アインシュタイン方程式のソースを表示

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{{一般相対性理論}}
[[一般相対性理論]]における'''アインシュタイン方程式'''（アインシュタインほうていしき、{{Lang-en-short|Einstein's equations}}）<ref group="注">アインシュタインの'''重力場方程式'''（じゅうりょくばのほうていしき、{{lang-en-short|Einstein's field equations}}；EFE）とも呼ばれる。</ref>は、[[万有引力]]・[[重力場]]を記述する場の方程式である。[[アルベルト・アインシュタイン]]によって導入された。



[[アイザック・ニュートン]]が導いた万有引力の法則を、強い重力場に対して適用できるように拡張した方程式であり、[[中性子]]星やブラックホールなどの高密度・大質量天体や、宇宙全体の幾何学などを扱える。
{{main2|概略や導出・応用などの詳しい説明|一般相対性理論}}

== 概要 ==
一般相対性理論によれば、大質量の物体は周囲の時空を歪ませる。すなわち、重力とは[[時空]]の歪みであるとして説明される。その理論的な帰結・骨子となるのが、次のように表されるアインシュタイン方程式である。
:<math>G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}</math>
左辺は時空がどのように曲がっているのか（時空の[[曲率]]）を表す[[幾何学]]量であり、右辺は[[物質]]場の分布を表す量である。

おおざっぱに言えば、星のような[[物質]]または[[エネルギー]]を右辺に代入すれば、その物質の周りの[[時空]]がどういう風に曲がっているかを読みとることができる式である。空間の歪みが決まれば、その空間中を運動する物質の運動方程式（[[測地線|測地線方程式]]）が決まるので、物質分布も変動することになる。

左辺の {{math|''G{{Sub|&mu;&nu;}}'' {{=}} ''R{{Sub|&mu;&nu;}}'' - {{Sfrac|1|2}}''Rg{{Sub|&mu;&nu;}}''}} は[[アインシュタインテンソル|アインシュタイン・テンソル]]と呼ばれる。{{Math|&Lambda;}} は[[宇宙定数]]であり、この項は宇宙項と呼ばれる。{{Mvar|R{{sub|&mu;&nu;}}}} は[[リッチテンソル]]、{{Mvar|R}} は[[スカラー曲率]]であり、どちらも時空の[[計量テンソル]] {{Mvar|g{{sub|&mu;&nu;}}}} の微分で書かれる[[幾何学]]量である。つまりアインシュタイン方程式は計量についての連立[[偏微分方程式]]の形をしている。

右辺の {{Mvar|T{{sub|&mu;&nu;}}}} は[[エネルギー・運動量テンソル]]である。係数 {{Mvar|&kappa;}} は[[アインシュタインの定数|アインシュタインの重力定数]]と呼ばれ、[[万有引力定数|ニュートンの重力定数]] {{Mvar|G}} と {{math|''&kappa;'' {{=}} {{Sfrac|8&pi;|''c''{{Sup|4}}}} G}} の関係にある（{{Mvar|π}} は[[円周率]]、{{Mvar|c}} は[[光速]]）。

アインシュタイン方程式の両辺は4次元2階対称[[テンソル]]であるから、成分毎に分解すれば10本の独立な方程式が得られる<ref group="注">4次元2階対称テンソルの各成分は4つの対角成分と12の非対角成分にわけられるが、非対角成分は対称性 {{math|''G{{Sub|&mu;&nu;}}'' {{=}} ''G{{Sub|&nu;&mu;}}'' (''&mu;'' &ne; ''&nu;'')}} により、独立な成分は12/2=6つとなるため、対角成分とあわせて10成分が独立である。</ref>。このうち、4本はエネルギー保存則と運動量保存則に対応するものであり、{{Mvar|G{{sub|&mu;&nu;}}}} の空間成分に関係する残りの6本の方程式が時空の運動方程式に相当する。これらは時間微分2階の偏微分方程式6本（あるいは時間微分1階の偏微分方程式12本）であるが、座標の選択の自由度（ゲージの自由度）が4つ、保存則を満たしながら時間発展を行うための拘束条件が4つあると考えれば、たとえ真空中であっても1階の[[微分方程式]]4本（2階に直せば2本）の自由度が残る。この自由度は時空の歪みを周囲に波として伝える「[[重力波 (相対論)|重力波]]」のモードが2つあることを意味している。

