ウィグナー関数のソースを表示

'''ウィグナー関数'''（ウィグナーかんすう、{{Lang-en-short|Wigner function}}）とは、[[ユージン・ウィグナー]]により[[1932年]]に導入された<ref>{{Cite journal|title = On the quantum correction for thermodynamic equilibrium|journal = Phys. Rev.|publisher = |first = E. P.|last = Wigner|author-link = ユージン・ウィグナー|year = 1932|month = June|pages = 749-759|DOI = 10.1103/PhysRev.40.749|volume = 40}}</ref>、[[統計力学|古典統計力学]]を[[量子]]補正するための関数である。その目標は、[[シュレーディンガー方程式]]に表われる[[波動関数]]を[[位相空間 (物理学)|位相空間]]上の確率分布と結びつけることであった。'''ウィグナーの擬確率分布関数'''（{{Lang-en-short|Wigner quasiprobability distribution}}）、'''ウィグナー・ビレ分布''' ({{Lang-en-short|Wigner–Ville distribution}}) とも。
{{See also|ウィグナー分布}}

ウィグナー関数は量子力学的波動関数 {{Math|''ψ''(''x'')}} のすべての空間的[[自己相関]]の[[母関数]]である。 従って、ウィグナー関数と密度行列との間の写像<ref>{{Cite journal|title = On the Principles of elementary quantum mechanics|journal = Physica|publisher = |first = H. J.|last = Groenewold|DOI = 10.1016/S0031-8914(46)80059-4|year = 1946|volume = 12|pages = 405–460}}</ref>により、実位相空間上の関数と[[ヘルマン・ワイル]]が[[1927年]]に導入した<ref>{{Cite journal|title = Quantenmechanik und Gruppentheorie|journal = Z. Phys.|publisher = |year = 1927|volume = 46|first = H.|last = Weyl|pages = 1-46|language = de}}; {{Cite book|title = Gruppentheorie und Quantenmechanik|publisher = Hirzel|first = H.|last = Weyl|language = de|location = Leipzig|year = 1928}}; {{Cite book|title = The Theory of Groups and Quantum Mechanics|publisher = Dover|location = New York|year = 1931|last = Weyl|first = H.|language = en}}</ref>[[エルミート作用素|エルミート演算子]]とを[[群の表現|表現論]]的な文脈で対応づけられる({{仮リンク|ワイル量子化|en|Weyl quantization}})。ウィグナー関数は密度行列を{{仮リンク|ウィグナー・ワイル変換|en|Wigner–Weyl transform}}したものとみなすことができ、よって密度行列の位相空間上での表現とみなせる。[[1948年]]、{{仮リンク|ジャン・ビレ|fr|Jean Ville}}によって独立に[[スペクトログラム]]の一種、[[ウィグナー分布|信号エネルギーの局所時間・周波数表示方法]]として再導入された<ref>{{Cite journal|title = Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique|journal = Câbles et Transmissions|publisher = |first = J.|last = Ville|volume = 2|pages = 61–74|year = 1948|language = fr}}</ref>。

[[1949年]]、{{仮リンク|ホセ・エンリケ・モヤル|en|José Enrique Moyal}}は量子化された運動量の母関数として再導入した<ref>{{Cite journal|title = Quantum mechanics as a statistical theory|journal = Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|publisher = |last = Moyal|first = J. E.|volume = 45|pages = 99–124|DOI = 10.1017/S0305004100000487|year = 1949}}</ref>ウィグナー関数を用いて全ての量子期待値を計算する方法を確立し、位相空間上における量子力学の基礎を築いた（{{仮リンク|位相空間表示|en|Phase space formulation}}を参照）。[[統計力学]]、[[量子化学]][[量子化学|<nowiki/>]]、[[量子光学]]、[[光学|古典光学]]、および[[電気工学|電子工学]]、[[地震学]]、音楽の時間周波数解析、[[生物学]]の[[スペクトログラム]]、合成音声、エンジンの設計などの信号処理を行なう幅広い分野で応用されている。

