テント写像のソースを表示

[[ファイル:TentMap BifurcationDiagram.png|thumb|right|256px|テント写像の[[分岐図 (力学系)|分岐図]]]]
'''テント写像'''（テントしゃぞう、{{lang-en-short|tent map}}）は、[[力学系]]あるいは[[カオス理論]]における基礎的な[[写像]]の一つである。パラメータ（[[定数]]）を一つ持つ、以下のような[[区分線形関数]] {{math|''f''(''x'')}} で与えられる。
:<math>
f(x)=
\begin{cases}
\mu x, & x < \frac{1}{2}, \\
\mu (1-x), & \frac{1}{2} \le x.
\end{cases}
</math>
{{math|''&mu;'' > 1}} では、写像を[[反復合成写像|反復合成]]して生成される {{mvar|x}} の軌道は、[[ほとんど (数学)|ほとんど]]の初期値でカオスとなる。テント写像は最も簡素な単峰写像の例であり、カオス力学系の教科書などでもしばしば採り上げられる<ref name="Heidel1990">{{Cite journal |author =Jack Heidel |title = The existence of periodic orbits of the tent map |date =15 January 1990 |publisher =Elsevier B.V. |journal =Physics Letters A |volume =143 |issue =4-5 |doi =10.1016/0375-9601(90)90738-A |pages =195&ndash;201 }}</ref>。

== 写像 ==
[[File:Tent map 2.png|thumb|350px|テント写像のグラフ]]
テント写像 {{math|''f'': '''R''' &rarr; '''R'''}} は、{{math|''x'' &isin; '''R'''}}, {{math|''&mu;'' &isin; '''R'''<sub>&ge; 0</sub>}} として次のように与えられる。

:<math>
f(x)=
\begin{cases}
\mu x, & x < \frac{1}{2}, \\
\mu (1-x), & \frac{1}{2} \le x.
\end{cases}
</math>

{{math|''n'' &isin; '''Z'''<sub>> 0</sub>}} として、{{math|''f''(''x'')}} の {{mvar|n}} 回[[反復合成写像|反復合成]]を {{math|''f<sup>n</sup>''(''x'')}} と表す。すなわち、{{math2|1=''f''<sup>0</sup>(''x'') = ''x'', ''f''<sup>1</sup>(''x'') = ''f''(''x''), ''f''<sup>2</sup>(''x'') = ''f''(''f''<sup>1</sup>(''x'')), ''f''<sup>3</sup>(''x'') = ''f''(''f''<sup>2</sup>(''x'')), ...}} であるとする。{{math|''f<sup>n</sup>''(''x'')}} の軌道は、
:<math> x_{0},\ x_{1}=f(x_0),\ x_{2}= f(x_1), \ldots,\ x_n=f(x_{n-1}), \ldots</math>
という数列となる。ここで {{math|''x''<sub>0</sub>}} は軌道の初期値である。{{math|''x<sub>n</sub>''}} と {{math|''x''<sub>''n''+1</sub>}} の[[漸化式]]の形では、
:<math>
x_{n+1}=f(x_n)=
\begin{cases}
\mu x_n & x_n < \frac{1}{2}, \\
\mu (1-x_n) & \frac{1}{2} \le x_n
\end{cases}
</math>
である。テント写像では[[単位区間]]の範囲で初期値を与えるのが一般的である<ref name="瀬野2016" />。以下でも特に断りがない限り、{{math|1= ''x''<sub>0</sub> &isin; '''I''' = [0, 1]}} である。

テント写像の[[グラフ (関数)|グラフ]]は点 {{math|(1/2, ''&mu;''/2)}} を頂点とした[[区分線形関数|区分線形曲線]]となる。グラフは[[テント]]のような形をしており、このためテント写像と呼ばれる<ref name="船越2008" />。テント写像の初期値鋭敏性を示す[[リアプノフ指数]] {{mvar|&lambda;}} は、[[傾き]]の[[絶対値]]が {{mvar|&mu;}} で一定であるため {{math|1= ''&lambda;'' = ln ''&mu;''}} と求めることができる<ref>{{Cite book ja-jp |author=Steven H. Strogatz |translator=田中久陽・中尾裕也・千葉逸人 |title=ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで |publisher=丸善出版 |year=2015 |isbn=978-4-621-08580-6}} p. 402</ref>。

== 軌道の振る舞い ==
=== {{Anchors|1=0 &lt; μ &le; 1}} 0 &lt; ''&mu;'' &le; 1 ===
[[File:Tent map cobweb diagram, examples on a parameter less than 1.png|thumb|350px|[[クモの巣図法]]で描かれた {{math|1= ''&mu;'' = 0.6}} のときのテント写像の軌道の様子。図は3つの初期値からの軌道を示しており、左側（黄色）が {{math|1= ''x''<sub>0</sub> = 0.35}}、中央（紫）が {{math|1= ''x''<sub>0</sub> = 0.5}}、右側（緑）が {{math|1= ''x''<sub>0</sub> = 0.75}} となっている。]]
まず、パラメータが {{math|0 &lt; ''&mu;'' &lt; 1}} のとき、{{math|1= ''x'' = 0}} が {{math|1= ''x''<sub>''n'' + 1</sub> = ''x''<sub>''n''</sub>}} を満たす[[不動点]]である。この不動点は[[リアプノフ安定|漸近安定かつ大域安定]]で、任意の {{math|''x''<sub>0</sub>}} の軌道全ては {{math|''n'' &rarr; &infin;}} で {{math|0}} へと収束する<ref name="Heidel1990" />。

