トーラスのソースを表示

{{出典の明記|date=2015年5月}}
{{otheruses|図形|その他}}
[[Image:Torus.png|thumb|トーラス]]
[[初等幾何学]]における'''トーラス'''（{{lang-en-short|''torus''}}, 複数形: ''tori''）、'''円環面'''、'''輪環面'''は、[[円周]]を回転して得られる[[回転面]]である。

いくつかの文脈では、二つの単位円周の[[直積集合]] {{math|''S''{{sup|1}} × ''S''{{sup|1}}}}（に適当な構造を入れたもの）を「トーラス」と定義する。特に、[[位相幾何学]]における「トーラス」は、[[直積位相]]を備えた {{math|''S''{{sup|1}} × ''S''{{sup|1}}}} に[[同相]]な図形の総称として用いられ、{{nowrap|[[種数]] {{math|1}}}} の{{ill2|閉曲面|en|closed surface}}（[[コンパクト空間|コンパクト]][[二次元多様体]]）として特徴づけられる。このようなトーラスは[[三次元ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{exp|3}}}} に[[位相的埋め込み|位相的に埋め込める]]が、各生成円をそれぞれ別の平面 {{math|'''R'''{{exp|2}}}} に埋め込んで、それら埋め込みを保つような直積空間としての「トーラス」をユークリッド空間に埋め込むことは {{math|'''R'''{{exp|3}}}} では不可能で、{{math|'''R'''{{exp|4}}}} で考える必要がある。これは{{ill2|クリフォードトーラス|en|Clifford torus}} と呼ばれる、[[四次元空間]]内の曲面を成す。

[[Image:Not-star-shaped.svg|thumb|90px|アニュラスはトーラスではない]]
混同すべきでない関連の深い図形として、トーラスに囲まれた領域（[[立体|三次元図形]]）すなわち「[[中身の詰まったトーラス]]」(solid torus) を、'''トーラス体'''、'''輪環体'''、'''円環体'''などと（対してもとのトーラスを'''トーラス面''' (toroid) と）呼ぶこともある。また、中身の詰まったトーラスを単に「トーラス」(toroid) と呼ぶ場合があるので注意が必要である。また、同様に「円環」などと呼ばれる別の図形[[アニュラス]]（''annulus''、環帯）とも混同してはならない。

== トーラス形 ==
[[画像:Donut.jpg|thumb|ドーナツ]]
[[Image:Torus 3d.png|thumb|R = 大半径、r = 小半径]]
[[画像:torus_cycles.png|thumb|赤色の線がメリディアン、桃色の線がロンジチュード]]
{{main|{{ill2|トーラス形|es|toroide}}}}
最もありふれたトーラスは、[[円 (数学)|円]]（周）の外側に[[回転軸]]を置き得られる[[回転体]]、いわゆる「[[ドーナツ]]型」である。

トーラスの形と大きさを示すには大円の半径である大半径 ''R'' と、小円の半径である小半径 ''r''  (''R'' > ''r'') の2つの値が必要である（図）。小円とは回転体の断面の円、大円は小円の中心がなす円のことである。大円はトーラスの'''中心曲線'''（ちゅうしんきょくせん、core curve）ともいわれる。このトーラスは、''xz'' 平面上の円 ''C''
:<math>C\colon (x - R)^2 + z^2 = r^2 \quad (R>r>0)</math>
を''z''軸の周りで回転することによって得られ、その方程式は
:<math>T\colon (\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 + z^2 = r^2</math>
となる。

また、右図のように、[[媒介変数]] ''t'' , ''p'' （0≦''t''≦2&pi; , 0≦''p''≦2&pi;）を使えば
:<math> \begin{align}
x &=  R\cos{t} + r\cos{p}\cos{t}\\
y &=  R\sin{t} + r\cos{p}\sin{t}\\
z &=  r \sin{p}
\end{align} </math>
と表示することもできる（''t'' , ''p'' を消去すれば前述の方程式になる）。

ここで媒介変数 ''t'' を一定としたときのトーラス上の閉曲線を'''メリディアン'''（meridian）または'''経線'''（けいせん）といい、 ''p'' を一定にしたときのトーラス上の閉曲線を'''ロンジチュード'''（longitude）または'''緯線'''（いせん）という。