== 古典力学との関係 ==
[[古典力学]]的には、粒子は決まった位置と運動量を持ち、その運動状態は位相空間上の一点により表現される。[[統計集団|多数の粒子の集合体]][[統計集団|<nowiki/>]]が与えられたとき、位相空間内の特定の領域に粒子をみいだす確率は[[リウビル確率密度]]と呼ばれる[[確率密度分布]]に従う。このような[[決定論]]的な取扱いは、[[量子力学]]的な粒子に対しては[[不確定性原理]]のために不可能である。ウィグナー関数は古典的な確率密度分布と同様に取り扱うことができるが、ウィグナー関数は古典的な確率密度関数の満すべき条件を全て満たしてはいない。そのかわり、古典的な分布が必ずしも満たさない[[有界]]性を満たしている。

たとえば、ウィグナー関数は古典的分布ではありえない負値をとることがよくある。そして、ウィグナー関数が負値をとることは量子干渉が起きていることを示す指標である。ウィグナー関数に[[ディラック定数]] {{Mvar|ħ}} よりも小さな位相空間体積における構造を無視するような処理(たとえば [[ウィグナー関数#その他の表示|伏見表示]]（後述)を得るために位相空間上の[[ガウス関数]]で畳み込むなど）を施すと、半正定値関数となり半古典形式に粗視化できる<ref group="注">この畳み込みは可逆であるため、情報は全く失われておらず、量子エントロピーは増加していない。  </ref>。

負の値をとる領域が存在しても（幅の小さいガウス関数と畳み込んだ場合）、多くの場合その領域は「小さく」なる。つまり、その領域は {{Mvar|ħ}} の数倍より大きくなることはなく、そのため{{仮リンク|古典極限|en|Classical limit}}においては消滅する。 これは、位相空間上で {{Mvar|ħ}} よりも小さな体積をもつ領域に粒子の運動状態を特定することはできないとする[[不確定性原理]]による遮蔽であり、「[[負の確率]]」という概念の矛盾を軽減している。

== 定義と意味 ==
{{Mvar|ψ}} を波動関数とし、{{Mvar|x, p}} をそれぞれ[[位置]]および[[運動量]]、または他の[[正準共役量]]（例えば[[電磁場]]の[[実数|実部]]および[[虚部]]、もしくは[[信号処理|信号]]における[[時間]]と[[周波数]]など)とすると、ウィグナー関数 {{math|''P''(''x'', ''p'')}} は以下のように定義される。

{{Equation box 1
|indent =::
|equation = <math> P(x,p)~\stackrel{\mathrm{def}}{=}~\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2ipy/\hbar}\,\mathrm dy\,</math> 
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F9FFF7}}

ここで、ウィグナー関数は {{Mvar|ψ}} が {{Mvar|x}} 上に[[台 (測度論)|台]]を持たない領域でも台を持つことがある。

ウィグナー関数の定義は {{Mvar|x}} および {{Mvar|p}} について対称である。
:<math> P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \varphi^*(p+q)\varphi(p-q)e^{-2ixq/\hbar}\,\mathrm dq</math>
ここで、{{Mvar|φ}} は {{Mvar|ψ}} の[[フーリエ変換]]である。

三次元系では、以下のようになる。
:<math> P(\vec{r},\vec{p}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \psi^*(\vec{r} + \hbar\vec{s}/2) \psi (\vec{r} - \hbar\vec{s}/2) e^{i\vec{p} \cdot \vec{s}} \, \mathrm d^3 s </math>

混合状態を含む一般の場合には、[[密度行列]]のウィグナー変換を用いて以下のように定義される。
:<math> P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \langle x+y| \hat{\rho} |x-y \rangle e^{-2ipy/\hbar}\,\mathrm dy </math>
ここで、 {{Math|1={{Bra-ket|''x''|''ψ''}} = ''ψ(x)''}} である。このウィグナー変換（または写像）は、位相空間上の関数を[[ヒルベルト空間]]上の作用素へと移す{{仮リンク|ウィグナー・ワイル変換|en|Wigner–Weyl transform|label=ワイル変換}}の逆になっている。

