スターリングの近似のソースを表示

{{No footnotes|date=2015年12月14日 (月) 11:17 (UTC)}}
[[ファイル:Stirling's Approximation Small.png|thumb|right|250px|log ''n''! と ''n'' log ''n'' &minus; ''n'' は ''n'' → ∞ のとき漸近する]]
'''スターリングの近似'''（{{lang-en-short|Stirling's approximation}}）または'''スターリングの公式'''（{{lang-en-short|Stirling's formula}}）は、[[階乗]]、あるいはその拡張の一つである[[ガンマ関数]]の[[漸近近似]]である。名称は数学者{{仮リンク|ジェイムズ・スターリング|en|James Stirling (mathematician)}}に因む。

== 概要 ==
スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。応用上よく使われる形の公式は、[[ランダウの記号]]を用いて、
:<math>\log n!=n\log n-n+O(\log n)</math>
である。{{math|''O''(log ''n'')}} における次の項は {{math|(1/2)log 2{{π}}''n''}} である。故に、次によい近似の{{仮リンク|漸近公式|en|asymptotic formula}}は
:<math>n!\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math>
である<ref>[[伏見康治]]「[[確率論及統計論]]」第I章　数学的補助手段 3節 漸近展開 p.24 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204</ref>。（ここで記号 <math>\sim</math> は両辺の比が（''n'' → ∞ のとき） 1 に収束することを意味する。）

{{math|''n''!}} の漸近近似よりもむしろ上下からの評価が必要なことがある。そのような評価として、任意の正の整数 {{math|''n''}} に対して
:<math>\sqrt{2\pi} \, n^{n+1/2} e^{-n} \le n!\le en^{n+1/2} e^{-n}</math>
が成り立ち、従って任意の {{math|''n''}} に対して比 {{math|''n''!/(''n''<sup>''n''+1/2</sup>''e''<sup>&minus;''n''</sup>)}} は {{math|1={{sqrt|2{{pi}}}} = 2.5066...}} と {{math|1=[[自然対数の底|''e'']] = 2.71828...}} の間にある。

スターリングの近似は階乗の複素引数への拡張の一つである[[ガンマ関数]] {{math|Γ(''z'')}}（正の整数 {{mvar|n}} に対し {{math|1=&Gamma;(''n'') = (''n'' &minus; 1)!}} が成り立つ；[[ボーア・モレルップの定理]]も参照）に拡張することができ、
:<math>\Gamma(z)\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \right)^z \qquad (\vert \arg z\vert \le \pi-\varepsilon ,\;\vert z\vert \to \infty )</math>
が成り立つ（ただし {{math|''&epsilon;'' > 0}}）{{sfn|Andrews et al.|1999|loc={{google books quote|id=kGshpCa3eYwC|page=21|Corollary 1.4.3}}}}。{{math|{{!}}arg ''z''&thinsp;{{!}} &rarr; {{pi}}}} のときは収束が遅くなるため、応用上は[[ガンマ関数#相半公式|相補公式]]などを用いて {{math|{{!}}arg ''z''&thinsp;{{!}} &le; {{pi}}/2}} 程度に制限することが多い。

