ネイピア数のソースを表示

[[ファイル:Exp derivative at 0.svg|150px|right|frame|関数 {{math|1=''y'' = ''a{{sup|x}}''}} の {{math|1=''x'' = 0}} における[[微分|微分係数]]が {{math|1}}（赤線）になるのは {{math|1=''a'' = ''e''}}（青線）のときである（破線は {{math|1=''a'' = 2, 4}} のとき）。]]
'''ネイピア数'''（ネイピアすう、{{lang-en-short|Napier's constant}}）は[[数学定数]]の一つであり、'''[[自然対数]]の底'''である。'''ネーピア数'''とも表記する。記号として通常は {{mvar|[[e]]}} が用いられる。その値は
:{{math|1=''e'' = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …}}
と続く[[超越数]]である。ネピアの定数、ネピア数とも呼ばれる。欧米では'''オイラー数''' (Euler's number) と呼ばれることもあるが、[[オイラーの定数]] {{mvar|γ}} や[[オイラー数|オイラー数列]]とは異なる。[[オイラーにちなんで名づけられた物事の一覧#オイラー数]]も参照。

なお、コンピュータにおける[[指数表記]]では、e または E がネイピア数ではなく、[[常用対数]]の底である[[10]]を示すので注意が必要である<ref>[http://kikakurui.com/x0/X0210-1986-01.html JIS X0210-1986] 情報交換用文字列による数値表現</ref>。

== 歴史 ==
ネイピア数の近似値と言えるものが記された最も古い文献は、[[1618年]]、[[ジョン・ネイピア]]によって発表された対数の研究の付録に収録されていた表である。その表自体は[[ウィリアム・アウトレッド]]によって書かれたとされている。

厳密にネイピア数そのものを見い出したのは[[ヤコブ・ベルヌーイ]]と言われており、[[複利]]の計算で
:<math>\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math>
を求めようとした。これは ''e'' に等しくなる。

この数に初めて定数記号を割り当てたのは[[ゴットフリート・ライプニッツ]]だとされている。1690年と1691年の[[クリスティアーン・ホイヘンス]]宛ての手紙の中で、記号 ''b'' を用いた。レオンハルト・オイラーは、1727年からこの数を表すのに記号 ''e'' を使い始め、オイラーによる1736年の『力学』がネイピア数を ''e'' で表した最初の出版物となった<ref>{{Harvnb|エイドリアン|2008|p=85}}</ref>。その後しばらくは ''c'' によってこの数を表す流儀もあったが、やがて ''e'' が標準的な記号として受け入れられるようになった。

オイラーは、[[指数関数]] ''a{{sup|x}}'' が
:<math>\frac{d}{dx} a^x =a^x</math>
を満たすとき ''a'' = ''e'' であることを示した。

さらに[[積分]]
:<math>\int_1^x \frac{dt}{t} </math>
が[[対数]]の性質を持ち、対数としてみた時の底が ''e'' でもあることを示した。この対数を[[自然対数]]という。

== 定義 ==
;オイラーによる定義
:''e'' は
:<math style="margin-left:2em">\frac{d}{dx} \, a^x
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h} -a^x}{h}
=a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^h -1}{h}
= a^x</math>
:を満たすような実数 ''a''、つまり
:<math style="margin-left:2em">\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^h -1}{h} =1</math>
:をネイピア数の定義とした。
;収束数列による定義
:以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、[[利子#連続複利と元利合計|利子の連続複利]]の計算との関連で言及されたものである。
:<math>e=\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math>
:元金1を年利1、付利期間を1/''n'' 年で1年預金すれば、1/''n'' 年ごとに利子1/''n'' で元利合計が増えていき、1年経つと右辺の式になる。''n'' → ＋∞ とした極限は連続複利の元利合計となる。
:オイラーは、導関数が元の関数と等しい[[指数関数]]の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで ''n'' は[[自然数]]だが、''n'' を[[実数]]として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。
[[画像:Ln+e.svg|thumb|right|200px|ln ''e'' = 1]]
;微分積分学の基本的な関数を使った定義
:<math style="margin-left:2em">e=\exp 1=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{n!}</math>
:<math style="margin-left:2em">\ln e=1</math>
:exp ''x'' は[[指数関数]]、ln ''x'' は[[自然対数]]であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数をネイピア数 ''e'' により定義する場合、これらの式によりネイピア数を定義することは、[[循環定義]]となってしまう。そのためにネイピア数 ''e'' を用いない指数関数・対数関数の定義として以下に示すようなものがある。

=== 定義に用いられる諸公式 ===
[[画像:hyperbola E.svg|200px|thumb|right|グラフ ''y'' = {{sfrac|1|''x''}} の 1 ≤ ''x'' ≤ ''e'' における領域の面積は 1 になる。<ref>1647年グレゴアール・サン・ヴァンサン(ベルギーの数学者1584～1667年)がこの事実を発見したという。カジョリ『初等数学史』(共立出版)235頁参照</ref>
]]
ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。これらの式と ''e'' = exp 1 などを組み合わせることによって、ネイピア数が定義できる。
*<math>\exp x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}</math>
*:これは関数 <math>\exp x=e^x</math> を[[テイラー展開]]したものである。
*<math>\frac{d}{dx} y(x)= y(x),\quad y(0)=1</math>
*:という[[微分方程式|常微分方程式]]の初期値問題の解 ''y''(''x'') によって exp ''x'' = ''y''(''x'') が定義される。
*<math>\int_1^x \frac{dt}{t} =\ln x</math>
*<math>\left.\frac{d}{da} x^a \right|_{a=0} = \ln x</math>