よって、ウィグナー関数は[[位相空間 (物理学)|位相空間]]上の[[量子力学]]における基礎となっている。

1949年、ホセ・エンリケ・モヤルはウィグナー関数が確率密度関数と同様に、位相空間に[[測度]]を与えていることを明らかにした。つまり、古典[[確率論]]と同様に、c-数を返す位相空間上の一価の関数 {{Math|''g''(''x'', ''p'')}} とワイル変換によって関係づけられる作用素 {{Mvar|{{Hat|G}}}} の[[期待値]]をウィグナー関数を使って定義することができる（後述のウィグナー・ワイル変換の性質を参照）。

具体的に書き下せば、作用素 {{Mvar|{{Hat|G}}}} の期待値は作用素をウィグナー変換して得られる関数 {{Math|''g''(''x'', ''p'')}} の「位相空間上の平均値」として以下のように定義される。
: <math>\langle  \hat{G}  \rangle =\int\! \mathrm dx \, \mathrm dp~ P(x,p)~ g(x,p) </math>

== 数学的特徴 ==
[[ファイル:Wigner_functions.jpg|thumb|図1: それぞれ a) 真空、 b) {{Math|1=''n'' = 1}} のフォック状態 (例：単一光子)、 c) {{Math|1=''n'' = 5}} のフォック状態、のウィグナー関数。]]
# {{Math|''P''(''x'', ''p'')}} は実関数である。
# {{Mvar|x}} および {{Mvar|p}} の確率密度関数は次の[[条件付き確率|周辺確率]]により与えられる。 
#* <math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\,P(x,p)=\langle x|\hat{\rho}|x \rangle</math> 系が[[量子状態|純粋状態]]ならば <math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\,P(x,p)= |\psi(x)|^2</math>
#* <math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm dx\,P(x,p)=\langle p|\hat{\rho}|p \rangle</math> 系が純粋状態ならば <math>\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dx\,P(x,p)=|\varphi(p)|^2</math>
#* <math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm dx\int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\,P(x,p)=\mathrm{Tr}(\hat{\rho})</math>
#* 通常[[密度行列]] {{Mvar|{{Hat|ρ}}}} の[[跡 (線型代数学)|トレース]]は1である。
# {{Math|''P''(''x'', ''p'')}} は次の鏡映対称性をもつ。
#* 時間対称性: <math>\psi(x) \rightarrow \psi(x)^* \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(x,-p)</math>
#* 空間対称性: <math>\psi(x) \rightarrow \psi(-x) \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(-x,-p)</math>
# {{Math|''P''(''x'', ''p'')}} はガリレイ共変（[[ガリレイ変換]]に対して不変）である。
#* <math>\psi(x) \rightarrow \psi(x+y) \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(x+y,p)</math>
#* [[ローレンツ共変性|ローレンツ共変]]ではない。
# 位相空間上の各点における運動方程式は力のない古典力学の方程式である。
#: 実際、調和力が働いている場合も古典的である。
# 状態の[[重なり積分]]は以下のように計算される。
#* <math>|\langle \psi|\theta \rangle|^2=2\pi\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dx\,\int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\,P_{\psi}(x,p)P_{\theta}(x,p)</math>
# 作用素の期待値（平均値）はウィグナー変換したのちに位相空間上の平均値をとることにより与えられる。
#* <math>g(x,p)\equiv\int_{-\infty}^\infty dy\, \langle x-y/2| \hat{G} |x+y/2 \rangle e^{ipy/\hbar}</math>
#* <math>\langle \psi|\hat{G}|\psi\rangle=\mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{G})=\int_{-\infty}^\infty \mathrm dx\, \int_{-\infty}^\infty \mathrm dp P(x,p)g(x,p)</math>
# {{Math|''P''(''x'', ''p'')}} が物理的な（正の）密度行列を持つためには、全ての純粋状態 {{Math|{{Ket|''&theta;''}}}} に対して以下を満たす必要がある。
#* <math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm dx\, \int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\, P(x,p)P_\theta(x,p) \ge 0</math>
# [[コーシー＝シュワルツの不等式|コーシー・シュワルツ不等式]]を用い、純粋状態においては以下のように有界である。<span class="cx-segment" data-segmentid="205"></span>
#* <math> -\frac 2 h \leq P(x,p)  \leq \frac 2 h</math>