== 性質 ==
=== アインシュタインテンソルの発散は0 ===
ビアンキの第二恒等式
:<math>\nabla_l R_{k j i}{}^h + \nabla_j R_{l k i}{}^h + \nabla_k R_{j l i}{}^h = 0</math>
から、l = h = a とおいて縮約を行うと
:<math>\nabla_a R_{k j i}{}^a + \nabla_j R_{a k i}{}^a + \nabla_k R_{j a i}{}^a
= \nabla_a R_{k j i}{}^a + \nabla_j R_{k i} - \nabla_k R_{j i} = 0</math>
この式に基本計量テンソル g<sup>j i</sup> を掛け合わせると、計量条件（またはリッチの補定理）<math>\nabla_h g^{j i} = 0</math> から
:<math>g^{j i}\nabla_a R_{k j i}{}^a + g^{j i}\nabla_j R_{k i} - g^{j i}\nabla_k R_{j i} = \nabla_a \left( g^{j i} R_{k j i}{}^a \right) + \nabla_j \left( g^{j i} R_{k i} \right) - \nabla_k \left( g^{j i} R_{j i} \right) = 0</math>
となる。ここで上式の各項について
:<math> g^{j i} R_{k j i}{}^a = g^{j i} R_{k j i f} g^{f a} = g^{j i} R_{j k f i} g^{f a} = R_{k f} g^{f a} = R_k{}^a</math>
:<math> g^{j i} R_{j i} = R</math>
となることから、上式から
:<math>\nabla_a R_k{}^a + \nabla_j R_k{}^j - \nabla_k R = 2\nabla_a R_k{}^a - \nabla_k R = 0</math>
を得る。したがって、アインシュタインテンソルの添え字を一つ上にあげたものを
:<math>G_{i}{}^{j} = R_{i}{}^{j} - {1 \over 2} R g_{ik}g^{kj}</math>
とすると、その発散 <math>\nabla_a G_{i}{}^a</math> について
:<math>\nabla_a G_{i}{}^a = \nabla_a R_{i}{}^{a} - {1 \over 2}\nabla_a  R  \delta_i^a = \nabla_a R_{i}{}^{a} - {1 \over 2}\nabla_i  R = 0 </math>
が成り立つ。
== 宇宙項 ==
アインシュタインの[[1916年]]のオリジナル論文には含まれておらず、アインシュタイン方程式は {{math|''G{{Sub|&mu;&nu;}}'' {{=}} ''&kappa;T{{Sub|&mu;&nu;}}''}} の形で書かれていた。アインシュタインは、[[1917年]]の論文で方程式に「宇宙項」を加えて {{math|''G{{Sub|&mu;&nu;}}'' + &Lambda;''g{{Sub|&mu;&nu;}}'' {{=}} ''&kappa;T{{Sub|&mu;&nu;}}''}} の形に書き換えた。{{math|&Lambda;}} は[[宇宙定数]]を表す。宇宙項は、正負の符号によっては、重力に対する反重力（万有斥力）として機能する。

アインシュタインがこの項を導入した理由については諸説あるが、一般に有名なのは、彼自身が信じる[[アインシュタインの静止宇宙モデル|静止宇宙モデル]]を実現するためという説である。1917年論文の宇宙モデルは重力と宇宙項による反重力とが釣り合う静止宇宙だった。当時、宇宙膨張は発見されていなかった。しかしこのモデルは不安定であり、僅かな摂動で膨張または収縮に転じる（静止宇宙とならない）性質を持つことが後に[[アレクサンドル・フリードマン]]により示された。
<!--(同じ内容の繰り返しになるのでコメントアウト)
:他に、境界条件の無い閉じた球面空間が解となるように方程式を変形した際、出発点としてたまたま静止解を想定したために、宇宙項が入り込んだとする説がある。つまり、考え方としては膨張・収縮解でも良かったところを、うっかり静止解を選んだがために、後に撤回する羽目に陥った。
-->

[[1929年]]に[[ハッブル]]が宇宙の膨張を観測的に示した後、[[1931年]]にはアインシュタイン自身により「人生最大の過ち」として消去された<ref group="注">「人生最大の過ち」という発言に関する諸説は、[[宇宙定数#否定]]を参照。</ref>。しかしながら、近年の[[宇宙のインフレーション]]理論や[[素粒子物理学]]との関連の中で、宇宙項（に相当する斥力）を再び導入して考えることが通常行われており、むしろ重要な意味を与えている場合がある。[[観測的宇宙論]]において、宇宙膨張を加速させている謎のエネルギーとして、[[ダークエネルギー]]が提案されている。ダークエネルギーは方程式上では宇宙項である。
{{Main|一般相対性理論}}