== 導出 ==
=== 初等的な導出 ===
スターリングの公式の厳密な証明には[[オイラーの和公式]]、あるいは[[鞍点法]]といった複素解析の技法などを用いられることが多いが、初等的に導くことも可能である。まず階乗の[[対数]]を積分で近似する。logが[[凹関数]]であることから k-1<x<k (k=2,3,...) に対して
:<math>\log k-(k-x)\{\log k-\log(k-1)\} \;<\; \log x \;<\; \log k - \frac{1}{k}(k-x)</math>
これを k-1 から k まで積分して
:<math>\begin{align}
&\log k-\frac{1}{2}\{\log k-\log(k-1)\} \;<\; \int_{k-1}^{k} \log x\,dx \;<\; \log k -\frac{1}{2k} \\
&\int_{k-1}^{k} \log x\,dx + \frac{1}{2k} \;<\; \log k \;<\;  \int_{k-1}^{k} \log x\,dx + \frac{1}{2}\{\log k-\log(k-1)\}
\end{align}</math>
k=m+1,m+2,...,n に対して足し合わせると
:<math>\begin{align}
\log\frac{n!}{m!} &= \sum_{k=m+1}^{n} \log k \\
&> \int_{m}^{n} \log x\,dx + \sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{2k} \\
&> \int_{m}^{n} \log x\,dx + \frac{1}{2n} - \frac{1}{2m} +\int_{m}^{n} \frac{1}{2x} \,dx \\
&= (n+1/2)\log n - n + 1/(2n) - (m+1/2)\log m + m - 1/(2m) \\
\log\frac{n!}{m!} &= \sum_{k=m+1}^{n} \log k \\
&< \int_{m}^{n} \log x\,dx + \frac{1}{2}\{\log n-\log m\} \\
&= (n+1/2)\log n - n - (m+1/2)\log m + m
\end{align}</math>
:<math>\frac{n^{n+1/2}e^{-n+1/(2n)}}{m^{m+1/2}e^{-m+1/(2m)}} < \frac{n!}{m!} < \frac{n^{n+1/2}e^{-n}}{m^{m+1/2}e^{-m}}</math>
ここで <math>\;a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}\;</math> と定めると
:<math>\frac{e^{1/(2n)}}{e^{1/(2m)}} < \frac{a_n}{a_m} < 1</math>
m,n&rarr;&infin;のとき最左辺は1に収束するから、特に n=2m のとき
:<math>\lim_{m\to\infty} \frac{a_{2m}}{a_m} = 1</math>
これと[[ウォリスの公式]]の系 <math>\;\lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!} = \sqrt{\pi}\;</math> と比較すると、
:<math>\frac{4^n (n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!} = \frac{4^n (a_n n^{n+1/2}e^{-n})^2}{\sqrt{n}a_{2n}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}} = \frac{a_n^2}{\sqrt{2}a_{2n}}</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!} \frac{\sqrt{2}a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi}</math>
を得る。

==== 精度の改善 ====
精度を改善するために a<sub>n</sub> を評価する。
:<math>\begin{align}
\log\frac{a_m}{a_{m+1}} &= \log m! - \left(m+\frac{1}{2}\right)\log m + m - \log(m+1)! + \left(m+\frac{3}{2}\right)\log(m+1) - m - 1 \\
 &= \left(m+\frac{1}{2}\right) \log\left(1+\frac{1}{m}\right) - 1 \\
 &= \left(m+\frac{1}{2}\right) \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\frac{1}{m^k} - 1 \\
 &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}\frac{1}{m^k} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k}\frac{1}{m^k} - 1 \\
 &= \sum_{k=2}^{\infty}\frac{(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}\frac{1}{m^k}
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\log\frac{a_n}{\sqrt{2\pi}} &= \sum_{m=n}^{\infty}\log\frac{a_m}{a_{m+1}} = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)} \sum_{m=n}^{\infty}\frac{1}{m^k} \\
 &= \sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k(k+1)} \left\{\frac{1}{n^{k-1}}+O\left(\frac{1}{n^k}\right)\right\} \\
 &= \frac{1}{12n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)
\end{align}</math>
従って
:<math>n!\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \exp\left(\frac{1}{12n}\right)</math>