古典極限 {{Math|''ħ'' → 0}} においては非有界となる。 このことから、 {{Math|''P''(''x'', ''p'')}} は {{Mvar|x}} 座標空間においては確率密度関数に帰着し、通常は非常に局在化した、運動量方向に[[デルタ関数]]のかかった分布になる。つまり、古典極限は「尖って」いる。このことから、この有界性は不確定性原理を反映し、ウィグナー関数が位相空間上で完全に局在化した関数になることを防いできると言える<ref>{{Cite journal|date = |title = Quantum Mechanics in Phase Space|journal = Asia Pacific Physics Newsletter|publisher = |first = T. L.|last = Curtright|last2 = Zachos|first2 = C. K.|DOI = 10.1142/S2251158X12000069|year = 2012|volume = 1|page = 37}}; {{Cite book|title = Quantum Mechanics in Phase Space|publisher = World Scientific|year = 2005|ISBN = 978-981-238-384-6|author-link = |location = Singapore|editor-first = C.|editor-last = Zachos|editor-link = :en:Cosmas Zachos|editor-first3 = T. L.|editor-last3 = Curtright|editorlink3 = :en:Thomas Curtright|editor-first2 = D.|editor-last2 = Fairlie}}</ref>。

== ウィグナー関数の時間発展方程式 ==
{{Main|{{仮リンク|ウィグナー・ワイル変換|en|Wigner–Weyl transform}}|{{仮リンク|位相空間表示|en|Phase space formulation}}}}
[[ファイル:SmallDisplacedGaussianWF.gif|right|thumb|220x220px|図2: 単純な[[調和振動子]]の、位相空間の原点からずれた基底状態（コヒーレント状態）を表すウィグナー関数。（クリックして動画を表示）古典力学の場合と同じように、剛体回転している。これは単純な調和振動子に特異な性質である。一般教育ウェブサイトより。<ref>{{Cite web|url = http://www.physics.miami.edu/~curtright/TimeDependentWignerFunctions.html|title = Time-dependent Wigner Functions|accessdate = 2015-11-28|publisher = |first = T. L.|last = Curtright|year = 2012}}</ref>]]
'''ウィグナー変換'''は、[[ヒルベルト空間]]上の作用素 {{Mvar|{{Hat|G}}}} を[[位相空間 (物理学)|位相空間]]上の関数 {{Math|''g(x,p)''}} へと写す可逆な変換であり、以下のように定義される。
:<math>g(x,p)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm ds ~e^{ips/\hbar} \langle x-\frac s2|\ \hat G\ |x+\frac s2 \rangle</math>

[[エルミート作用素|エルミート演算子]]は実関数に写される。 位相空間からヒルベルト空間への逆変換はワイル変換と呼ばれる。
:<math>  \langle x |\ \hat G\ | y \rangle= \int_{-\infty}^\infty {\mathrm dp \over h} ~ 
e^{ip(x-y)/\hbar}  g\left({x+y\over 2},p\right)</math>
（別の定義のワイル変換も存在することに注意。）

[[ファイル:TwoStateWF.gif|thumb|230x230px|図3: 量子フリップフロップ: 単純調和振動子の基底状態と第一励起状態の重ね合わせ状態を表すウィグナー関数。位相空間での剛体回転は座標空間での振動を表わす。 （クリックして動画を表示）]]
この項で取り扱ってきた'''ウィグナー関数''' {{Math|''P''(''x,p'')}} は、[[密度行列]] {{Mvar|{{Hat|ρ}}}} をウィグナー変換したものと捉えることができる。よって、ある[[作用素]]と密度行列をかけたもののトレースは、その作用素をウィグナー変換したもの {{Math|''g''(''x'', ''p'')}} と、ウィグナー関数との位相空間上の重なり積分と等しい。

