トゥエ・ジーゲル・ロスの定理のソースを表示

{{for|算術級数のロスの定理|{{仮リンク|Szemerédiの定理|en|Szemerédi's theorem}}}}
{{要改訳}}
'''トゥエ・ジーゲル・ロスの定理'''（{{lang-en-short|Thue&ndash;Siegel&ndash;Roth theorem}}）、あるいは単に'''ロスの定理''' ({{en|Roth's theorem}}) は、[[代数的数]]に対する[[ディオファントス近似]]における基本的な定理である。定量的な定理であり、与えられた代数的数 {{mvar|&alpha;}} が「非常に良い」[[有理数]]近似をそれほど多くは持たないかもしれないというものである。半世紀以上に渡って、この「非常に良い」の意味は多くの数学者によって改良されていった。はじめは1844年に[[ジョゼフ・リウヴィル]]によって、そして {{harvs|txt|authorlink=:en:Axel Thue|first=Axel|last= Thue|year=1909}}, {{harvs|txt|authorlink=:en:Carl Ludwig Siegel|first=Carl Ludwig |last=Siegel|year=1921}}, {{harvs|txt|authorlink=:en:Freeman Dyson|first=Freeman|last=Dyson|year=1947}}, {{harvs|txt|authorlink=:en:Klaus Roth|first=Klaus|last= Roth|year=1955}} らの仕事が続いた。

== ステートメント ==
トゥエ・ジーゲル・ロスの定理の主張は、任意の代数的[[無理数]] {{math|''&alpha;''}} の[[無理数#無理数度|無理数度]]は {{math|2}} に等しいというものである。すなわち、与えられた {{math|''&epsilon;'' &gt; 0}} に対し、不等式
:<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \varepsilon}}</math>
を満たす[[互いに素]]な整数 {{mvar|p, q}} の組は有限個しか存在しない。このことはジーゲルにより予想されていた。したがって、任意の代数的無理数 {{mvar|&alpha;}} は、
:<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > \frac{C(\alpha,\varepsilon)}{q^{2 + \varepsilon}}</math>
を満たす。ここで、{{math|''C''(''&alpha;, &epsilon;'')}} は {{math|''&epsilon;'' &gt; 0}} と {{mvar|&alpha;}} のみに依存する正数である。

== 議論 ==
この種の議論における最初の結果は、代数的数の近似に関する[[ディオファントス近似#リウヴィルの定理|リウヴィルの定理]]で、次数 {{math|''d'' &ge; 2}} の代数的数 {{mvar|&alpha;}} に対するディオファントス近似の指数を {{mvar|d}} と与える。[[超越数]]の存在を示すにはこの近似で充分であった（[[リウヴィル数]]参照）。トゥエは {{mvar|d}} より小さな指数を[[ディオファントス方程式]]の解に対して適用でき得ることを見出し、1909年に'''トゥエの定理''' ({{lang|en|Thue's theorem}}) から、指数は {{math|''d''/2 + 1 + ''&epsilon;''}} であることを示した。その後、ジーゲルの定理 ({{en|Siegel's theorem}}) によって <math>2\sqrt{d}</math>、1947年のダイソンの定理 ({{en|Dyson's theorem}}) によって <math>\sqrt{2d}</math> と指数の値が改良された。
<!--
The first result in this direction is [[Liouville's theorem (transcendence theory)|Liouville's theorem]] on approximation of algebraic numbers, which gives an approximation exponent of ''d'' for an algebraic number α of degree ''d''&nbsp;≥&nbsp;2. 
This is already enough to demonstrate the existence of [[transcendental number]]s. 

Thue realised that an exponent less than ''d'' would have applications to the solution of [[Diophantine equation]]s and in '''Thue's theorem''' from 1909 established an exponent <math>d/2 + 1 + \epsilon</math>. 

