの列は{{ill2|ワイソフのゲーム|en|Wythoff's game}}の最適戦略を定義し、{{ill2|ワイソフ配列|en|Wythoff array}}の定義に用いられる。

もう一つの例として、{{math|1=''r'' {{coloneqq}} = [[2の平方根|{{sqrt|2}}]], ''s'' = 2 + {{sqrt|2}}}} の場合、数列は 
* {{math|1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, …}} ({{OEIS2C|id=A001951}});
* {{math|3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, …}} ({{OEIS2C|id=A001952}}).
あるいは {{math|1=''r'' {{coloneqq}} [[円周率|{{mvar|π}}]], ''s'' = ''π''/(''π'' - 1)}} に対する列は
* {{math|3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, …}} ({{OEIS2C|id=A022844}});
* {{math|1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, …}} ({{OEIS2C|id=A054386}}).

これら数列の対に関して、第一の列に現れるどの数も第二の列には現れず、またその逆も言えるということに注意せよ。

== 歴史 ==
ビーティ列がその名で呼ばれるようになるのは、1926年に雑誌 ''{{ill2|American Mathematical Monthly|en|American Mathematical Monthly}}'' において{{ill2|サミュエル・ビーティ (数学者)|en|Samuel Beatty (mathematician)|label=サミュエル・ビーティ}} が提起した問題に由来する<ref>{{cite journal |last= Beatty |first= Samuel |title= Problem 3173 |journal= [[American Mathematical Monthly]] |volume= 33 |issue= 3 |year= 1926 |pages= 159 |doi= 10.2307/2300153}}</ref><ref>{{cite journal |title=Solutions to Problem 3173 |first1=S. |last1=Beatty |first2=A. |last2=Ostrowski |first3=J. |last3=Hyslop |first4=A. C. |last4=Aitken |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=34 |year=1927 |pages=159–160 |doi=10.2307/2298716 |jstor=2298716 |issue=3}}</ref>。この問題はおそらく、その雑誌に提案された中でも最も引用される問題の一つである。しかし、それよりもずっと以前の1894年に、同じ数列が[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー]]の著書 ''The Theory of Sound''<ref name="Strutt1894"/> の第二版で簡単に言及されている。

== レイリーの定理 ==
{{main|レイリーの定理}}
'''レイリーの定理'''（または'''ビーティの定理'''）は与えられた任意の無理数 {{math|''r'' > 1}} に対し、無理数 {{math|''s'' > 1}} が存在して二つのビーティ列 {{mvar|ℬ{{sub|r}}, ℬ{{sub|s}}}} は正整数全体の成す集合を[[集合の分割|分割]]する。すなわち、各正整数はこの二つの整数列のうちちょうど一方に属する<ref name="Strutt1894">{{cite book |author-link= John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh |last= Rayleigh, 3rd Baron |title=The Theory of Sound |publisher=Macmillan |volume=1 |edition=Second |year=1894}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=EGQSAAAAIAAJ|pg=PA123|123}}}}

== 性質 ==
; 命題: {{math|''m'' &isin; ℬ{{sub|''r''}}}} となるための必要十分条件は <math display="block">1 - \frac{1}{r} < \left[ \frac{m}{r} \right]_1</math> なることである。ここに、{{math|{{bracket|''x''}}{{sub|1}}}} は {{mvar|c}} の小数部分 {{math|{{bracket|''x''}}{{sub|1}} {{coloneqq}} ''x'' &minus; &lfloor;''x''&rfloor;}} である。
; 証明: <math display="block">\begin{align} m\in \mathcal{B}_r 
  &\iff \exists n, m = \lfloor nr \rfloor\iff m < nr < m + 1\\
  &\iff \frac{m}{r} < n < \frac{m}{r} + \frac{1}{r}\iff n - \frac{1}{r} < \frac{m}{r} < n
   \iff 1 - \frac{1}{r} < \left[ \frac{m}{r} \right]_1.
\end{align}</math>

さらに言えば、<math display="inline">m = \left\lfloor \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r \right\rfloor </math> なる条件とも同値である。
; 証明: <math display="block">\begin{align}
  m = \left\lfloor \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r \right\rfloor 
  &\iff m < \left( \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 \right) r < m + 1\\
  &\iff \frac{m}{r} < \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 < \frac{m + 1}{r}\iff \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1 - \frac{1}{r} < \frac{m}{r} < \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor + 1\\
  &\iff 1 - \frac{1}{r} < \frac{m}{r} - \left\lfloor \frac{m}{r} \right\rfloor =\left[ \frac{m}{r} \right]_1.
\end{align}</math>

=== スツルム文字列との関係 ===
無理数 {{mvar|r}} に付随するビーティ列 {{math|ℬ{{sub|''r''}}}} の[[差分作用素|第一階差]] {{math|&lfloor;(''n'' + 1)''r''&rfloor; &minus; &lfloor;''nr''&rfloor;}} は、[[字母集合]] {{math|{{mset|&lfloor;''r''&rfloor;, &lfloor;''r''&rfloor; + 1}}}} 上の{{ill2|スツルム語|label=特性スツルム語|en|Sturmian word}}である。

== 一般化 ==
{{ill2|ランベック–モーザーの定理|en|Lambek–Moser theorem}}はレイリーの定理を一般化するもので、整数函数およびその逆函数から定義されるより一般の列の対が、同じ整数全体の集合の分割性質を持つことを示す。

{{ill2|ジェイムズ・ヴィクトール・ウスペンスキー|en|J. V. Uspensky|label=ウスペンスキー}}の定理は、正の実数{{math|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} に対し {{math|(&lfloor;''kα{{sub|i}}''&rfloor;){{sub|''k'',''i''&ge;1}}}} が全ての整数をちょうど一つずつ含むならば {{math|''n'' &le; 2}} であることを述べる。つまり、三つ以上のビーティ列の組に関するレイリーの定理と同等の定理は存在しない<ref>{{citation| first= J. V. |last= Uspensky |title= On a problem arising out of the theory of a certain game |journal= Amer. Math. Monthly |volume= 34 | year= 1927 | pages=516–521}}</ref><ref>{{citation| first= R. L. | last= Graham | url= http://www.math.ucsd.edu/~fan/ron/papers/63_01_uspensky.pdf | title= On a theorem of Uspensky | journal= Amer. Math. Monthly | volume= 70 |year= 1963 | pages=407–409}}</ref>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 関連文献 ==
* {{cite journal|last=Holshouser |first=Arthur |author2=Reiter, Harold |title=A generalization of Beatty's Theorem |journal=Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics |volume=2 |year=2001 |pages=24–29 |url=http://math.uncc.edu/preprint/2002/generalization-beattys-theorem |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140419014134/http://math.uncc.edu/preprint/2002/generalization-beattys-theorem |archivedate=2014-04-19 |df= }}
* {{cite journal
 | author = Stolarsky, Kenneth
 | title = Beatty sequences, continued fractions, and certain shift operators
 | journal = [[Canadian Mathematical Bulletin]]
 | volume = 19
 | issue = 4
 | year = 1976
 | mr = 0444558
 | pages = 473–482
 | doi = 10.4153/CMB-1976-071-6}} Includes many references.

== 外部リンク ==
* {{mathworld|title = Beatty Sequence|urlname = BeattySequence}}
* Alexander Bogomolny, [http://www.cut-the-knot.org/proofs/Beatty.shtml Beatty Sequences], [[Cut-the-knot]]

{{DEFAULTSORT:ひーていれつ}}
[[Category:整数列]]
[[Category:ディオファントス近似]]
[[Category:語の組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]