=== オイラーの和公式による導出 ===
オイラーの乗積表示による[[ガンマ関数]]の定義の対数をとり
:<math>\begin{align}
\log \Gamma (z) &=\log \big\{ (z-1)\Gamma (z-1)\big\} \\
 &=\lim_{N\to \infty} (z-1)\log N+\sum_{n=1}^N \big\{ \log n-\log (n+z-1) \big\}
\end{align}</math>
<math>f(n)=\log n-\log (n+z-1)</math> に[[オイラーの和公式]]を適用すれば
:<math>\begin{align}
\log\Gamma(z)
 &=\lim_{N\to \infty} (z-1)\log N+\int_{n=1}^N f(n)\, dn+\frac{1}{2} \big( f(N)+f(1) \big) \\
 &\qquad+\sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)} (N)-f^{(2k-1)} (1)\right) +\int_{n=1}^N \frac{B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor)}{(2m+1)!} f^{(2m+1)} (n)\,dn \\
 &=\lim_{N\to \infty} (z-1)\log N+\bigg[ n\log n-(n+z-1)\log (n+z-1) \bigg]_{n=1}^N +\frac{1}{2}\big\{ \log N-\log (N+z-1)-\log z\big\} \\
 &\qquad +\sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)} \left\{ \frac{1}{N^{2k-1}} -\frac{1}{(N+z-1)^{2k-1}}-1+\frac{1}{z^{2k-1}} \right\} \\
 &\qquad+\int_{n=1}^N \frac{B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor)}{2m+1} \left\{ \frac{1}{n^{2m+1}} -\frac{1}{(n+z-1)^{2m+1}} \right\} dn \\
 &=\lim_{N\to \infty} \left( N+z-\frac{1}{2} \right) \big\{ \log N-\log (N+z-1)\big\} +\left( z+\frac{1}{2} \right) \log z \\
 &\qquad +\sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)} \left\{ \frac{1}{N^{2k-1}} -\frac{1}{(N+z-1)^{2k-1}} -1+\frac{1}{z^{2k-1}} \right\} \\
 &\qquad +\int_{n=1}^N \frac{B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor)}{2m+1} \left\{ \frac{1}{n^{2m+1}} -\frac{1}{(n+z-1)^{2m+1}} \right\} dn \\
&=-z+1+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z-\sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)} \left( 1-\frac{1}{z^{2k-1}} \right) \\
&\qquad+\int_{n=1}^N \frac{B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor)}{2m+1} \left\{ \frac{1}{n^{2m+1}} -\frac{1}{(n+z-1)^{2m+1}} \right\} dn
\end{align}</math>
となる。右辺の定数を集めて
:<math>C=1-\sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)} +\int_{n=1}^N \frac{B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)n^{2m+1}}</math>
とすれば
:<math>\log \Gamma (z)=C-z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+\sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}} -\int_{n=1}^N \frac{B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}</math>
となり、この主要部をガンマ関数の[[ガンマ関数#相半公式|相補公式]]に代入して <math>z\to i\infty</math> とすれば
:<math>\Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}</math>
:<math>\pi i+\log z+\log \Gamma (z)+\log \Gamma (-z)-\log \sin \pi z-\log \pi =0</math>
:<math>\pi i+\log z+C-z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+C+z+\left( -z-\frac{1}{2} \right) \left( \pi i+\log z\right) -\log \sin \pi z-\log \pi =0</math>
:<math>2C+\frac{\pi i}{2} -\pi iz-\log \sin \pi z-\log \pi =0</math>
となるが
:<math>\log \sin \pi z=\log \left( e^{\pi iz}-e^{-\pi iz} \right) -\frac{\pi i}{2} -\log 2\sim \pi iz-\frac{\pi i}{2} -\log 2</math>
であるから
:<math>C=\frac{\log 2\pi}{2}</math>
を得る。剰余項については
:<math>\alpha =\frac{2}{1+\cos \arg z}</math>
として
:<math>\begin{align}
\left| \int_{n=1}^N \frac{B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}} \right|
 &\le \frac{\left| B_{2m}\right|}{2m}\int_{n=1}^N \frac{dn}{\left|n+z-1\right|^{2m+1}}\\
 &\le \frac{\left| B_{2m}\right|}{2m\alpha^{2m+1}}\int_{n=1}^N \frac{dn}{(n+\left| z\right|-1)^{2m+1}}
=\frac{\left| B_{2m}\right|}{\alpha^{2m+1} \left| z\right|^{2m}} =O\left( z^{-2m} \right) \\
\end{align}</math>
である。故に
{{Indent|<math>\log \Gamma (z)=\frac{\log 2\pi}{2} -z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+\sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}} +O\left( z^{-2m} \right)</math>}}
を得る。最初の数項を書き下せば
:<math>\log \Gamma (z)\sim \log \sqrt{2\pi} -z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+\frac{1}{12z} -\frac{1}{360z^3} +\frac{1}{1260z^5} -\frac{1}{1680z^7} +\frac{1}{1188z^9}</math>
:<math>\Gamma (z)\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \right)^z
 \exp \left( \frac{1}{12z} -\frac{1}{360z^3} +\frac{1}{1260z^5} -\frac{1}{1680z^7} +\frac{1}{1188z^9} \right)</math>
とやり、指数関数の[[テイラー展開]]により
:<math>\Gamma(z)\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \right)^z \left( 1+\frac{1}{12z}+\frac{1}{288z^2} -\frac{139}{51840z^3} \right)</math>
となる。