Siegel's theorem improves this to an exponent about 2√''d'', and Dyson's theorem of 1947 has exponent about √(2''d'').
-->

指数が {{math|2}} となるロスの定理は、{{math|''&epsilon;'' {{=}} 0}} とすると定理が成立しないという意味で最良である。[[ディリクレのディオファントス近似定理]]により、任意の無理数に対し無限個の解が存在するからである。しかし、[[サージ・ラング]]によるより強い予想：
:<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2 \log(q)^{1+\epsilon}}</math>
は整数解 {{mvar|p, q}} を有限個しか持たないという予想がある。{{mvar|&alpha;}} が代数的な実数に限らず実数全体で動くとすると、ロスの定理とラングの予想の双方は、[[ほとんど (数学)|ほとんど全ての]] {{mvar|&alpha;}} に対して成立する。ロスの定理もラングの予想も、ある[[可算集合]]<!--代数的無理数全体-->は[[測度]] {{math|0}} のある集合<!--成り立たないαたち-->を見逃しているということを主張する<ref>ロスの結果は、[[アーベル多様体の数論#マーニン・マンフォードの予想|マーニン・マンフォードの予想]]へも密接に関係している。</ref>。
<!--Roth's result with exponent 2 is in some sense the best possible, because this statement would fail on setting ε = 0: by [[Dirichlet's theorem on diophantine approximation]] there are infinitely many solutions in this case.  However, there is a stronger conjecture of [[Serge Lang]]  that

:<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2 \log(q)^{1+\varepsilon}}</math>

can have only finitely many solutions in integers ''p'' and ''q''.  If one lets α run over the whole of the set of real numbers, not just the algebraic reals, then both Roth's conclusion and Lang's  hold
for [[almost everywhere|almost all]] α. So both the theorem and the conjecture assert that a certain [[countable set]] misses a certain set of measure zero.<ref>It is also closely related to the [[Arithmetic of abelian varieties#Manin–Mumford conjecture|Manin–Mumford conjecture]].</ref>-->

ロスの定理は、[[数論の有効な結果|有効な結果]]（計算可能）ではない。すなわち、与えられた {{mvar|&alpha;}} に対する {{mvar|p, q}} の取り得る値の<!--（絶対値の）-->上限が示されていないということである<ref name=HindrySilverman344>{{harvnb|Hindry|Silverman|2000|pp=344-345}}.</ref>。
{{harvtxt|Davenport|Roth|1955}} は、ロスの方法が、「ギャップ」原理を用いて<ref name=HindrySilverman344/>、不等式を満たす {{math|''p''/''q''}} の数に対する有効な（計算可能な）制限を与えることに利用できる可能性のあることを示した。
{{math|''C''(''&epsilon;'')}} を実際の値を示せないという事実は、方程式を解いたり解の大きさの制限を定めたりすることは困難であることを意味する。
<!--The theorem is not currently [[Effective results in number theory|effective]]: that is, there is no bound known on the possible values of ''p'',''q'' given α.<ref name=HindrySilverman344>{{cite book | first1=Marc | last1=Hindry | first2=Joseph H. | last2=Silverman | authorlink2=Joseph H. Silverman | title=Diophantine Geometry: An Introduction | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=201 | year=2000 | isbn=0-387-98981-1 | pages=344–345}}</ref>  {{harvtxt|Davenport|Roth|1955}} showed that Roth's techniques could be used to give an effective bound for the number of  ''p''/''q'' satisfying the inequality, using a "gap" principle.<ref name=HindrySilverman344/>   The fact that we do not actually know ''C''(ε) means that the project of solving the equation, or bounding the size of the solutions, is out of reach.-->

=== 証明の方法 ===<!--== Proof technique ==-->
証明の方法は、多変数の{{仮リンク|補助函数|en|auxiliary function}} ({{lang|en|auxiliary function}}) を構成することで、多すぎる良い近似の存在の矛盾を導くという方法だった。この種の手法の性質から、ロスの定理は数論において有効ではない（計算可能ではない）。この種の定理は主として[[ディオファントス方程式]]の解の個数を制限することに利用されるため、ロスの定理が有効な結果ではない（計算可能でない）ということは、特に重要である。
<!--
The proof technique was the construction of an [[auxiliary function]] in several variables, leading to a contradiction in the presence of too many good approximations. 
By its nature, it was ineffective (see [[effective results in number theory]]); this is of particular interest since a major application of this type of result is to bound the number of solutions of some [[diophantine equation]]s.-->