== 性質 ==
''n'' → +∞ とした極限は、
:<math>\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = e</math>
一般に、任意の実数 ''x'' に対して、
:<math>\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = e^{x}</math>
特に、''x''＝－1 の場合、
:<math>\lim_{n\to +\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} </math>
が成り立つ。

底が ''e'' の[[指数関数]] ''e{{sup|x}}'' の[[導関数]]と[[不定積分]]は
:<math>\frac{d}{dx} e^x = e^x,</math>
:<math>\int e^x \,dx= e^x +C</math>（''C'' は積分定数）
となる。また、底が ''e'' の[[対数関数]] log{{sub|''e''}} ''x'' （ln&nbsp;''x'' あるいは（紛らわしくない場合）log&nbsp;''x'' と書くことが多い）の導関数は
:<math>\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}</math>
となる。したがってまた
:<math>\int \frac{dx}{x} =\ln x+C</math>
である。

''e'' は無理数である（[[ネイピア数の無理性の証明]]、オイラー、1744年）だけでなく[[超越数]]でもある（[[シャルル・エルミート]]、1873年）。

指数関数の[[解析接続]]によって一般の[[複素数]]を指数とした ''e'' の[[冪乗]] ''e{{sup|z}}'' が定義されるが、特に純虚数を指数とする冪は[[オイラーの公式]]として知られる関係式
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x</math>
を満たす。この式の特別な場合として ''x'' = {{π}}（{{π}} は[[円周率]]）を代入して得られる[[オイラーの等式]]
:<math>e^{i\pi} +1=0</math> または <math>e^{i\pi}=-1</math>
において前者はネイピアの数を含む5つの基本的な数学定数 ''e'', ''i'', {{π}}, 0, 1 の間の、後者は ''e'', ''i'', {{π}}, &minus;1([[負の数]]) の間の直観的には全く明らかではない関係を記述するものである。

ネイピア数は以下の規則的な[[連分数]]展開を持つ：
:''e'' = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]
特に 11/4 = 2.75, 19/7 = 2.714&hellip;, &hellip; などは ''e'' の近似値である。

== 表記 ==
ネイピア数 ''e'' を[[立体活字|立体]]と[[斜体]]とのどちらで表記するかは、国や分野によって異なる。[[国際標準化機構]]<ref>[http://www.iso.org/iso/home/store/catalogue_tc/catalogue_detail.htm?csnumber=31887 ISO 80000-2:2009] Quantities and units −- Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology、[[国際標準化機構]]、2009年。</ref>、[[日本工業規格]]<ref>[http://kikakurui.com/z8/Z8201-1981-01.html JIS Z 8201]（数学記号）、[[日本工業規格]]、1981。</ref>、[[日本物理学会]]<ref name="jps">[http://www.jps.or.jp/books/files/toukou-kitei.pdf 日本物理学会誌投稿規定]、[[日本物理学会]]、2002年。</ref>などは、{{math|e}} のような定数は立体で表記することを定めている。

: 例： <math>y = \mathrm{e}^x ,\quad x = \log_\mathrm{\,e} y.</math>

しかし、数学の分野では、斜体の一つである[[イタリック体]]で表記されることが多い。

: 例： <math>y = e^x ,\quad x = \log_{\,e} y.</math>

ただし、[[フランス]]では数学の書籍でも立体での表記が比較的多く見つかる。

== 値 ==
小数点以下1000桁までの値を示す。

e = 2.

71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 … ({{OEIS|A001113}})

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2016年2月|section=1}}
*{{Cite book|和書
|author=Yeo・エイドリアン
|others=[[久保儀明]]・[[蓮見亮]] 訳
|date=2008-10
|title=πとeの話　数の不思議
|publisher=青土社
|isbn=978-4-7917-6439-6
|ref={{Harvid|エイドリアン|2008}}
|url=http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=1663
}}
*{{Cite book|和書
|author = 高木貞治
|authorlink = 高木貞治
|date = 1983-09-27
|title = 解析概論
|edition = 改訂第3版 軽装版
|publisher = 岩波書店
|isbn = 4-00-005171-7
|ref = {{Harvid|高木|1983}}
|url = http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/7/0051710.html
}}
**{{Cite book|和書
|author = 高木貞治
|authorlink = 高木貞治
|date = 2010-09-15
|title = 定本 解析概論
|publisher = 岩波書店
|isbn = 978-4-00-005209-2
|ref = {{Harvid|高木|2010}}
|url = http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/8/0052090.html
}}
*{{Cite book|和書
|author=L. S. ポントリャーギン
|authorlink=レフ・ポントリャーギン
|others = [[坂本實]] 訳
|date = 2008-08-06
|title = やさしい微積分
|publisher = 筑摩書房
|series = ちくま学芸文庫 ホ13-1 Math & Science
|isbn = 978-4-480-09149-9
|ref = {{Harvid|ポントリャーギン|2008}}
|url = http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091499/
}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[指数関数]]
*[[自然対数]]
*[[数学定数]]
*[[超越数]]
*[[ネイピア数の表現]]
{{Div col end}}

==外部リンク==
{{commonscat|E (mathematical constant)}}
*{{Kotobank|ネーピアの数|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
*{{Kotobank|自然対数|2=[[竹之内脩]]}}
*{{MathWorld|title=e|urlname=e|author=[[:en:Jonathan Sondow|Sondow, Jonathan]] and [[:en:Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]]}}
*[http://www.wolframalpha.com/input/?i=Napier's%20constant Napier's constant] [[Wolfram Alpha]]
*[http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil eの近似値]（500万桁）2015年3月30日閲覧

{{DEFAULTSORT:ねいひあすう}}
[[Category:超越数]]
[[Category:数学定数]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ネイピア数|*]]
[[Category:エポニム]]