=== 鞍点法による導出 ===
スターリングの公式は[[鞍点法]]の好適例とされることが多いが、実際に複素平面全体（負の実数を除く）で漸近近似が成立することを鞍点法によって示すのは困難であるから、ここでは <math>z</math> を正の[[実数]]に限定する。[[ガンマ関数]]は <math>t=z(1+u)</math> の置換により
:<math>\begin{align}
\Gamma(z+1)
 &=\int_0^{\infty} t^z e^{-t} dt \\
 &=\int_{-1}^{\infty} z^z (1+u)^z e^{-z-zu} zdu \\
 &=z^{z+1} e^{-z} \int_{-1}^{\infty} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} du \\
&=z^{z+1}e^{-z} \left( \int_{-1}^{-\varepsilon} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}}du+\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} {e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} du}+\int_{\varepsilon}^{\infty} e^{-z \left\{ u-\log (1+u)\right\}} du \right) \qquad (\varepsilon \ll1)\\
\end{align}</math>
となるが、<math>z</math> が十分に大きければ <math>u=0</math> の付近が支配的であるから
:<math>\Gamma (z+1)\approx z^{z+1} e^{-z} \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} du\approx z^{z+1} e^{-z} \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} du\approx z^{z+1} e^{-z} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} du</math>
という近似が許され、[[ガウス積分]]により
:<math>\Gamma (z+1)\sim z^{z+1} e^{-z} \sqrt\frac{2\pi}{z} =\sqrt{2\pi z} \left( \frac{z}{e}\right)^z</math>
を得る。<math>\varepsilon =z^{-\tfrac{1}{3}}</math> として、近似の誤差は
:<math>\begin{align}
\left| \int_{-1}^{-\varepsilon} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} du\right|
 &\le \frac{1}{\varepsilon} \int_{-1}^{-\varepsilon} \left| \frac{-u}{(1+u)} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} \right| du=\frac{1}{\varepsilon z} \left[ e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} \right]_{-1}^{-\varepsilon} \\
 &=\frac{1}{\varepsilon z} \left\{ e^{-z\left( \tfrac{\varepsilon^2}{2} +O(\varepsilon^3 )\right)} \right\} -0\approx z^{\tfrac{2}{3}} e^{-\tfrac{z^{1/3}}{2}}
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\left| \int_{\varepsilon}^{\infty} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} du\right|
 &\le \frac{2}{\varepsilon} \int_{\varepsilon}^{\infty} \left| \frac{2u}{(1+u)\varepsilon} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} \right| du=\frac{2}{\varepsilon z} \left[ -e^{-z \left\{ u-\log (1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon}^{\infty} \\
 &=0-\frac{2}{\varepsilon z} \left\{ e^{-z \left( \tfrac{\varepsilon^2}{2} +O(\varepsilon^3 )\right)} \right\} \approx 2z^{\tfrac{2}{3}} e^{-\tfrac{z^{1/3}}{2}}
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} du
 &=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-z\left( \tfrac{u^2}{2} -\tfrac{u^3}{3} +O(u^4 )\right)} du=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} e^{z\left( \tfrac{u^3}{3} +O(u^4 )\right)} du \\
 &=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} \left( 1+\frac{zu^3}{3} +zO(u^4 )\right) du \\
&=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} \left( 1+zO(u^4 )\right) du \\
\end{align}</math>
:<math>\left| \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-z\left\{ u-\log (1+u)\right\}} du-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} du\right| \le \left| zO(\varepsilon^4 )\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} du\right|=\left| O(z^{-\tfrac{1}{3}} )\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{-\tfrac{zu^2}{2}} du\right|</math>
であり
:<math>z^{\tfrac{2}{3}} e^{-\tfrac{z^{1/3}}{2}} \ll z^{-\tfrac{1}{2}} \qquad (z\to \infty )</math>
であるから
:<math>\Gamma (z+1)=\sqrt{2 \pi z} \left( \frac{z}{e} \right)^z \left( 1+O(z^{-\tfrac{1}{3}} )\right)</math>
を得る。これは
:<math>\lim_{z\to \infty} \frac{\Gamma (z+1)}{\sqrt{2\pi z} \left( \frac{z}{e} \right)^z }=1\qquad (|\arg z|<\pi )</math>
を示すに十分である。ただし、実際の誤差は <math>O(z^{-1})</math> であるが、それを鞍点法で示すのは困難である。

