ガンマ関数のソースを表示

[[ファイル:Gamma.png|thumb|{{math|1=''y'' = Γ(''x'')}} のグラフ]]
[[ファイル:Gamma abs.png|thumb|{{math|1=Γ(''x'' + ''iy'')}} の絶対値<br />（グラフ中「Re」は {{mvar|x}} に相当、「Im」は {{mvar|y}} に相当）]]
数学において'''ガンマ関数'''（ガンマかんすう、{{lang-en-short|Gamma function}}）とは、[[階乗]]の概念を複素数全体に拡張した[[特殊関数]]である。互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者[[レオンハルト・オイラー]]が[[無限乗積]]の形で、最初に導入した<ref name="Whittaker&Watson1927_sect12_1">[[#Whittaker&Watson1996|E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927), Chapter XII, &sect;12.1]]</ref>。

==定義==
実部が正となる複素数 {{mvar|z}} について、次の積分で定義される関数
{{Indent|<math>\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\real{z}>0)</math>}}
をガンマ関数と呼ぶ<ref>[http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Wolfram mathworld: Gamma Function]</ref>。この積分は、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]の定義にしたがって、第二種[[オイラー積分]]とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、{{math|&Gamma;}} という記号は、1814年にルジャンドルが導入したものである<ref name="Whittaker&Watson1927_sect12_1"></ref>。それ以前は {{math|&Pi;(''x'')}} などと表記していた（ただし {{math|1=&Pi;(''x'') = &Gamma;(''x'' + 1)}}）。

一般の複素数 {{mvar|z}} については、[[解析接続]]もしくは次の[[無限乗積]]で定義される。
{{Indent|<math>
\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}.
</math>}}

== 基本的性質 ==
{{math|0}} と負の整数を除く任意の複素数 {{mvar|z}} に対して
: <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \,</math>
が成り立つ。実際、{{math|Re(''z'') > 0}} に対してはオイラー積分による定義から
:<math>\begin{align}
\Gamma(z+1)&=\int_{t=0}^{\infty}{t^z(-e^{-t})'}\,dt \\
           &=\left[-t^z e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}
             +z\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-1}e^{-t}}\,dt \\
           &=z\Gamma(z)
\end{align}</math>
となる。また、
:<math>\begin{align}
\Gamma(1)&=\int_{t=0}^{\infty}{e^{-t}}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty} \\
         &=1
\end{align}</math>
である。従って、[[自然数]] {{mvar|n}} について
:<math>\begin{align}
	\Gamma (n+1)=n!
\end{align}</math>
が成り立ち、その意味でガンマ関数は[[階乗]]の定義域を[[複素平面]]に拡張したものとなっている。そもそもガンマ関数は「階乗の複素数への拡張となるもの」の実例としてオイラーが考案したのである。実際には、そのような関数は無数に存在するが、正の実軸上で[[凸関数|対数凸]]である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない（→'''[[ボーア・モレルップの定理]]'''）。右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に[[有理型関数|有理型]]に[[解析接続]]する。ガンマ関数は[[零点]]を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その[[留数]]は、
{{Indent|<math>\operatorname{Res}(\Gamma , -n) = \frac{(-1)^n}{n!} </math>}}
である。また、非整数でのガンマ関数の値のうちでおそらく最も有名なのは、[[ガウス積分]]になる以下の場合である{{要出典|date=2019年5月}}。
{{Indent|<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}</math>}}
これより、自然数 {{mvar|n}} について
:<math>
\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^{n}}\sqrt{\pi}
</math>
が成立することがわかる。ここで {{math|!!}} は[[二重階乗]]を表す。この性質を利用して高[[次元]][[球]]の体積と表面積を求めることができる。また、
:<math>
\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = \frac{ (-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi}
</math>

== 定義の整合性 ==
定義の積分表示と乗積表示が一致することを示す。
{{Indent|<math>G_n(z)=\int_{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}dt</math>}}
とすれば
:<math>\lim_{n\to\infty}{(1-t/n)^n}=e^{-t}</math>
であるから
:<math>\lim_{n\to\infty}{G_n(z)}=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt</math>
である。{{math|1=''t'' = ''nu''}} の置換により
{{Indent|<math>G_n(z)=n^{z}\int_{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}du</math>}}
となる．{{mvar|n{{sup|z}}}} を除く部分を {{math|''g{{sub|n}}''(''z'')}} として
{{Indent|<math>g_0(z)=\int_{0}^{1}{u^{z-1}}du=\left[\frac{u^z}{z}\right]_{u=0}^{1}=\frac{1}{z}</math><br />
<math>g_n(z)=\int_{0}^{1}{\left(\frac{u^{z}}{z}\right)'(1-u)^{n}}du=\frac{n}{z}\int_{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}du=\frac{n}{z}g_{n-1}(z+1)</math>}}
これにより
{{Indent|<math>G_n(z)=\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}</math>}}
を得る。故に
{{Indent|<math>\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt=\lim_{n\to\infty}G_n(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}</math>}}
である。