このトーラスの表面積 ''S'' と体積 ''V'' は、
:<math>S = 4 \pi^2 rR = (2 \pi r) (2 \pi R)</math>
:<math>V = 2 \pi^2 r^2 R = (\pi r^2) (2 \pi R)</math>
である。それぞれ、小円の円周と面積に大円の円周を掛けた値になっている。このことはトーラスの表面積は底面が半径 <math>r</math> で高さが <math>2\pi R</math> の円柱の側面積に等しく、体積はこの円柱と同値であることを示している。

== 平坦トーラス ==
{{seealso|{{ill2|クリフォードトーラス|en|Clifford torus}}}}
'''平坦トーラス''' (flat torus) は、[[円柱 (数学)|円柱]]面を[[平坦]]なまま曲げて、両側の端を合わせ貼り付けることで得られる。「平坦」とは「[[曲率]]0」ということで、円柱面のように1方向にしか曲がっていない面は曲率0なので平坦である。平坦な面は[[可展]]、つまり、伸縮なしで[[平面]]（や他の平坦な面）に変形可能である。3次元空間内で円柱面を曲げるにはどうやっても伸縮が必要で、曲率のあるドーナツ型しか作れない。平坦トーラスを作るには、4次元空間が必要である。

平坦トーラスは[[長方形]]から作ることもできる。丸めて左右の辺を張り合わせて円柱面にし、あとは同じようにすればいい。円柱面の端とは元の長方形の上下の辺なので、上と下、右と左を貼り付けたことになる。ここで順序を変えて、まず右と左、次に上と下を貼り付けても平坦トーラスができ、このトーラスは元のトーラスと[[合同]]である。3次元空間内で考えれば、順序を変えると縦横が入れ替わり戻せないように思えるかもしれないが、4次元空間内では[[回転]]により重ね合わすことができる。つまり、上下・左右どちらを先に貼り付けても結果は同じである。

平坦トーラスを作る作業は4次元空間内であるため図示も想像も難しいが、実際に曲げずに、単に上と下、右と左が繋がっていると考えれば、平面幾何に関する限り同じことである。あるいは、同じ長方形が上下左右に無限に繰り返していると考えてもいい。家庭用ゲーム・[[ドラゴンクエストシリーズ]]などの[[コンピュータRPG]]に登場する、世界地図の右端と左端だけでなく上端と下端が同じ向き付けで繋がっているような世界は、[[地球]]のような[[球面]]ではなく平坦トーラスである。

ここまで長方形を例に挙げたが、実は[[平行四辺形]]なら平坦トーラスを作るのに[[必要十分]]である。たとえば、二重周期を持つ[[楕円関数]]は、二つの基本周期が描く平行四辺形から構成される平坦トーラスの上で、自然に定義される関数であると解釈される。

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画像:MUFFIL-1 Verheftung und Form des 2-Torus.png|[[正方形]]から円筒を、円筒からトーラスをつくる。
Image:TorusAsSquare.svg|AとA、BとB（あるいはBとB、AとA）を繋げる。
Image:Inside-out_torus_(animated,_small).gif|繋げる順序が違うトーラス間の変形（[[アニメGIF]]）。4次元空間では穴あけ・伸縮なしでこの変形が可能である。
</gallery>

== 位相的トーラス ==
[[Image:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|コーヒーカップとドーナツは同相である]]
位相幾何学的には、トーラスはどれだけ伸縮してもいい。有名な例は、ドーナツと[[コーヒーカップ]]は[[同相]]である、というものである。つまり、コーヒーカップ（の表面）もトーラスである。

[[Image:KnottedTorus.png|thumb|right|[[三葉結び目]]状のトーラス]]
また、[[結び目理論|結び目]]状になっているトーラスを考えることもできる。全ての結び目が円周に同相なように、結び目状になっているトーラスも標準的なトーラスと同相になる。ただし中心曲線の結び目が異なれば3次元空間上ではそれらは同位にならない。