== 収束の速度と誤差見積もり ==
より正確に記すと、次のようになる{{要検証|date=2015年12月}}。<!-- Abramowitz & Stegun 1964, 6.1.38 が似ているけれども --> 
:<math>n!=\sqrt{2\pi n} \; \left( \frac{n}{e} \right)^n e^{\lambda_n}</math>
ここで
:<math>\frac{1}{12n+1} <\lambda_n <\frac{1}{12n}</math>
スターリングの公式は以下の級数（'''スターリング級数'''）の近似（初項で打ち切ったもの）である。
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1+\frac{1}{12n} +\frac{1}{288n^2} -\frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4} +\cdots \right)</math>
<math>n\to \infty</math> としたとき、省かれた級数はその最初の項とそれ以降が相殺するように漸近していく。これは[[漸近展開]]の一例である。

以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。
:<math>\ln n!\sim n\ln n-n+\frac{1}{2} \ln 2\pi n+\frac{1}{12n} -\frac{1}{360n^3} +\frac{1}{1260n^5} -\frac{1}{1680n^7} +\cdots</math>
この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。

== ガンマ関数に対するスターリングの公式 ==
すべての正の整数に対して、
:<math>n!=\Pi (n)=\Gamma(n+1)</math>
が成り立つ。ここで Γ は[[ガンマ関数]]を表す。