[[シュレーディンガー描像]]における密度行列の[[時間発展]]を記述する、[[密度行列|フォン・ノイマン方程式]]のウィグナー変換は
; ウィグナー関数に対する''モヤル方程式''
::<math>{\partial P(x,p,t) \over \partial t} = - \{\{ P(x,p ,t) ~,~ H(x,p)\}\}</math>
に帰着する。ここで、{{Math|''H(x,p)''}} は[[ハミルトニアン]]、{{Math|<nowiki>{{•, •}}</nowiki>}}は{{仮リンク|モヤル括弧|en|Moyal bracket}}を表わす。古典極限 {{Math|''ħ'' → 0}} では、モヤル括弧はポアソン括弧に帰着し、従ってこの時間発展方程式は古典統計力学における[[リウヴィルの定理 (物理学)|リウビル方程式]]に帰着する。

Quantum characteristicsの記法{{訳語疑問点|date = 2015年10月}}を用いて、上の方程式の形式的な厳密解は以下のように書ける。<math> P(x,p,t) = P(\star (x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p)),0)</math> ここで <math>x_{t}(x,p)</math> と <math>p_{t}(x,p)</math> はいわゆる[[w:en:Method of quantum characteristics|量子ハミルトン方程式]]の解で、[[初期条件]] <math>x_{t=0}(x,p) = x</math> 及び <math>p_{t=0}(x,p)=p</math> に従い、<math>\star</math>積の合成は全ての関数について成り立つものとする。<math>\star</math>合成は完全に非局所（モヤルが指摘したように、「量子確率流体」は拡散する）であるため、通常はウィグナー関数の発展につれて、局所的な[[電子軌道|軌道]]のなごりはほとんど確認できなくなる<ref group="注">Quantum characteristics とファインマンの経路積分や[[ボーム解釈|ド・ブロイ-ボーム理論]]におけるトラジェクトリを混同しないように注意。 この三つ巴の曖昧さから、[[ニールス・ボーア]]の立場をより理解できるだろう。彼は熱心に原子物理学におけるトラジェクトリへの言及に反対していた。例えば、1948年のポコノ会議において彼は[[リチャード・ファインマン]]に対して「…原子内の電子のトラジェクトリについて議論することはできない。なぜなら観測できないからである」 ("The Beat of a Different Drum: The Life and Science of Richard Feynman", by Jagdish Mehra (Oxford, 1994, pp. 245-248))と言っている。このような議論は[[エルンスト・マッハ]]がかつて原子論を批判した際や、1960年代に{{仮リンク|ジェフリー・チュー|en|Geoffrey Chew}}や[[トゥーリオ・レッジェ]]らが局所的量子場理論を[[S行列]]で置き換えようとした際などに広く用いられた論法である。今日では、完全に原子論的概念に基いた統計物理学が標準的に教えられているし、S行列理論は時代遅れになっているのに対してファインマンの経路積分法は[[ゲージ理論]]において最も効率的な手法であるとみなされている。
</ref>。<math>\star</math>積の積分表示においては、<math>\star</math>積を連続的に位相空間経路積分に適用することで、このウィグナー関数の発展方程式を解くことができる<ref>{{Cite journal|title = Weyl Transform in Nonrelativistic Quantum Dynamics|journal = J. Math. Phys|publisher = |last = Leaf|first = B.|year = 1968|pages = 769-781|volume = 9|DOI = 10.1063/1.1664640}}</ref>（以下も参照<ref>{{Cite journal|title = A new type of phase-space path integral|journal = Phys. Lett. A|publisher = |first = M. S.|last = Marinov|year = 1991|url = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0375960191903529|DOI = 10.1016/0375-9601(91)90352-9|volume = 153|pages = 5–11}}</ref><ref name="OlshanetskyVainshtein2002">{{Cite book|title = Multiple Facets of Quantization and Supersymmetry: Michael Marinov Memorial Volume|publisher = World Scientific|first = B.|last = Segev|url = http://books.google.com/books?id=_pwmuPF1DY4C&pg=PA68|chapter = Evolution kernels for phase space distributions|editor = M. A. Olshanetsky; Arkady Vainshtein|pages = 68–90|ISBN = 978-981-238-072-2|accessdate = 2015-11-28}} 特に[http://books.google.com/books?id=_pwmuPF1DY4C&pg=PA86 86-89ページ]の5節 "Path integral for the propagator" を参照。 </ref>）。