== ワイエルシュトラスの乗積表示 ==
オイラーの乗積表示から[[オイラーの定数]]
:<math>\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)</math>
を括り出すと'''ワイエルシュトラスの乗積表示'''が得られる。[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]はガンマ関数が負の整数に[[特異点 (数学)|極]]を持つことを嫌って逆数を用いた{{要出典|date=2019年5月}}。ガンマ関数の逆数は複素平面全体で[[正則]]である。
{{Indent|<math>\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^zn!}=\lim_{n\to\infty}zn^{-z}\left(\prod_{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod_{m=1}^{n}{\frac{z+m}{m}}e^{-z/m}\right)=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m}</math>}}

== ハンケルの積分表示 ==
ガンマ関数は次の周回積分で表される<ref>[http://eom.springer.de/G/g043310.htm Springer Online Reference Works: Gamma-function]</ref>。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角は<math>-\pi\le\arg(-t)\le\pi,0\le\arg(s)\le2\pi</math>とする。
{{Indent|<math>\begin{align}
&\Gamma(z)=\frac{i}{2\sin{\pi}z}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})\\
&\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2{\pi}iz}-1}\int_Cs^{z-1}e^{-s}ds\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})\\
&\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{i}{2\pi}\int_C(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C})\\
\end{align}</math>}}
これを'''ハンケルの積分表示'''と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある<ref>[http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/gamma.pdf Schmelzer & Trefethen (2007), Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations]</ref>。

=== ハンケルの積分表示の導出 ===
極座標表示<math>(-t)=re^{i\theta}</math>を用いると、実軸の上側に沿う部分は<math>\theta=-\pi</math>で<math>r=\infty</math>から<math>r=\delta</math>まで、原点を回る部分は<math>r=\delta</math>で<math>\theta=-\pi</math>から<math>\theta=\pi</math>まで、実軸の下側に沿う部分は<math>\theta=\pi</math>で<math>r=\delta</math>から<math>r=\infty</math>までとなる。
{{Indent|<math>\begin{align}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt
&=\int_{\infty}^{\delta}(re^{-{\pi}i})^{z-1}e^{-r}dr+\int_{-\pi}^{\pi}({\delta}e^{i\theta})^{z-1}e^{{\delta}e^{i\theta}}(-i{\delta}e^{i\theta})d\theta+\int_{\delta}^{\infty}(re^{{\pi}i})^{z-1}e^{-r}dr\\
&=\int_{\infty}^{\delta}r^{z-1}e^{-{\pi}i(z-1)}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta+\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{{\pi}i(z-1)}e^{-r}dr\\
&=\left(-e^{-{\pi}i(z-1)}+e^{{\pi}i(z-1)}\right)\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta\\
&=-2i\sin{\pi}z\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta\\
\end{align}</math>}}
<math>\real{z}>0</math>とすると<math>\delta\to0</math>で<math>\delta^z\to0</math>であるから
{{Indent|<math>\begin{align}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt
&=-2i\sin{\pi}z\int_{0}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr\\
&=-2i\sin{\pi}z\Gamma(z)\qquad(\real{z}>0)\\
\end{align}</math>}}
である。しかし、左辺の被積分関数は<math>z</math>が有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、
{{Indent|<math>\Gamma(z)=\frac{i}{2\sin{\pi}z}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})</math>}}
である。<math>s=re^{i\theta}</math>とすれば、同様にして
{{Indent|<math>\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2{\pi}iz}-1}\int_Cs^{z-1}e^{-t}ds\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})</math>}}
を得る。また、[[#相反公式|相反公式]]により、
{{Indent|<math>\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{\sin{\pi}z}{\pi}\Gamma(1-z)=\frac{i}{2\pi}\int_C(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C})</math>}}
を得る。