しかしながら、{{仮リンク|パイ関数|en|Gamma function#Pi function}} <math>\Pi (z)=\Gamma (z+1)</math> は、階乗とは異なり、より広く、正でない整数を除いてすべての複素数に対して定義される。それにもかかわらず、スターリングの公式をなお適用することができる。Re&nbsp;''z'' > 0 であれば
:<math>\log \Gamma (z)=\left( z-\tfrac{1}{2} \right) \log z-z+\tfrac{1}{2} \log 2 \pi +2\int_0^\infty \frac{\arctan (t/z)}{e^{2\pi t}-1}\,dt</math>
が成り立つ{{sfn|Andrews et al.|1999|loc={{google books quote|id=kGshpCa3eYwC|page=28|Theorem 1.6.3}}}}。
部分積分を繰り返すことで次が得られる
:<math>\log \Gamma (z)\sim \left( z-\tfrac{1}{2} \right) \log z-z+\tfrac{1}{2} \log 2\pi +\sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}.</math>
ここで ''B{{sub|n}}'' は ''n'' 番目の[[ベルヌーイ数]]である。（無限和は収束しないので、この公式は[[漸近展開]]にすぎないことに注意する。）公式はεを正数として |arg ''z''| < {{π}} &minus; ε であるときに絶対値の十分大きい ''z'' に対して成り立つ。公式の右辺に現れる級数は'''スターリング級数'''と呼ばれる{{sfn|Whittaker|Watson|1996|p={{google books quote|id=ULVdGZmi9VcC|page=253|253}}}}。最初の ''m'' 項が使われるとき誤差項は <math>O(z^{-2m-1})</math> である。対応する近似は
:<math>\Gamma (z)=\sqrt{\frac{2 \pi}{z}}~{\left( \frac{z}{e} \right)}^z \left( 1+O\left( \frac{1}{z} \right) \right)</math>
のように書ける。この漸近展開のより進んだ応用は Re ''z'' が定数の複素変数 ''z'' に対してである。例えば直線 {{sfrac|1|4}} + ''it'' 上で{{仮リンク|リーマン・ジーゲルテータ関数|en|Riemann-Siegel theta function}}の Im ''z'' において適用されたスターリングの公式を見よ。

== ビネーの公式 ==
スターリングの公式は収束しない級数を伴うので解析的に扱いづらいが、収束しない級数を収束する積分に換えたものとしてビネーの(第二)公式がある{{sfn|Whittaker|Watson|1996|loc={{google books quote|id=ULVdGZmi9VcC|page=251|12.32 Binet's second expression for <math>\log \Gamma(z)</math> in terms of an infinite integral}}}}。
:<math>\Gamma (z+1)=\sqrt{2\pi z} \left( \frac{z}{e} \right)^z e^{\mu (z)} ,\quad
\mu (z)=2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1} dt,\quad (\real {z}>0)</math>
ビネーの公式は、スターリングの級数を形式的に(収束条件を無視して)操作することによっても導かれるが、厳密には対数ガンマ関数の導関数に[[アベル・プラナの和公式]]を適用して得られる。
{{Indent|<math>\log \Gamma (z)=\lim_{N\to \infty} z\log N+\sum_{n=1}^N \log n-\sum_{n=0}^N \log (n+z)</math>}}
:<math>\frac{d}{dz} \log \Gamma (z)=\lim_{N\to \infty} \log N-\sum_{n=0}^N \frac{1}{n+z}</math>
:<math>\frac{d^2}{dz^2} \log \Gamma (z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+z)^2}</math>
<math>\real z>0</math> なら <math>f=(n+z)^{-2}</math> は右半平面において正則であるからプラナの和公式により
:<math>\begin{align}
\frac{d^2}{dz^2} \log \Gamma (z)
 &=\int_0^\infty \frac{1}{(n+z)^2} dt+\frac{1}{2z^2} +i\int_0^\infty \frac{(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t} -1} dt \\
 &=\frac{1}{z} +\frac{1}{2z^2} +i\int_0^\infty \frac{(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1} dt \\
\end{align}</math>
積分して
:<math>\frac{d}{dz} \log \Gamma (z)=C_1 +\log z-\frac{1}{2z} +i\int_0^\infty \frac{-(z+it)^{-1}+(z-it)^{-1}}{e^{2\pi t}-1} dt</math>
:<math>\begin{align}
\log \Gamma (z)
 &=C_2 +C_1 z+z\log z-\frac{\log z}{2} +i\int_0^\infty \frac{-\log (z+it)+\log (z-it)}{e^{2\pi t} -1} dt\\
 &=C_2 +C_1 z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt\\
\end{align}</math>
<math>\real z>0</math> なら<math>|\tan (t/z)|<M</math> は有界であるから
:<math>\begin{align}
\left| \int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt\right|
 &\le \left| \int_0^{|z|^{1/2}}\frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right|
 +\left| \int_{|z|^{1/2}}^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right| \\
 &\le \int_0^{|z|^{1/2}} \frac{\sum_{k=1}^\infty |t/z|^k dt}{2\pi t} +M\int_{|z|^{1/2}}^\infty \frac{e^{2\pi} dt}{(e^{2\pi} -1)e^t e^{2\pi}} \qquad (|z|>1) \\
 &\le \int_0^{|z|^{1/2}} \frac{dt}{2\pi(|z|-t)} +\frac{Me^{2\pi}}{e^{2\pi}-1} \int_{t=|z|^{1/2}}^\infty e^{-2\pi t} dt
\end{align}</math>
:<math>\lim_{z\to \infty} \left| \int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1} dt\right| \le \lim_{z\to \infty} \frac{1}{2\pi} \Big[ \log \left( |z|-t\right) \Big]_0^{|z|^{1/2}} +\lim_{z\to \infty} \frac{Me^{2\pi}}{2\pi\left( e^{2\pi} -1\right)} \Big[-e^{-2\pi t} \Big]_{|z|^{1/2}}^\infty =0</math>
である。
スターリングの公式と比較して積分定数を求め
:<math>\log \Gamma (z)=\frac{1}{2} \log 2\pi -z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt</math>
真数に直して
:<math>\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\sqrt{2\pi z} \left( \frac{z}{e} \right)^z e^{\mu(z)} ,\quad
\mu (z)=2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt,\quad (\real z>0)</math>
を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。