==アインシュタイン・マクスウェル方程式==
{{see also|en:Maxwell's equations in curved spacetime}}
エネルギー・運動量テンソル {{Mvar|T{{sub|&mu;&nu;}}}} が[[自由空間]]中の[[電磁場]]のみに由来する場合、すなわち[[電磁テンソル]]を用いて以下のように表わせるとき
:<math>T^{\alpha\beta}=-\frac{1}{\mu_0}\left(F^{\alpha}{}^{\psi}F_{\psi}{}^{\beta}+\frac{1}{4}g^{\alpha\beta}F_{\psi\tau}F^{\psi\tau}\right)</math>
これを代入したアインシュタイン方程式は'''アインシュタイン・マクスウェル方程式'''と呼ばれ、（宇宙定数を含む形式では）以下のように書き下せる。
:<math>R^{\alpha\beta}-\frac{1}{2}Rg^{\alpha\beta}+\Lambda g^{\alpha\beta}=\frac{8\pi G}{c^4\mu_0}\left(F^{\alpha}{}^{\psi}F_{\psi}{}^{\beta}+\frac{1}{4}g^{\alpha\beta}F_{\psi\tau}F^{\psi\tau}\right)</math>
また、これに加えて電磁テンソルは自由空間における[[マクスウェルの方程式#マクスウェルの方程式と特殊相対性理論|共変形式のマクスウェル方程式]]を満たすことも要求される。
:<math>F^{\alpha\beta}{}_{;\beta}=0</math>
:<math>F_{[\alpha\beta;\gamma]}=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma}+F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma}+F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0</math>
ここで、セミコロン ; は[[共変微分]]を表わすものとし、角括弧は[[反対称性|反対称化]]を表わすものとする。これらの式は[[微分形式|2-形式]] {{Mvar|F}} について、一つ目は 4-[[発散 (ベクトル解析)|発散]]が 0 であること、二つ目は[[外微分]]が 0 であることをそれぞれ示している。2つ目の方程式から、[[ポアンカレの補題]]によりある座標チャートにおいて電磁ポテンシャル {{Mvar|A<sub>&alpha;</sub>}} を以下のように導入できることが従う。
:<math>F_{\alpha\beta}=A_{\alpha;\beta}-A_{\beta;\alpha} =A_{\alpha,\beta}-A_{\beta,\alpha}\!</math>
ここで、コンマ , は偏微分を表わすものとする。これを用いた方程式を共変マクスウェル方程式と等価として扱うことも多い<ref>{{Cite book|last=Brown|first=Harvey|authorlink=:en:Harvey Brown (philosopher)|url=https://books.google.com/?id=T6IVyWiPQksC&pg=PA164&dq=Maxwell+and+potential+and+%22generally+covariant%22|title=Physical Relativity: space-time structure from a dynamical perspective|page=164|publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]]|date=24 November 2005|asin=0199275831|oclc=762836855|ncid=BA74811910|isbn=978-0-19-927583-0|doi=10.1093/0199275831.001.0001}}</ref>。しかし、電磁ポテンシャルを大域的に定義できない大域的な解も存在する<ref>{{Cite journal|last1=Trautman|first1=Andrzej|authorlink=:en:Andrzej Trautman|title=Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with hopf fibrings|date=3 May 1977|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer Science+Business Media]]|journal={{enlink|International Journal of Theoretical Physics|p=off|s=off}}|volume=16|issue=8|pages=561–565|issn=0020-7748|oclc=972000091|doi=10.1007/BF01811088|bibcode=1977IJTP...16..561T }}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|section=1|date=2016年3月6日 (日) 01:41 (UTC)}}
* {{cite book|和書|author=リーマン|author2=リッチ|author3=レビ=チビタ|author4=アインシュタイン|author5=マイヤー|title=リーマン幾何とその応用|year=1971|publisher=[[共立出版]]|translator=[[矢野健太郎 (数学者)|矢野健太郎]]|ref=矢野 (1971)}}
* {{cite book|和書|author=アインシュタイン|title=相対論の意味 附：非対称場の相対論|year=1958|publisher=[[岩波書店]]|translator=[[矢野健太郎 (数学者)|矢野健太郎]]|ref=相対論の意味}}
* {{cite book|和書|author=矢野健太郎|authorlink=矢野健太郎 (数学者)|title=リーマン幾何学入門|publisher=[[森北出版]]|year=1971|ref=矢野(1971) }}

== 関連項目 ==
* [[一般相対性理論]]
* [[ブラックホール]] | [[シュヴァルツシルトの解]] | [[カー解]] | [[事象の地平面]] | [[見かけの地平面]]
* [[ワイル解]] | [[トミマツ・サトウ解]]
* [[膨張宇宙]] | [[宇宙のインフレーション]] | [[フリードマン方程式]]
* [[特異点定理]] | [[宇宙検閲官仮説]]
* [[ワームホール]]
* [[ポアソン方程式]]
* [[ゲーデル解]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|2=法則の辞典}}

{{相対性理論}}
{{アルベルト・アインシュタイン}}
{{DEFAULTSORT:あいんしゆたいんほうていしき}}
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