== 一般化 ==

高次元のバージョンもあり、基本的結果としては{{仮リンク|シュミットの部分空間定理|en|subspace theorem}}がある。また数多くの拡張があり、例えば、ロスの方法を基礎とした [[p進数|''p'' 進計量]]に使われる{{sfn|Ridout|1958|pp=40-48}}。

{{仮リンク|ウィリアム・ラベック|en|William J. LeVeque}} ({{en|William J. LeVeque}}) は、近似が固定された[[代数体]]の中の近似数である場合に、同様な制限が成り立つことを示すことで、ロスの定理を一般化した。代数的数の {{mvar|&xi;}} の'''[[高さ函数]]''' {{math|''H''(''&xi;'')}} を、[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]の係数の絶対値が最大となるように定義する。{{math|''&kappa;'' &gt; 2}} を固定すると、与えられた代数的数 {{mvar|&alpha;}} と代数体 {{mvar|K}} に対し、方程式
:<math> | \alpha - \xi | < \frac{1}{H(\xi)^\kappa} </math>
は、{{mvar|K}} の元 {{mvar|&xi;}} の中には有限個しか解を持たない{{sfn|LeVeque|1956|pp=II:148–152}}。
<!--

There is a higher-dimensional version, [[subspace theorem|Schmidt's subspace theorem]], of the basic result. There are also numerous extensions, for example using the [[p-adic metric]],<ref>{{cite journal | first=D. | last=Ridout | title=The ''p''-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem | journal=[[Mathematika]] | volume=5 | pages=40–48 | year=1958 | zbl=0085.03501 | doi=10.1112/s0025579300001339}}</ref> based on the Roth method.

[[William J. LeVeque|LeVeque]] generalized the result by showing that a similar bound holds when the approximating numbers are taken from a fixed [[algebraic number field]].  Define the ''[[height function|height]]'' ''H''(ξ) of an algebraic number ξ to be the maximum of the absolute values of the coefficients of its [[Minimal polynomial (field theory)|minimal polynomial]].  Fix κ>2.  For a given algebraic number α and algebraic number field ''K'', the equation

:<math> | \alpha - \xi | < \frac{1}{H(\xi)^\kappa} </math>

has only finitely many solutions in elements ξ of ''K''.<ref>{{cite book | last = LeVeque | first = William J. | authorlink = William J. LeVeque | title = Topics in Number Theory, Volumes I and II | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 2002 | origyear = 1956 | isbn = 978-0-486-42539-9 | zbl=1009.11001 | pages=II:148–152}}</ref>-->

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|ダヴェンポート・シュミットの定理|en|Davenport–Schmidt theorem}}
*[[ABC予想|グランヴィル・ランジュヴァン予想]] &mdash; ABC 予想と同値な予想