{{Gallery
|title=ウィグナー関数の時間発展の例
|align=center
|lines=6
|File:Wigner function propagation for morse potential.ogv|図4: [[モースポテンシャル]]: <math>U (x) = 20 ( 1 - e^{-0.16x} )^2 </math>（[[原子単位]](a. u.)）。緑の点線は[[ハミルトン力学|ハミルトニアン]]の[[等値線]]を示す。
|File:Wigner function for quartic potential.ogv|図5: 4次ポテンシャル: <math> U (x) = 0.1 x^4 </math>（[[原子単位]](a. u.)）。実線は[[ハミルトン力学|ハミルトニアン]]の[[等値線]]を示す。
|File:Wigner function for tunnelling.ogv|図6: ポテンシャル障壁を越える[[トンネル効果|量子トンネリング]]: <math>U(x) = 8e^{-0.25 x^2} </math>（[[原子単位]](a. u.)）。実線は[[ハミルトン力学|ハミルトニアン]]の[[等値線]]を示す。
}}

== 古典極限 ==
ウィグナー関数により古典極限を記述することで、位相空間上の古典[[動力学]]と量子動力学とを対応づけることができる<ref>{{Cite journal|title = Decoherence and the transition from quantum to classical - revisited|journal = Los Alamos Science|publisher = |first = Wojciech H.|last = Zurek|volume = 27|pages = 86-109|year = 2002|arxiv = quant-ph/0306072}}</ref><ref>{{Cite book|title = Quantum Mechanics in Phase Space|publisher = World Scientific|year = 2005|ISBN = 978-981-238-384-6|author-link = |location = Singapore|editor-first = C.|editor-last = Zachos|editor-link = :en:Cosmas Zachos|editor-first3 = T. L.|editor-last3 = Curtright|editorlink3 = :en:Thomas Curtright|editor-first2 = D.|editor-last2 = Fairlie|chapter = an overview with selected papers}}</ref>。

近年、ウィグナー関数法は[[1932年]]に{{仮リンク|ベルナルド・クープマン|en|Bernard Koopman}}と[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]によって導入された、古典力学の演算子表式の量子的アナロジーになっていることが示唆されている。{{Math|''ħ'' → 0}} の極限では、ウィグナー関数の時間発展はクープマン・フォンノイマン波動関数の時間発展に[[漸近線|漸近]]する<ref>Denys I. Bondar, Renan Cabrera, Dmitry V. Zhdanov, Herschel A. Rabitz: Wigner Function's Negativity Demystified {{Arxiv|1202.3628}} (submitted February 2012, version of 3 November 2012)
</ref><ref>Renan Cabrera, Denys I. Bondar, Herschel A. Rabitz: Relativistic Wigner function and consistent classical limit for spin 1/2 particles, {{Arxiv|1107.5139v2}} (submitted on 26 July 2011, version of 22 August 2012)</ref>。

== ウィグナー関数と他の量子力学の表現との関係 ==
ウィグナー関数は、[[ボーム解釈|ドブロイ・ボーム]]アンサンブルを表わす位相空間分布関数の {{Mvar|ħ}}-{{仮リンク|変形理論|en|Deformation theory|label=変形}}とみなせることが示されている<ref>{{Cite journal|author = Nuno Costa Dias|date = |title = Bohmian trajectories and quantum phase space distributions|journal = Physics Letters A|publisher = |author2 = Joao Nuno Prata|volume = 302|year = 2002|pages = 261-272|DOI = 10.1016/S0375-9601(02)01175-1|arxiv = quant-ph/0208156v1}} (submitted 26 August 2002)</ref>。{{仮リンク|バジル・ハイリー|en|Basil Hiley}}は、ウィグナー関数は位相空間上の「セル」における平均座標と平均運動量で[[密度行列]]を表わしたものと見ることができ、ドブロイ・ボーム表式はその「セル」の中心が従うダイナミクスを表わしていることを示した<ref>{{Cite book|title = Quantum Theory: Re-consideration of Foundations–2,|publisher = Växjö University Press|first = B. J.|last = Hiley|chapter = Phase space descriptions of quantum phenomena|editor-last = Khrennikov|editor-first = A.|location = Sweden|year = 2003|pages = 267-286|url = http://www.birkbeck.ac.uk/tpru/BasilHiley/ShadowPhaseVajxo03.pdf|format = pdf}}</ref><ref>B. Hiley: ''Moyal's characteristic function, the density matrix and von Neumann's idempotent'' ([http://www.bbk.ac.uk/tpru/BasilHiley/Moyal&DensityMatrix.pdf preprint]) {{Arxiv|1408.5680}}</ref>。