== スターリングの公式 ==
{{main|スターリングの公式}}
<math>z \to \infty</math>での漸近展開として、ガンマ関数は[[スターリングの近似|スターリングの公式]]で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、<math>|{\arg z}|={\pi}</math>に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は[[#相反公式|相反公式]]などを用いて<math>|{\arg z}|\le{\pi}/2</math>程度に制限することもある。
{{Indent|<math>\Gamma(z+1)\approx\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z\qquad(|{\arg z}|<{\pi},|z|\gg0)</math><br />
<math>\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z+1)}{\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z}=1\qquad(|{\arg z}|<{\pi})</math>}}

== 相反公式 ==
次の恒等式を'''相反公式'''(reflection formula)という<ref name="小松2004_第2章">[[#小松2004|小松 (2004)、第2章]]</ref>。
{{Indent|<math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}</math>}}
'''相補公式'''とも呼ばれる{{sfn|神保|2003|loc=定理 5.15}}。
この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。
{{Indent|<math>\begin{align}
-z\Gamma(z)\Gamma(-z)
&=-z\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{-z}n!}{\prod_{k=0}^{n}{(-z+k)}}\right)\\
&=\frac{1}{z}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-z^2}\\
&=\frac{\pi}{{\pi}z\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{k^2-z^2}{k^2}}\\
\end{align}</math>}}
この分母は[[三角関数の無限乗積展開|正弦関数の無限乗積展開]]であるから、
{{Indent|<math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}</math>}}
である。相反公式に<math>z=\frac{1}{2}</math>を代入すれば
{{Indent|<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{\sin{\frac{\pi}{2}}}=\pi</math>}}
となり
{{Indent|<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>}}
を得る。

== 乗法公式 ==
次の恒等式を'''ガウスの乗法公式'''(multiplication formula)という。
{{Indent|<math>\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}</math>}}
この証明を示す。両辺の比を<math>f(z)</math>とすると
{{Indent|<math>\begin{align}f(z)=
&\frac{n^{nz-1/2}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\Gamma(nz)}\\
\end{align}</math><br />
<math>\begin{align}f(z+1)
&=\frac{n^{nz-1/2}n^n\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(z+\frac{k}{n}\right)\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\
&=\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(nz+k\right)\right]\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\
&=f(z)\\
\end{align}</math>}}
故に、任意に大きな自然数<math>m</math>について<math>f(z+m)=f(z)</math>が成立する。スターリングの公式により
{{Indent|<math>\begin{align}\lim_{\real{z}\to+\infty}f(z)
&=\lim_{\real{z}\to+\infty}\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}{\sqrt{\frac{2{\pi}}{z+k/n}}\left(\frac{z+k/n}{e}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\sqrt{\frac{2{\pi}}{nz}}\left(\frac{nz}{e}\right)^{nz}}\\
&=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\
&=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\
&=1
\end{align}</math>}}
途中で
{{Indent|<math>\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}</math>}}
を適用した。
{{Indent|<math>f(z)=\lim_{n\to\infty}f(z+n)=1</math>}}
であり、故に
{{Indent|<math>\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}</math>}}
が成立する。

== 微分方程式 ==
<math>(x,\ y,\ y_1,\ \ldots ,\ y_n)</math>を変数とする多項式<math>F(x,\ y,\ y_1,\ \ldots ,\ y_n)</math>に対し、
{{Indent|<math>F(x, y, y_1, \cdots, y_n)=0 , \quad y_i=\frac{d^i y}{dx^i}  \quad (i=1, \cdots,n)</math>}}
の形で表される微分方程式を代数的微分方程式という。ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られている<ref name="小松2004_第2章"></ref>。[[オットー・ヘルダー|ヘルダー]]が1887年に最初に証明を与えた後
<ref name ="helder">Otto Ludwig Hölder, "Über die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen,"  ''Math. Ann.'', '''28''', (1887) pp. 1–13. {{doi|10.1007/BF02430507}}</ref>、{{仮リンク|E. H. ムーア|en|E. H. Moore}}<ref name ="moore"> Eliakim Hastings Moore, "Concerning transcendentally transcendental functions,"  ''Math. Ann.'', 48 (1897), pp. 49–74. {{doi|10.1007/BF01446334}}
</ref>、{{仮リンク|A. オストロフスキ|en|Alexander Ostrowski}}<ref name ="ostrowski1"> A. Ostrowski, "Neuer Beweis der Hölderschen Satzes, dass die Gammafunktion keiner algebraischen Differntialgleichung genügt."  ''Math. Ann.'' '''79''' (1919), pp. 286–288. {{doi|10.1007/BF01458212}}
</ref> <ref name ="ostrowski2">A. Ostrowski,  "Zum Hölderschen Satz über Γ(x). ''Math. Ann.'' '''94''' (1925), pp. 248–251. {{doi|10.1007/BF01208657}}</ref>、{{仮リンク|E. バーンズ|en|Ernest Barnes}}<ref name ="barnes"> E. W. Barnes, "The theory of the Gamma function," ''Messenger of Math.'' '''29''' (1900), pp. 64–128.</ref>、[[フェリックス・ハウスドルフ|ハウスドルフ]]<ref name ="hausdorff"> F. Hausdorff,  "Zum Hölderschen Satz über  Γ(x),"  ''Math. Ann.'' '''94''' (1925), pp. 244–247. {{doi|10.1007/BF01208656}}</ref>により、別証明や一般化がなされた。