{{math|1= ''&mu;'' = 1}} のときも軌道は不動点に収束するが、このときは区間 {{closed-closed|0, 1/2}} 上の点全てが不動点となる。すなわち、{{math|''x''<sub>0</sub> &isin; [0, 1/2]}} であれば全ての {{mvar|n}} について {{math|1= ''x<sub>n</sub>'' = ''x''<sub>0</sub>}} であり、{{math|''x''<sub>0</sub> &isin; (1/2, 1]}} であれば {{math|1= ''n'' &ge; 1}} について {{math|1= ''x<sub>n</sub>'' = 1 &minus; ''x''<sub>0</sub>}} である。このときの各不動点の安定性は[[リアプノフ安定|リアプノフの意味で安定]]な状態にある<ref name="瀬野2016">{{Cite book ja-jp |author=瀬野 裕美 |title=数理生物学講義 : 【基礎編】 数理モデル解析の初歩 |publisher=共立出版 |year=2016 |edition=初版 |isbn=978-4-320-05781-4 |chapter=付録E テント写像の分岐解析}} pp. 179&ndash;185</ref>。

=== {{Anchors|1=1 &lt; μ &le; 2}} 1 &lt; ''&mu;'' &lt; 2 ===
{{mvar|&mu;}} が {{math|1}} を超えると、{{math|1= ''x''<sub>f1</sub> = 0}} に加えて {{math|1= ''x''<sub>f2</sub> = ''&mu;''/(''&mu;'' + 1)}} が不動点となる。ただし、{{math|d''f''(''x''<sub>f1</sub>)/d''x''}} および {{math|d''f''(''x''<sub>f2</sub>)/d''x''}} の値は {{math|1}} を超えるため、これらの不動点は不安定となる<ref name="瀬野2016" />。さらに、{{math|''&mu;'' &gt; 1}} では軌道が周期的になる初期値が現れる。このとき、周期2, 周期3, 周期4,...といったように2以上の全ての自然数に対応する周期軌道が存在している<ref name="Heidel1990" />。例えば、周期2であれば2つの[[周期点]] {{math|''x''<sub>''p''1</sub>, ''x''<sub>''p''2</sub>}} は次のように明示的に求めることができる<ref name="船越2008">{{Cite book ja-jp |author=船越満明 |title=カオス |series=シリーズ 非線形科学入門3 |publisher=朝倉書店 |year=2008 |edition=初版 |isbn=978-4-254-11613-7}} pp. 65&ndash;70</ref>。

:<math>\begin{align}
x_{p1} &= \frac{\mu^2}{1+\mu^2}, \\
x_{p2} &= \frac{\mu}{1+\mu^2}.
\end{align}</math>

{{math|''&mu;'' &gt; 1}} で現れる全ての周期点は、2つの不動点と同様に不安定である。初期値が不動点と周期点の値を取る場合を除き、全ての軌道は非周期変動すなわち[[カオス理論|カオス]]となる<ref name="瀬野2016" />。

{{math|1= 1 < ''&mu;'' < {{sqrt|2}}}} の範囲では、{{mvar|x}} は複数の小領域を交互に行き来するカオス軌道となる<ref name="船越2008" /><ref name="CUC">{{Cite web|url=http://www.math.union.edu/research/chaos/Ch4_24Sol.html |work=Chaos Under Control |author=David Peak; Michael Frame |title=Exercises for Chaos Under Control, Chapter 4: The Tent Map 24. (a) Answer |accessdate=2018-04-15}}</ref>。そして、{{math|1= {{sqrt|2}} < ''&mu;'' < 2}} の範囲では1つの領域内で {{mvar|x}} が変動するようになる<ref name="CUC" />。{{mvar|&mu;}} を1から2まで増加させるに従い、カオス軌道の取り得る領域 {{closed-closed|''x''<sub>mim</sub>, ''x''<sub>max</sub>}} は徐々に大きくなっていき、最終的には {{math|1= &mu; = 1}} で[[単位区間]] {{closed-closed|0, 1}} に一致する。{{math|1= 1 < ''&mu;'' &le; 2}} における {{closed-closed|''x''<sub>mim</sub>, ''x''<sub>max</sub>}} は、{{mvar|&mu;}} を変数として {{closed-closed|''&mu;''(2 &minus; ''&mu;'')/4, ''&mu;''/2}} で与えられる<ref name="船越2008" />。