ウィグナー関数による量子状態の表現は、{{仮リンク|相互不偏基底|en|Mutually unbiased bases}}による[[量子状態]]の再構成と密接な関係がある<ref>F.C. Khanna, P.A. Mello, M. Revzen, Classical and Quantum Mechanical State Reconstruction, {{Arxiv|id = 1112.3164v1}} [quant-ph] (submitted December 14, 2011)</ref>。

== 量子力学以外でのウィグナー関数の利用 ==
[[File:Chirpedpulse.jpg|thumb|図7: チャープトパルス光のウィグナー・ビレ分布の等高線図。この図により周波数が時間の線形な関数になっていることが一目でわかる。]]
* [[望遠鏡]]や[[光ファイバー]]通信機器の設計において、ウィグナー関数は単純な{{仮リンク|レイトレーシング （物理）|en|Ray tracing (physics)|label = レイトレーシング}}と波形解析とのギャップを埋めるために用いられる。ここで[[近軸近似]]の下では、{{Math|''p/ħ''}} は {{math|''k'' {{=}} {{!}}''k''{{!}}sin''θ'' ≈ {{!}}''k''{{!}}''θ''}} と置き換えられる。この文脈では、ウィグナー関数は干渉の影響をとりこんだまま光線の位置 {{Mvar|x}} と角度 {{Mvar|θ}} で系を取り扱う最善の方法である。ウィグナー関数がいずれかの点で負になった場合、単純なレイトレーシングでは系をモデル化するのに不十分であることを示している。

* [[信号処理|信号解析]]においては、時間変化する[[電気信号]]、機械的[[振動]]、[[音波]]などを[[ウィグナー分布]]により解析することがある。ここで、{{Mvar|x}} は時間、 {{Math|''p/ħ''}} は[[角振動数]] {{math|''ω'' {{=}} 2π''f''}}（{{Mvar|f}} は[[振動数]]）に置き換えられる。

* [[超短パルス|超高速光学]]において、短レーザーパルスは上と同じように {{Mvar|f}} および {{Mvar|t}} で置換されたウィグナー関数により特徴づけられる。[[チャープ信号|チャープ]]（周波数の時間依存性）などの[[パルス]]の乱れをウィグナー関数により可視化することができる。図7を参照。

* [[量子光学]]では、 {{Mvar|x}} および  {{Math|''p/ħ''}} を {{Mvar|X}} 及び {{Mvar|P}} 成分、電磁場の実部と虚部に置き換える（[[Coherent state|コヒーレント状態]]も参照）。 図1は光の[[量子状態]]を示している。

== ウィグナー関数の測定 ==
* [[トモグラフィー]]
* {{仮リンク|ホモダイン検出|en|Homodyne detection}}
* {{仮リンク|周波数分解光学ゲート|en|Frequency-resolved optical gating|label = FROG}} (Frequency-resolved optical gating)

== 関連する他の擬確率分布 ==
{{Main|{{仮リンク|擬確率分布|en|Quasiprobability distribution}}}}
ウィグナー関数は初めて定式化された擬確率分布関数であるが、多くの形式的に等価で相互変換可能な擬確率分布関数が提案されている（{{仮リンク|時間周波数分析の分布関数間の変換|en|Transformation between distributions in time–frequency analysis}}を参照）。座標系の場合と同じように、変化する特性を扱う場合それぞれの関数に用途にあわせた様々な利点がある。
* {{仮リンク|1 = グラウバー-スダルシャンのP表示|2 = en|3 = Glauber–Sudarshan P representation|label = グラウバーのP表示}}
* {{仮リンク|伏見のQ表示|en|Husimi Q representation}}
しかし、ウィグナー関数はこれらの関数のなかでも、ある意味で特別な地位を占めている。ウィグナー関数は上に示したように、期待値の計算にスター積を必要としない唯一の関数である。また、擬確率分布を古典的な分布と比較できる形で可視化することもできる。