===性質===
* トーラスの[[基本群]]は {{math|{{angbr|''x'', ''y'' : ''xyx''<sup>−1</sup>''y''<sup>−1</sup>}}}} である。

== 多孔トーラス ==
トーラスは、2次元球面から2つの円板を除去し、その境界に円柱面 ''S''<sup>1</sup>×''I'' の両端を貼り付けることによってつくることもできる。トーラスに対してさらにもう1つシリンダーをつけた曲面は'''二つ穴トーラス''' (double torus) と呼ぶことがある。これを繰り返してさらに多くの穴を持ったトーラスを考えることができ、穴の個数のことを[[種数#位相幾何学|種数]]という。また、シリンダーをつける操作は、新たなトーラスを[[連結和]]によって加えていることに相当する。

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Image:Double torus illustration.png|2つ穴トーラス
Image:Triple torus illustration.png|3つ穴トーラス
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== トーラス形多面体 ==
{{main|穿孔多面体}}
位相的にトーラス（あるいは多孔トーラス）である多面体は'''トーラス形多面体''' (toroidal polyhedra) または穿孔多面体（穴のある多面体）と呼ばれる。

==''n''次元トーラス==
[[円周]]あるいは[[曲線|単純閉曲線]] ''S''<sup>1</sup> を 1 次元トーラスという。冒頭で述べた意味でのトーラスは ''S''<sup>1</sup> &times; ''S''<sup>1</sup> とあらわすことができる（片方の ''S''<sup>1</sup> をメリディアン、もう片方の ''S''<sup>1</sup> をロンジチュードと考えればよい）。一般に、''n'' 次元トーラスあるいは簡単に ''n''-トーラス ''T''<sup>''n''</sup> とは ''S''<sup>1</sup> の ''n'' 個の直積
:<math>T^n = S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1</math>
のことである。この語法に従えば、冒頭で述べた意味でのトーラスは 2-トーラスということになる。

== 代数トーラス ==
{{seealso|{{ill2|代数トーラス|en|Algebraic torus}}}}
[[代数学]]においては、絶対値が 1 に等しい[[複素数]]が[[複素数平面]]上で描く軌跡はしばしば ''S''<sup>1</sup> = ''T''<sup>1</sup> とみなされる。また、''T''<sup>1</sup> は線分 [0, 1] の両端を同一視したもの、あるいは同じことだが実数体 '''R''' を有理整数環 '''Z''' で割った剰余環 '''R''' / '''Z''' とも同一視される。このとき、1-トーラス ''T''<sup>1</sup> は積に関して[[コンパクト位相群]]となる。

これをさらに一般化して、位相体のコンパクトな乗法群の直積に同型となるコンパクト群をトーラスと呼ぶことがある。たとえば、位相体上の ''n'' 次[[一般線型群]] ''GL''<sub>''n''</sub> に属する[[対角行列]]全体の作る群は ''n'' 次元トーラス（分裂トーラス）である。

フーリエ級数とは、コンパクト群としての 1-トーラス ''T''<sup>1</sup> 上で定義される、[[ハール測度]]に関して自乗可積分な関数の、''T''<sup>1</sup> の指標（1 次元表現）による展開であると解釈することができる。

==関連項目==
{{Commons|Category:Torus}}
* [[位相幾何学]]
* [[多様体]]
* [[フーリエ解析]]
* [[トーラス結び目]]
* [[トーラス分解]]
* [[宇宙]]

== 外部リンク ==
* [http://www.geometrygames.org/TorusGames/index.html.ja トーラス・ゲームズ] トーラス空間上のゲームで遊ぶことができるゲーム・ソフト（日本語）
* {{MathWorld|urlname=Torus|title=Torus}}
* {{nlab|urlname=torus|title=torus}}
* {{PlanetMath|urlname=Torus|title=torus}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Torus|title=Definition:Torus}}
* {{SpringerEOM|urlname=Torus|title=Torus|author=Voitsekhovskii, M.I.; Popov, V.L.}}


{{立体}}

{{DEFAULTSORT:とおらす}}
[[Category:閉曲面]]
[[Category:回転体]]
[[Category:高次元図形]]
[[Category:数学に関する記事]]