=== {{Anchors|1=μ = 2}} ''&mu;'' = 2 ===
[[File:Tent map cobweb diagram, example of parameter 2.png|thumb|320px|クモの巣図法による {{math|1= ''&mu;'' = 0.2}} のときのテント写像の軌道の様子。反復回数 {{math|1=''n'' = 300}} までを図示している。]]
{{math|1= ''&mu;'' = 2}} のとき、区間 {{math|[0, 1]}} 全域に軌道が及ぶ。このとき、{{仮リンク|ロバート・デバニー|label=デバニー|en|Robert L. Devaney}}の定義で {{math|1= ''&mu;'' = 2}} のテント写像 {{math|1= ''f''<sub>''&mu;'' = 2</sub> (''x'')}} はカオス的である<ref>{{Cite book ja-jp |author=Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney |translator=桐木紳・三波篤朗・谷川清隆・辻井正人 |title=力学系入門　原著第2版―微分方程式からカオスまで |publisher=共立出版 |edition=初版 |year=2007 |isbn=978-4-320-01847-1}} pp. 349&ndash;351</ref>。このときのリアプノフ指数 {{mvar|&lambda;}} は、{{math|1= ''&lambda;'' = ln ''&mu;''}} より、 {{math|1= ''&lambda;'' = ln 2}} である。 

このときのテント写像の軌道の非周期性は、確率的に全くランダムな非周期性と次のような繋がりを持つ<ref>{{Cite book ja-jp |author=山口昌哉 |title=カオスとフラクタル ―非線形の不思議 |series=ブルーバックス |publisher=講談社 |year=1986 |isbn=4-06-132652-X}} pp. 29&ndash;44.</ref>。任意の {{math|''x''<sub>0</sub>}} から始まる軌道 {{math|1=''f<sup>n</sup>''<sub>''&mu;'' = 2</sub> (''x''<sub>0</sub>)}} において、{{math|''x<sub>n</sub>''}} が左半分の区間 {{closed-closed|0, 0.5}} の値を取るときに記号"L"を割り当て、{{math|''x<sub>n</sub>''}} が右半分の区間 {{closed-closed|0.5, 1}} の値を取るときに記号"R"を割り当てれば、軌道は LRRLRLL... といったような L と R の記号列に変換できる<ref>ここで 0.5 が重複している曖昧さは特に問題とならない（山口, 1986）。</ref>。一方で、テント写像とは無関係に、[[コイントス]]のように全く[[ランダム]]に L と R を選んでいくことで同じようなLR記号列を作成する。ランダムによる記号列にはありとあらゆる L と R の並びが考えられる。しかしこのとき、任意のランダムによる記号列とテント写像による記号列を一致させる初期値 {{math|''x''<sub>0</sub> &isin; [0, 1]}} が一つ存在する。言い換えれば、適当な {{math|''x''<sub>0</sub>}} を選ぶことで、テント写像はあらゆる並びのLR記号列を生み出すことができる。

また、テント写像 {{math|1= ''f''<sub>''&mu;'' =2</sub> (''x'')}} は、パラメータ {{math|1= ''a'' = 4}} の[[ロジスティック写像]] {{math|1= ''g''<sub>''a'' = 4</sub> (''y'')}}  と[[位相共役]]な関係にある<ref name="アリグッド2012">{{Cite book ja-jp |author=K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク |translator =星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏 |others=津田一郎（監訳）|editor=シュプリンガー・ジャパン |title=カオス　第1巻　力学系入門 |publisher=丸善出版 |year=2012 |isbn=978-4-621-06223-4}} pp. 124&ndash;133</ref>。すなわち、{{math|1= ''h''(''x'') &#8728; ''f''<sub>''&mu;'' = 2</sub>(''x'') = ''g''<sub>''a'' = 4</sub>(''y'') &#8728; ''h''(''x'')}} を満たす[[同相写像]] {{math|''h''(''x'')}} を取ることができ、それは
:<math>h(x)=y=\frac{1-\cos \pi x}{2}</math>
である。ここで {{math|&#8728;}} は[[写像の合成]]を意味する。この位相共役性を利用して、{{math|1= ''g''<sub>''a'' = 4</sub>}} のリアプノフ指数の値を解析的に得ることができる<ref name="アリグッド2012" />。1947年、[[スタニスワフ・ウラム]]と[[ジョン・フォン・ノイマン]]は {{math|1= ''f''<sub>''&mu;'' = 2</sub>}} と {{math|1= ''g''<sub>''a'' = 4</sub>}} が位相共役であることを示し、ロジスティック写像 {{math|1= ''g''<sub>''a'' = 4</sub>}} の軌道の乱雑さを明らかにした<ref>{{Cite book ja-jp |title=カオス ―カオス理論の基礎と応用 |editor=合原一幸 |author=香田徹 |chapter=1 カオス概論 |publisher=サイエンス社 |year=1990 |edition=初版 |isbn= 4-7819-0592-7 |page= 10}}</ref>

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 外部リンク ==
*{{Commonscat-inline}}

{{DEFAULTSORT:てんとしやそう}}
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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:テント]]