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Davenport | first1=H. | last2=Roth | first2=Klaus Friedrich | authorlink1=:en:Harold Davenport | authorlink2=:en:Klaus Friedrich Roth | title=Rational approximations to algebraic numbers | doi=10.1112/S0025579300000814 | mr=0077577 | zbl=0066.29302 | year=1955 | journal=[[:en:Mathematika|Mathematika]] | issn=0025-5793 | volume=2 | pages=160–167}}
*{{Citation | last1=Dyson | first1=Freeman J. | authorlink1=:en:Freeman Dyson | title=The approximation to algebraic numbers by rationals | doi= 10.1007/BF02404697 | mr=0023854 | zbl=0030.02101 | year=1947 | journal=[[Acta Mathematica]] | issn=0001-5962 | volume=79 | pages=225–240}}
*{{Citation | last1=Roth | first1=Klaus Friedrich | authorlink1=:en:Klaus Friedrich Roth |title=Rational approximations to algebraic numbers | doi=10.1112/S0025579300000644 | mr=0072182 | year=1955 | journal=[[:en:Mathematika|Mathematika]] | issn=0025-5793 | volume=2 | pages=1–20, 168 | zbl=0064.28501}}
* {{cite journal |author=Wolfgang M. Schmidt |authorlink=:en:Wolfgang M. Schmidt|title=Diophantine approximation |journal=[[:en:Lecture Notes in Mathematics|Lecture Notes in Mathematics]] |volume=785 |publisher=Springer |year=1980, 1996 |doi=10.1007/978-3-540-38645-2}}
* {{cite journal |author=Wolfgang M. Schmidt |title=Diophantine approximations and Diophantine equations |journal=[[:en:Lecture Notes in Mathematics|Lecture Notes in Mathematics]] |publisher=Springer Verlag |year=1991 |volume=1467 |doi=10.1007/BFb0098246}}
*{{Citation | last1=Siegel | first1=Carl Ludwig | authorlink1=:en:Carl Ludwig Siegel | title=Approximation algebraischer Zahlen  | doi=10.1007/BF01211608 | year=1921 | journal=[[:en:Mathematische Zeitschrift|Mathematische Zeitschrift]] | issn=0025-5874 | volume=10 | issue=3 | pages=173–213}}
*{{Citation | last1=Thue | first1=A. | authorlink1=:en:Axel Thue | title=Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0135 | year=1909 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=135 | pages=284–305}}
*{{cite book | first1=Marc | last1=Hindry | first2=Joseph H. | last2=Silverman | authorlink2=:en:Joseph H. Silverman | title=Diophantine Geometry: An Introduction | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=201 | year=2000 | isbn=0-387-98981-1 |pages=344-345 |ref=harv}}
*{{cite journal | first=D. | last=Ridout | title=The {{mvar|p}}-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem | journal=[[:en:Mathematika|Mathematika]] | volume=5 | pages=40–48 | year=1958 | zbl=0085.03501 | doi=10.1112/s0025579300001339|ref=harv}}
*{{cite book | last = LeVeque | first = William J. | authorlink =:en:William J. LeVeque | title = Topics in Number Theory, Volumes I and II | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 2002 | origyear = 1956 | isbn = 978-0-486-42539-9 | zbl=1009.11001 | pages=II:148–152|ref=harv}}

== 関連書籍 ==
* {{cite book | first=Alan | last=Baker | authorlink=:en:Alan Baker (mathematician) | title=Transcendental Number Theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1975 | isbn=0-521-20461-5 | zbl=0297.10013 }}
* {{cite book | first1=Alan | last1=Baker | authorlink1=:en:Alan Baker (mathematician)| first2=Gisbert | last2= Wüstholz | authorlink2=:en:Gisbert Wüstholz | title=Logarithmic Forms and Diophantine Geometry | series=New Mathematical Monographs | volume=9 | publisher=[[:en:Cambridge University Press|Cambridge University Press]] | year=2007 | isbn=978-0-521-88268-2 | zbl=1145.11004 }}
* {{cite book | first1=Enrico | last1=Bombieri | authorlink1=:en:Enrico Bombieri | first2=Walter | last2=Gubler | title=Heights in Diophantine Geometry | series=New Mathematical Monographs | volume=4 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2006 | isbn=978-0-521-71229-3 | zbl=1130.11034 }}
* {{cite book | first=Paul | last=Vojta | authorlink=:en:Paul Vojta | title=Diophantine Approximations and Value Distribution Theory | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1239 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1987 | isbn=3-540-17551-2 | zbl=0609.14011 }}

{{Numtheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:とうえしいけるろすのていり}}
[[Category:数論]]
[[Category:ディオファントス近似]]
[[Category:数学に関する記事]]