== 歴史的注意 ==
上に示したとおり、ウィグナー関数の形式化はいくつかの分野で独立に数回行われている。実際、[[ユージン・ウィグナー|ウィグナー]]は同じ量子論の分野でも、純粋に形式的なものにせよ[[ヴェルナー・ハイゼンベルク|ハイゼンベルグ]]と[[ポール・ディラック|ディラック]]により既に導入されていたことに気付いていなかった<ref>{{Cite journal|title = Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen|journal = Physik. Zeitschr|publisher = |author-link = ヴェルナー・ハイゼンベルク|volume = 32|pages = 737–740|year = 1931|last = Heisenberg|first = W.|language = de}}; {{Cite journal|title = Note on exchange phenomena in the Thomas atom|journal = Proc. Camb. Phil. Soc.|publisher = |first = P. A. M.|last = Dirac|author-link = ポール・ディラック|volume = 26|pages = 376–395|year = 1930|DOI = 10.1017/S0305004100016108}}</ref>。この二人はウィグナー関数を完全に量子化された系の近似的形式化と考えており<ref group="注">繰り返しになるが、密度行列からウィグナー関数への変換は可換であり情報は失なわれておらず、近似ではない。</ref>、この関数の重要さ、そして負値の重要さに気付いていなかった（偶然、ディラックは後にウィグナーの妹マルギット(Manci)と結婚したことによりウィグナーの義理の弟となった）。同様に、[[1940年代]]中頃の伝説的な18ヶ月にわたるモヤルとのやりとりにおいて、ディラックは後にモヤルが指摘するまでモヤルの量子運動量生成関数がウィグナー関数と等価であることに気付いていなかった<ref>{{Cite book|author = Ann Moyal|title = Maverick Mathematician: The Life and Science of J.E. Moyal|publisher = ANU E-press|year = 2006|ISBN = 1-920942-59-9|url = http://epress.anu.edu.au/maverick_citation.html}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group=注}}

=== 出典 ===
{{Reflist|30em}}

== 関連文献 ==
* {{Cite journal|title = Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields|journal = Annals of Physics|publisher = |last = Levanda|first = M.|last2 = Fleurov|first2 = V.|volume = 292|pages = 199–231|year = 2001|arxiv = cond-mat/0105137}}

== 関連項目 ==
{{columns-list|colwidth=30em|
* [[ハイゼンベルク群]]
* {{仮リンク|ウィグナー・ワイル変換|en|Wigner–Weyl transform}}
* {{仮リンク|位相空間表示|en|Phase space formulation}}
* {{仮リンク|モヤル括弧|en|Moyal bracket}}
* [[負の確率]]
* {{仮リンク|修正ウィグナー分布|en|Modified Wigner distribution function}}
* {{仮リンク|コーエンクラスの分布関数|en|Cohen's class distribution function}}{{訳語疑問点|date=2016年10月}}
* [[ウィグナー分布]] 
* {{仮リンク|時間周波数分析における分布間変換|en|Transformation between distributions in time–frequency analysis}}
* [[スクイーズド状態|スクイーズドコヒーレント状態]]
* {{仮リンク|双線型時間周波数分布|en|Bilinear time–frequency distribution}}
}}

== 外部リンク ==
* [http://iqis.org/quantech/wigner.php Wigner function tutorial] and [http://qis.ucalgary.ca/quantech/wiggalery.php Gallery of WFs], Institute for Quantum Information Science (IQIS), [[カルガリー大学|University of Calgary]]
* [http://gerdbreitenbach.de/gallery/ Quantum Optics Gallery]

{{デフォルトソート:ういくなあかんすう}}
[[Category:物理学の概念]]
[[Category:数理物理学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:量子光学]]
[[Category:エポニム]]