== 収束級数形式のスターリングの公式 ==
[[トーマス・ベイズ]]の John Canton への書簡が[[1763年]]に[[王立協会]]により公表されている。それによると、スターリングの公式は[[収束級数]]ではないとされていた<ref>[http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/letter.pdf A letter from the late reverend Mr. Thomas Bayes, F. R. S. to John Canton, M. A. and F. R. S.]</ref>。

スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。
:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1} \, dt=\ln \Gamma (z)-\left( z-\frac{1}{2} \right) \ln z+z-\frac{1}{2} \ln 2\pi</math>
一つの方法として、[[階乗冪]]の逆数の収束級数を使う方法がある。<math>z^{\overline n} =z(z+1)\cdots (z+n-1)</math> としたとき、次のようになる。
:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1} \, dt=\sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\overline n}}</math>
ここで
:<math>c_n =\frac{1}{n} \int_0^1 x^{\overline n} \left( x-\frac{1}{2} \right) \, dx</math>
である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。
:<math>\begin{align}
\ln \Gamma (z) &=\left( z-\frac{1}{2} \right) \ln z-z+\frac{1}{2} \ln 2\pi \\
 &\quad +\frac{1}{12(z+1)} +\frac{1}{12(z+1)(z+2)} +\frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} +\frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} +\cdots
\end{align}</math>
これは、<math>\Re z>0</math> のとき収束する。

== 計算機向けの変形 ==
ガンマ関数の（関数電卓などの）計算機向けの近似として次の式がある。
:<math>\Gamma (z)\sim \sqrt{\frac{2 \pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \sqrt{z\sinh \frac{1}{z} +\frac{1}{810z^6}} \right)^z</math>
これは、次と同等である。
:<math>2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{ 2\ln z+\ln \left( z\sinh \frac{1}{z} +\frac{1}{810z^6} \right) -2\right\}</math>
これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と[[双曲線関数|双曲線正弦]]関数の[[テイラー展開]]の間の合致を観察することで得られる。この近似は ''z'' の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機（電卓など）でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した<ref>Toth, V. T. ''Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function''. http://www.rskey.org/gamma.htm, modified 2006</ref>。

Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。
:<math>\Gamma (z)\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left\{ \frac{1}{e} \left( z+\frac{1}{12z-\frac{1}{10z}} \right) \right\}^z</math>
これは、次と同等である。
:<math>\ln \Gamma (z) \sim \frac{1}{2} \left( \ln 2\pi -\ln z\right) +z\left\{ \ln \left( z+\frac{1}{12z-\frac{1}{10z}} \right) -1\right\}</math>

== 歴史 ==
この公式は最初に次の形で[[アブラーム・ド・モアブル]]により1730年に発見された<ref name="history">{{harvnb|Andrews et al.|1999|p={{google books quote|id=kGshpCa3eYwC|page=18|18}}}}</ref>。
:<math>n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+\tfrac{1}{2}} e^{-n}</math>
スターリングの貢献は定数が <math>\sqrt{2\pi}</math> であることを示したことである<ref name="history" />。より正確な形式はジャック・ビネが見出した。

スターリングの近似の「一次」バージョン <math>n!=n^n</math> は、[[マックス・プランク]]が1901年の[[黒体]]放射の論文で使用した。これは多量の[[光子]]や振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。この近似は[[量子論]]でよく使われ、例えば[[ピーター・デバイ]]と[[ルイ・ド・ブロイ]]も使っている。[[アルベルト・アインシュタイン]]と[[サティエンドラ・ボース]]は違う方式を採用した。非常に大きな ''n'' について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。
<!-- 自信がないので訳さない（訳者）
However, the system [[エントロピー|entropy]] calculated by using the "first order" approximation is different and the ratio gets strongly nonlinear for small ''n''. One can only speculate that a similar total effect on [[エントロピー|entropy]] could be obtained by introducing the [[不確定性原理|uncertainty principle]] and the photon [[スピン角運動量| spin]] as well as other quantities which were unknown at the time when the old quantum theory was created. Unfortunately, the experimental verification of the link between the "first order" Stirling's approximation and [[量子もつれ|modern physical theories]] is still missing.
-->

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1      = Abramowitz
|first1     = Milton
|last2      = Stegun
|first2     = Irene A.
|year       = 1964
|title      = Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables
|series     = National Bureau of Standards Applied Mathematics Series
|volume     = 55
|url        = http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm
|mr         = 0167642
|zbl        =  0171.38503 
|ref        = harv
}}
* {{cite book
|last1      = Andrews 
|first1     = George E. 
|last2      = Askey
|first2     = Richard
|last3      = Roy
|first3      = Ranjan
|year       = 1999
|title      = Special functions
|series     = Encyclopedia of Mathematics and its Applications
|volume     = 71
|url        = {{google books|kGshpCa3eYwC|plainurl=yes|page=18}}
|publisher  = Cambridge University Press
|isbn       = 0-521-62321-9
|mr         = 1688958
|zbl        = 0920.33001 
|ref        = {{sfnref|Andrews et al.|1999}}
|quote    = 1.4 Stirling's Asymptotic Formula
}}
*Paris, R. B., and Kaminsky, D., ''Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals'', Cambridge University Press, 2001
* {{cite book
|last1      = Whittaker
|first1     = E. T. 
|last2      = Watson
|first2     = G. N. 
|year       = 1996
|title      = A course of modern analysis
|edition   = Reprint of the fourth
|url        = {{google books|ULVdGZmi9VcC|plainurl=yes}}
|isbn       = 0-521-58807-3
|mr         = 1424469
|zbl        = 0951.30002 
|ref        = harv
}}

== 外部リンク ==
*Elic W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html Stirling's Approximation] at [[MathWorld]]
*[http://planetmath.org/encyclopedia/StirlingsApproximation.html Stirling's approximation] at [[PlanetMath]]
*[http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/sti A collected derivation of Stirling's equation] by Timothy Jones

{{DEFAULTSORT:すたありんくのきんし}}
[[Category:解析学]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]