== いくつかの具体的な値 ==
{{Indent|
<math>\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)\,= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \approx 2.363\,</math><br />
<math>\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\,= -2\sqrt{\pi} \approx -3.545\,</math><br />
<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\,= \sqrt{\pi} \approx 1.772\,</math><br />
<math>\Gamma(1)\,=0!=1 \,</math><br />
<math>\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\,= \frac {\sqrt{\pi}} {2} \approx 0.886\,</math><br />
<math>\Gamma(2)\,=1!=1 \,</math><br />
<math>\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\,= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \approx 1.329\,</math><br />
<math>\Gamma(3)\,=2!=2 \,</math><br />
<math>\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\,= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \approx 3.323\,</math><br />
<math>\Gamma(4)\,=3!=6 \,</math>
}}

== ポリガンマ関数 ==
{{main|ポリガンマ関数}}
ガンマ関数の対数微分

:<math>\psi(z)=\frac{d}{dz}\log \Gamma(z)</math>

を[[ディガンマ関数]]（Digamma function）と呼ぶ。同様の対数微分を繰り返した関数

:<math>\psi^{(n)}(z)=\frac{d^n}{dz^n}\log \Gamma(z)</math>

を、[[ポリガンマ関数]]（Polygamma function）と呼ぶ。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author=[[エミール・アルティン]]|others=[[上野健爾]] 訳・解説|year=2002-10-25|title=ガンマ関数入門|series=はじめよう数学6|publisher=日本評論社|isbn=4-535-60846-6|url=http://www.nippyo.co.jp/book/1985.html|ref=アルティン2002}}
*{{Cite book|和書|author=小松勇作|authorlink=小松勇作|date=2004-03-15|title=特殊函数|edition=復刊|series=近代数学講座5|publisher=朝倉書店|isbn=978-4-254-11655-7|url=http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11655-7/|ref=小松2004}}
*{{cite book
|和書
|last1      = 神保
|first1     = 道夫
|year       = 2003
|title      = 複素関数入門
|series     = 現代数学への入門
|url        = https://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/1/0068740.html
|publisher  = 岩波書店
|isbn       = 4-00-006874-1
|ref        = harv
}}
*{{Cite book|和書|author=寺沢寛一|authorlink=寺沢寛一|date=1983-05-18|title=自然科学者のための数学概論|edition=増訂版|publisher=岩波書店|isbn=978-4-00-005480-5|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/5/0054800.html|ref=寺沢1983}}
*{{Cite book|editor=Milton Abramowitz; Irene A. Stegun|date=1965-06-01|title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|series=Dover Books on Mathematics|publisher=Dover Publications|isbn=0-486-61272-4|ref=Abramowitz&Stegun1965}}
*{{Cite book|author=E. T. Whittaker|authorlink=エドマンド・テイラー・ホイッテーカー|coauthors=G. N. Watson|origyear=1927|date=1996-09-13|title=A Course of Modern Analysis|edition=4th|series=Cambridge Mathematical Library|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-58807-3|ref=Whittaker&Watson1996}}

== 関連項目 ==
*[[Abramowitz and Stegun]]
*[[階乗]]
*[[関数一覧]]
*[[特殊関数]]
*[[不完全ガンマ関数]]
*[[複素解析]]
*[[ベータ関数]]
*[[リーマンゼータ関数]]
*[[分数階微積分学]]
*{{仮リンク|整数と半整数におけるガンマ関数の特定の値|en|Particular_values_of_the_Gamma_function}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ガンマ関数|2=[[竹之内脩]]}}
*{{MathWorld|title=Gamma Function|urlname=GammaFunction}}
*{{PDFlink|[http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf ガンマ関数とベータ関数]}} {{ja icon}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:かんまかんすう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:特殊関数]]